Luận văn giải xấp xỉ phương trình Đạo hàm riêng bằng deep learning

Tóm tắt nội dung Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương, pháp Deep Learning.. Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning mà phương pháp giải xắ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BACH KHOA HA NOI

LUAN VAN THAC Si

Giải xấp xỉ phương trình đạo

hàm riêng bằng Deep Learning

CONG HOA XA HOT CHU NGHIA VIỆT NAM

Độc lập — Tự do - Hạnh phúc

BẢN XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ

Hạ và tên tác giả luận văn : Nguyễn Lâm Tùng

Bê tài luận văn; Giải xấp xi phương trình đạo hàm riêng bằng

Decp Learning

Chuyên ngành: Toán Tin

Mã số SV: 20202889M

Tắc giả, Người hướng dẫn khoa học và Hội đồng chấm luận văn

xác nhận tác giả đã sửa chữa, bỏ sung luận văn theo biên bản họp Hội đồng ngày 21/07/2021 với các nội dung sau:

1 Chinh sửa lại nội dung trang số 12 vẻ xắp xi hàm

2 Chỉnh sửa lại thứ tự tài liệu tham khảo cho đứng chuẩn

Ngày tháng nam

CHỦ TỊCH HỘI ĐÓNG

Lời cam đoan

Töi, Nguyễn Lâm Tùng, cam đoan rằng luận vấu thục sĩ với tiêu đề “Giải xấp xi phương trình đạa bàm riêng bằng Deep learning” là công trình nghiên cứu khoa học

của riêng tôi Tôi xin xác nhận rằng:

+ Tmận văn này được thực hiên chủ yến rong chương trình Thạc sĩ Khaa học

Toan Tin tai Viên Toán ứng dụng và Tìn học, Đại học Bách Khoa Hà Nội

«& Bất kỳ nội dung nào củu luận vũn này được sử dụng trong bắt kỳ tồi liệu nào khác đã được nếu rõ rằng,

Ất cả các tài liêu được sử dụng để tham khảo đã được trích dẫn đầy đủ Ngoài

các Lrích dân đó, luậu văn này hoàn loan là kết quả của Lôi

Chữ ký

Muc Luc

ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG

[3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31

B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian| 34

B3 Phương trình Steady Navier-Stokes| - 37

(3.4 Phương trình Navier-Stoke| 40

Danh sách hình vẽ

Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán| lỗ

Ba Ví dụ uê mạng ngon] .- 18 2.2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]| 18

b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ| 21

[2.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu) 21

[3.1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6 6 eee 30

8.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41

3.3 Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn | 43

Danh sách hình vẽ

Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán| lỗ

Ba Ví dụ uê mạng ngon] .- 18 2.2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]| 18

b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ| 21

[2.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu) 21

[3.1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6 6 eee 30

8.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41

3.3 Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn | 43

Danh sách hình vẽ

Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán| lỗ

Ba Ví dụ uê mạng ngon] .- 18 2.2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]| 18

b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ| 21

[2.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu) 21

[3.1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6 6 eee 30

8.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41

3.3 Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn | 43

Danh sach cac thuat toan

28 28

Tóm tắt nội dung

Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương,

pháp Deep Learning Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với

đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning

mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng

số E— (ƒ(w) — a)? — (gím) — 6)” Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật

tham số Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ

có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ

thể từ đơn giản đến nhức tạp Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà

