đề thi hsg toan 7

Tìm giá trị nhỏ nhất ấy?. b.Tìm số nguyên tố P có một chữ số để P 5 7 viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn.. Câu III.Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho tổng của tất cả các ớc số tự

Phòng giáo dục đào tạo tam đảo

Môn :Toán 7

Năm học :2005-2006 Ngời ra đề:lê quang hà

Đề bài

Câu I:Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời mà em chọn:

1

257 255

1

) 1 2 )(

1 2 (

1

5 3

1 2 1

+

− + + +

n n

Bằng:

A

255

127 B

255

128 C

257

128 D

257 129

2.Cho hai số khác 0 có hiệu,tổng và tích tỉ lệ với 1:7:24 Vậy tích của chúng là:

A.6 B.12 C.24 D.48 E.96

3.Tìm x với x:0,(3) = 0,(12) đợc x bằng:

A 0,4 B 0,(36) C

99

4

D

33 1 4.Có bao nhiêu số thực x sao cho −(x+1)2 là một số thực?

A.Không có số nào B.Một C.Hai

B.Nhiều hơn hai số E.Vô số

5Cho tam giác ABC cân tại A,kẻ BD⊥ AC(D∈AC).Biết AD=1cm,CD=8cm

Độ dài cạnh bc bằng bao nhiêu centimet?

A.9 B.12 C 162 D 88 E 146

6.Giá trị của đa thức x+x3+x4+ +x… 2005+x2006 tại x =-1 bằng:

A.-2006 B.2006 C.1 D.0 E.-1

Câu II:

a.Với giá trị nào của x thì biểu thức: P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) đạt giá trị nhỏ nhất

Tìm giá trị nhỏ nhất ấy?

b.Tìm số nguyên tố P có một chữ số để

P

5

7 viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn

Câu III.Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho tổng của tất cả các ớc số tự nhiên của số

P4 là một số chính phơng

Câu IV:

Cho tam giác ABC (giả sử AB<AC) trên hai cạnh BA và CA lấy hai điểm M và N di

động ,sao cho BM=CN

Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của các đoạn BC và MN DDờng thẳng ị cắt các

đờng thẳng AB và AC tại E và F

Chứng minh : BEI = CFI

đáp án(toán 7)

Câu I:(3 điểm).Mỗi ý đúng 0,5 điểm

1- C 2- D 3- C 4- B 5- B 6-A

Câu II : (1,5 điểm)

a)(1 đ) P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

=[(x−1)(x+6)][(x+2)(x+3)]

=(x2+6x-x-6)(x2+3x+2x+6)

=(x2+5x-6)(x2+5x+6)

=(x2+5x)2 -36

Ta có (x2+5x)2≥ 0 ∀ x ∈ Qnên với P= (x2+5x)2 -36 thì P đạt giá trị nhất khi (x2+5x)2 =0 Lúc đó ta có x2+5x2 =0 ⇒ x ( x + 5 ) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x=-5

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -36 khi x=0 hoặc x=5

b)(0,5 đ) Để

P

7

5 viết đợc dới dạng số thập phân hữu hạn thì P=2, hoặc P=5,hoặc P=7

CâuIII:(2 điểm) Số P4 có 5 ớc số tự nhiên là 1 ,P ,P2 ,P3 ,P4

Ta có : 1+P +P2 +P3 +P4 =n2 (n N∈ )

Suy ra : 4n2=4P4+4P3+4P2+4P+4>4P4+4P3+P2=(2P2+P)2

Và 4n2 < 4P4+P2+4+4P3+8P2+4P=(2P2+P+2)2

Vậy : (2P2+P)2< (2n)2 < (2P2+P+2)2

Suy ra :(2n)2= (2P2+P+2)2 = 4P4 + 4P3+5P2+2P+1

Vậy 4P4 + 4P3+5P2+2P+1= 4P4 + 4P3+4P2+4P+4.(vì cùng bằng 4n2)

⇒ P2−2P−3=0⇒(P+1)(P−3)=0

Do P > 1,suy ra :P-3=0 hay P=3.(Thử lại P=3 thoả mãn bài toán)

CâuV: Vẽ hình chính xác (0,5 điểm)

Gọi K là trung điểm của MC.Tam giác CMB có KI là đờng trung bình

Suy ra KI // MB , KI =

2

1 MB

Tơng tự KJ// AC , KJ =

2

1 CN Suy ra tam giác IKJ cân , KJI = KIJ

Ta có : BEI = KIJ (So le trong)

CFI = KJI (đồng vị)

Suy ra BEI = CFI

B

E

A

M

I

C N

F

K

J

Phòng giáo dục đào

tạo tam đảo

Trờng THCS Bồ lý

Đề thi khảo sát chất lợng hsg

Môn :Toán 7

Năm học :2005-2006 Ngời ra đề:Nguyễn Phúc Cờng

Đề bài:

C

âu I.

Tìm giá trị nhỏ nhất của các phân số có dạng:

bd

ac

ab

+ trong đó a,b,c,d là các số nguyên dơng thoả mãn điều kiện:

a+b = c+d = 2006

Câu II

Chứng minh rằng ∀n∈N,n≥1 ta có:

G(n) = 32n +3 +40n -27 64

C

âu III

Chứng minh rằng A= 2x2 +y2 +5z2 4xy+7xz+4yz > 0 , ∀x,y,z∈R

thoả mãn : x+y+z < 0 và 4xz > y2

Câu IV.

Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho

CD = 2BD So sánh số đo hai góc : BAD∠ và

2

1

CAD

Câu V.

Cho tam giác ABC vuông tại A.Biết AB =c,AC =b, b>c Kẻ trung tuyến AM,BN Tìm một hệ thức liên hệ giữa b, c để ta có:

AM ⊥ BN

-Phòng giáo dục đào tạo tam đảo

Năm học :2005-2006 Ngời ra đề:Nguyễn Phúc Cờng.

CâuI.Đặt M =

bd ac

ab

+ 64. ⇒ M

1

a

d b

c ab

bd

ac+ = +

NX: M đạt giá trị nhỏ nhất khi:

M

1 đạt giá trị lớn nhất (Vì M>0 )

Ta có :a+b =c+d =2006 nên : 1 ≤a,b,c,d ≤2005

Ta có :

b

c

và

a

d

bao giờ cũng có một phân số không vợt quá 1

(vì nếu

b

c

> 1 và

a

d

>1 thì c+d >a+b )

Giả sử

b

c

1

≤ :

-Nếu d ≤2004 thì

a

d

2004

≤ (Vì a 1≥ )

Khi đó :

M

1

=

b

c

+

a

d

2004

1+

- Nếu d=2005 thì c=1

a b M

2005 1

1 = +

⇒

+ Với a>1 thì có

2

2005 1

1

+

≤

+ Với a=1 thì b=2005 và

2005

4020026 1

2005 2005

1

Từ NX trên và (1,2,3) ta thấy : Giá trị nhỏ nhất của M là:

4020026 2005

và đạt đợc khi a=c =1 và b=d =2005 hoặc a=c=2005 và b=d =1

Câu II Ta có G(1) =256 64.

Giả sử G(n)= 32n+3 +40n -27 64

Cần chứng minh G(n+1) = 32(n+1)+3 +40(n+1) -27 64

Xét hiệu G(n+1) –G(n) =32(n+1) +3 -32n+3 +40(n+1) -40n =

=8.32n+3 +40 = 8(32n+3+5) 8

G(n+1) –G(n) 64 ⇔H(n) = 32n+3 +5 8

Tơng tự nh trên ,ta có : H(1)=248 8

H(n+1) – H(n) = 3 2(n+1)+3 -32n+3 = 32n+3(32 -1) =8.32n+3 8 (Đpcm)

Câu III.Ta có : A= x2+ y2 + z2 +2xy+2xz+2yz+ x2 +4z2+2xy +5xz +2yz

= (x+y+z)2 + (x2 +2xy+ y2) +(4z2 +2yz+

4

2

y ) + (5xz -

4

2

y )=

= (x+y+z)2 +(x+y)2 + (2z+

2

y

)2 + 4

5 (4xz –y2) (4 )

4

y

xz−

≥ >0 ( Do 4xz > y2) (Đpcm)

Câu IV.

Gọi M là trung điểm của DC

Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho

ME =MA

Ta có ∆AMC=∆EMD

(MD = MC, MA =ME , ∠AMC =∠EMD ,đối đỉnh)

Suy ra : DE = AC (Hai cạnh tơng ứng) và ∠E=∠A3

Mặt khác : D∠ 1> B∠ (Tính chất góc ngoài của tam giác )

Mà B∠ = ∠C (gt) nên D∠ 1 > ∠C

Suy ra : AC >AD ⇒DE > AD ⇒∠E=∠A 2 > E∠ hay A∠ 2 > A∠ 3

Â

B

D

C M E

Vì A∠ 3 = A∠ 1 (Do ∆ABD=∆ACM,c.g.c) nên A∠ 2 + A∠ 3 > A∠ 1 + A∠ 3 ⇔ 2 A∠ 1 < A∠ 2 + A∠ 3 hay 2∠BAD<∠CAD

Vậy ∠CAD>∠BAD

2

1

Câu V

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

BC = a Ta có :

GM =

3

1

AM ⇒GM =

6

a

⇒ GM2 =

36

2

a (1)

BM =

2

1

BC ⇒ BM =

2

a ⇒ BM 2 =

4

2

a (2)

GB =

3

2

BN ⇒ BG2 =

9

4

BN2 Trong tam giác vuông ABN có BN2 =AN2 + AB2 (Theo đ.lý Pitago)

⇒ BN2 =c2 +

4

2

b ⇒GB2 =

9

4 (c2 + 4

2

b

)

Để BN ⊥ AM thì BGM∆ vuông tại G

Lúc đó ,theo đ.lý Pitago ta có BM2= BG2 +GM2 (4)

Từ (1,2,3,4) ta có :

4

2

a

= 9

4 (c2 + 4

2

b

) + 36

2

a ⇒ a2 = 2(c2 +

4

2

b

)

ABC

∆ vuông tại A cho ta a2 = b2 + c2

Vậy b2 + c2 =2(c2 +

4

2

b

) ⇒ b2 =2c2 ⇒ b =2 c

KL: Để BN ⊥ AM thì điều kiện là : b =2 c

-A

M

N G