những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa

chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu

Học viên

Muc Luc

ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG

[3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31

B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian| 34

B3 Phương trình Steady Navier-Stokes| - 37

(3.4 Phương trình Navier-Stoke| 40

Muc luc

[Lõi cam đoan] 3

fh TONG QUAN VE PHUONG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

HIẾM |¿ an eres wy ore ww AH Mew OF MAO mE MOE w HOCH "1

lI.2_ Ý tưởng chung về phương pháp| - : : 12

1.3 Ap dung Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán| 14

b2 —NDDDEULUDI, - - + ‹.‹ ce meen nee Be ee eek eee 23

2.3 Nesterov Accolratod Gradient(NAG]| 24

Danh sach cac thuat toan

28 28

.TL Số liệu uẽ phương trình Poisson không phụ thuộc thời gian] 38

3.3 Số liệu uê phương trình Stcadu Nauier-Stak| 39

[Ea So adh gm 0p Vis sly phg bình Neier SOR] ø

Danh sach cac thuat toan

28 28

Muc luc

[Lõi cam đoan] 3

fh TONG QUAN VE PHUONG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

HIẾM |¿ an eres wy ore ww AH Mew OF MAO mE MOE w HOCH "1

lI.2_ Ý tưởng chung về phương pháp| - : : 12

1.3 Ap dung Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán| 14

b2 —NDDDEULUDI, - - + ‹.‹ ce meen nee Be ee eek eee 23

2.3 Nesterov Accolratod Gradient(NAG]| 24

Đề tài luận văn

Tên dề tài: "Giải xắp xï phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning",

luận văn gồm ba chương:

« Chương 1 '

ng quan về phương pháp giải quyết bài toán

« Chương 2 Kiến thức cơ sở Deen Learning

« Chương 3 Giải một số ví dụ phương trình đạo hàm riéng bằng Deep Learning

GO đhường mốt, tác giả sẽ trình bày một cách tỔng quan r ý tưởng để giải rưột

phương trình đạo hàm riêng bing Deep Learning,

Chương hai, tác giả sẽ rrình bày những kiên thức cơở sở liên quan đến Teen

Learning đồng thời giải thích chỉ tiết những thưặt toán đang được áp dựng phố biển phổ biến hiện nay

Chương ba tác giả sỡ trình bùy việc úp dụng Decp Leurning vào việc giải những

phương trình đạo hàm riêng Cụ thể là bễn ví dụ haa gồm một ví dụ về phương

trình tuyển tính không phụ thuộc thời gian, một: phương trình tuyển tính có phụ

thuộc thời gian, một phương trình phi tuyến không phu thưộc bhầi gian và một

phương trình phí tmyên có phụ thuộc thồi gian

Giảng viên hướng dẫn

Kỹ và ghỉ rã hẹ tên

Muc Luc

ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG

[3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31

B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian| 34

B3 Phương trình Steady Navier-Stokes| - 37

(3.4 Phương trình Navier-Stoke| 40

Muc luc

[Lõi cam đoan] 3

fh TONG QUAN VE PHUONG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

HIẾM |¿ an eres wy ore ww AH Mew OF MAO mE MOE w HOCH "1

lI.2_ Ý tưởng chung về phương pháp| - : : 12

1.3 Ap dung Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán| 14

b2 —NDDDEULUDI, - - + ‹.‹ ce meen nee Be ee eek eee 23

2.3 Nesterov Accolratod Gradient(NAG]| 24

Danh sach cac thuat toan

28 28

Tóm tắt nội dung

Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương,

pháp Deep Learning Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với

đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning

mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng

số E— (ƒ(w) — a)? — (gím) — 6)” Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật

tham số Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ

có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ

thể từ đơn giản đến nhức tạp Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà

những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa

chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu

Học viên

Muc Luc

ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG

[3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31

B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian| 34

B3 Phương trình Steady Navier-Stokes| - 37

(3.4 Phương trình Navier-Stoke| 40

Danh sách hình vẽ

Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán| lỗ

Ba Ví dụ uê mạng ngon] .- 18 2.2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]| 18

b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ| 21

[2.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu) 21

[3.1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6 6 eee 30

8.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41

3.3 Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn | 43

Đề tài luận văn

Tên dề tài: "Giải xắp xï phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning",

luận văn gồm ba chương:

« Chương 1 '

ng quan về phương pháp giải quyết bài toán

« Chương 2 Kiến thức cơ sở Deen Learning

« Chương 3 Giải một số ví dụ phương trình đạo hàm riéng bằng Deep Learning

GO đhường mốt, tác giả sẽ trình bày một cách tỔng quan r ý tưởng để giải rưột

phương trình đạo hàm riêng bing Deep Learning,

Chương hai, tác giả sẽ rrình bày những kiên thức cơở sở liên quan đến Teen

Learning đồng thời giải thích chỉ tiết những thưặt toán đang được áp dựng phố biển phổ biến hiện nay

Chương ba tác giả sỡ trình bùy việc úp dụng Decp Leurning vào việc giải những

phương trình đạo hàm riêng Cụ thể là bễn ví dụ haa gồm một ví dụ về phương

trình tuyển tính không phụ thuộc thời gian, một: phương trình tuyển tính có phụ

thuộc thời gian, một phương trình phi tuyến không phu thưộc bhầi gian và một

phương trình phí tmyên có phụ thuộc thồi gian

Giảng viên hướng dẫn

Kỹ và ghỉ rã hẹ tên

Muc luc

[Lõi cam đoan] 3

fh TONG QUAN VE PHUONG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

HIẾM |¿ an eres wy ore ww AH Mew OF MAO mE MOE w HOCH "1

lI.2_ Ý tưởng chung về phương pháp| - : : 12

1.3 Ap dung Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán| 14

b2 —NDDDEULUDI, - - + ‹.‹ ce meen nee Be ee eek eee 23

2.3 Nesterov Accolratod Gradient(NAG]| 24

Đề tài luận văn

Tên dề tài: "Giải xắp xï phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning",

luận văn gồm ba chương:

« Chương 1 '

ng quan về phương pháp giải quyết bài toán

« Chương 2 Kiến thức cơ sở Deen Learning

« Chương 3 Giải một số ví dụ phương trình đạo hàm riéng bằng Deep Learning

GO đhường mốt, tác giả sẽ trình bày một cách tỔng quan r ý tưởng để giải rưột

phương trình đạo hàm riêng bing Deep Learning,

Chương hai, tác giả sẽ rrình bày những kiên thức cơở sở liên quan đến Teen

Learning đồng thời giải thích chỉ tiết những thưặt toán đang được áp dựng phố biển phổ biến hiện nay

Chương ba tác giả sỡ trình bùy việc úp dụng Decp Leurning vào việc giải những

phương trình đạo hàm riêng Cụ thể là bễn ví dụ haa gồm một ví dụ về phương

trình tuyển tính không phụ thuộc thời gian, một: phương trình tuyển tính có phụ

thuộc thời gian, một phương trình phi tuyến không phu thưộc bhầi gian và một

phương trình phí tmyên có phụ thuộc thồi gian

Giảng viên hướng dẫn

Kỹ và ghỉ rã hẹ tên

.TL Số liệu uẽ phương trình Poisson không phụ thuộc thời gian] 38

3.3 Số liệu uê phương trình Stcadu Nauier-Stak| 39

[Ea So adh gm 0p Vis sly phg bình Neier SOR] ø

Danh sách hình vẽ

Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán| lỗ

Ba Ví dụ uê mạng ngon] .- 18 2.2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]| 18

b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ| 21

[2.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu) 21

[3.1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6 6 eee 30

8.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41

3.3 Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn | 43

Danh sach cac thuat toan

28 28

Tóm tắt nội dung

Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương,

pháp Deep Learning Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với

đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning

mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng

số E— (ƒ(w) — a)? — (gím) — 6)” Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật

tham số Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ

có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ

thể từ đơn giản đến nhức tạp Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà

những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa

chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu

Học viên

Muc luc

[Lõi cam đoan] 3

fh TONG QUAN VE PHUONG PHÁP GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN

HIẾM |¿ an eres wy ore ww AH Mew OF MAO mE MOE w HOCH "1

lI.2_ Ý tưởng chung về phương pháp| - : : 12

1.3 Ap dung Deep Learning vào ý tưởng chung để giải quyết bài toán| 14

b2 —NDDDEULUDI, - - + ‹.‹ ce meen nee Be ee eek eee 23

2.3 Nesterov Accolratod Gradient(NAG]| 24

Đề tài luận văn

Tên dề tài: "Giải xắp xï phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning",

luận văn gồm ba chương:

« Chương 1 '

ng quan về phương pháp giải quyết bài toán

« Chương 2 Kiến thức cơ sở Deen Learning

« Chương 3 Giải một số ví dụ phương trình đạo hàm riéng bằng Deep Learning

GO đhường mốt, tác giả sẽ trình bày một cách tỔng quan r ý tưởng để giải rưột

phương trình đạo hàm riêng bing Deep Learning,

Chương hai, tác giả sẽ rrình bày những kiên thức cơở sở liên quan đến Teen

Learning đồng thời giải thích chỉ tiết những thưặt toán đang được áp dựng phố biển phổ biến hiện nay

Chương ba tác giả sỡ trình bùy việc úp dụng Decp Leurning vào việc giải những

phương trình đạo hàm riêng Cụ thể là bễn ví dụ haa gồm một ví dụ về phương

trình tuyển tính không phụ thuộc thời gian, một: phương trình tuyển tính có phụ

thuộc thời gian, một phương trình phi tuyến không phu thưộc bhầi gian và một

phương trình phí tmyên có phụ thuộc thồi gian

Giảng viên hướng dẫn

Kỹ và ghỉ rã hẹ tên

Tóm tắt nội dung

Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương,

pháp Deep Learning Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với

đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning

mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng

số E— (ƒ(w) — a)? — (gím) — 6)” Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật

tham số Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ

có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ

thể từ đơn giản đến nhức tạp Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà

những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa

chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu

Học viên

Muc Luc

ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG

[3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31

B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian| 34

B3 Phương trình Steady Navier-Stokes| - 37

(3.4 Phương trình Navier-Stoke| 40

Muc Luc

ls_ CAC Vi DU GIAI XAP Xi PHUONG TRÌNH DAO HAM RIENG

[3.1 Phương trình nhiệt không phụ thuộc thời gian] cleo Ssmis seme 31

B.2_ Phương trình nhiệt phụ thuộc thời gian| 34

B3 Phương trình Steady Navier-Stokes| - 37

(3.4 Phương trình Navier-Stoke| 40

Tóm tắt nội dung

Luận văn trình bày về việc giải những phương trình dạo hầm riêng bằng phương,

pháp Deep Learning Mạng no-ron có thể xắp xỉ rất tốt các hàm số liên tục, cùng với

đổ các thuật toán đạng Građient Descent lại rổ ra vô cùng hiện qua trong viée tim giá trị nhỏ nhết của một hàm số Dựa vào những điểm mạnh đó của Deep Learning

mà phương pháp giải xắp xi phương trình đạo hàm riêng bằng Deep Learning cũng

số E— (ƒ(w) — a)? — (gím) — 6)” Chương trình giải xấp xỉ các phương trình đạo hầm riêng được lặp trình bằng ngôn ngữ lập trình Python, cụ thể là việ sử dụng, các framework 1a ‘lensorflow và Keras, thuật toán Áclam được sử dung để cấp nhật

tham số Nhiing kiến thức cơ bản và phần trình bay cn thé các thuật toán tối ưu sẽ

có ở đường 2 trong luận vũn, Chương 3 của luận vấn là giải xấp xỉ những ví dụ cụ

thể từ đơn giản đến nhức tạp Tướng phát triển trong tương lai của Tnận văn đó Tà

những cải thiện thuật toán sao cho việc cập nhật tham số được nhanh hơu và lựa

chọn mạng lưới no-ron và bộ dữ liêu để luyện mỏ hình sao cho tối ưu

Học viên

Danh sách hình vẽ

Lt Một số vi dụ về đử liệu lưới uuông của bài toán| lỗ

Ba Ví dụ uê mạng ngon] .- 18 2.2 Ví đụ sự phụ thuộc của một nơ-ron vào lúp phía trướt]| 18

b3 Ý tưởng thuật toán Gradient DescenÌ| 21

[2.4 Moi quan hé gitta các thuật todn toi wu) 21

[3.1 Streamline nghiém u cia bai todn Kovasznay| 6 6 eee 30

8.2 Thi nghiệm hiện tượng cavity] 68 tp lc là SÚÐ ngon HOT specieMem ein 41

3.3 Ket qua mo phẳng cavity trong từng giai đoạn | 43

.TL Số liệu uẽ phương trình Poisson không phụ thuộc thời gian] 38

3.3 Số liệu uê phương trình Stcadu Nauier-Stak| 39

[Ea So adh gm 0p Vis sly phg bình Neier SOR] ø