Luận văn phương pháp phần tử hữu hạn giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng elliptic (tt)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCĐỖ VĂN HÀO PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, NĂM 2016... TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨCĐỖ VĂN HÀO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

ĐỖ VĂN HÀO

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, NĂM 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

ĐỖ VĂN HÀO

PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG ELLIPTIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đinh

Dũng {THANH HÓA, NĂM 2016

MỞ ĐẦU

Phương trình đạo hàm riêng phát sinh trong các mô hình toán họccủa nhiều hiện tượng vật lý, hiện tượng hóa học và sinh học và nhiềulĩnh vực khác nhau như động lực học chất lỏng, điện từ trường, khoahọc vật liệu, vật lý thiên văn, kinh tế, mô hình hóa tài chính, Phầnlớn các phương trình được xem xét là rất phức tạp nên việc tìm kiếmcác nghiệm của nó hoặc bằng phương pháp phân tích như phương phápbiến đổi Laplace và Fourier hoặc dưới dạng một chuỗi lũy thừa là mộtviệc khó thực hiện Vì vậy, người ta phải nghỉ đến tìm kiếm các nghiệm

Chương 2 Xấp xỉ của phương trình đạo hàm riêng elliptic như: Galerkintrực giao, Bổ đề C’ea

Thanh hóa, ngày 26 tháng 4 năm 2016

Tác giả luận văn

Đỗ Văn Hào

có thể được thuận tiện phát biểu bằng cách xem xét các lớp hàm có tínhkhả vi và khả tích đặc biệt được gọi là các không gian hàm số Trongchương này, chúng ta trình bày một cách tổng quan các khái niệm cơbản và một số kết quả đơn giản về lý thuyết không gian các hàm Đểthuận tiện cho các phần sau, ở đây chúng ta chỉ xét các hàm nhận giátrị thực.

1.1.1 Không gian các hàm liên tục

Trong mục này, chúng ta mô tả một số không gian đơn giản các hàmkhả vi liên tục Để thuận tiện, chúng ta đưa ra khái niệm đa chỉ số Cho

N là tập hợp các số nguyên không âm

Một véc tơ α = (α1, , αn) ∈ Nnđược gọi là một đa chỉ số.Các số nguyên không âm |α| = α1+ α2+ + αnđược gọi là độ dàicủa đa chỉ số α = (α1, , αn) Khi đó đa chỉ số (0, , 0) có độ dài bằng

0, rõ ràng |0| = 0 Chúng ta định nghĩa toán tử đạo hàm riêng Dα như

Ví dụ 1.1.2 Xét các khoảng mở Ω = (0; 1) ⊂ R1 Hàm u(x) = 1x thuộc

Ck(Ω) với mỗi k ≥ 0, Ω = [0; 1] và lim

x→0u(x) = ∞, rõ ràng là u là khôngliên tục trên Ω Theo các tính chất ở trên thì u /∈ Ck(Ω) với mọi k ≥ 0.Giá của một hàm u liên tục, xác định trên một tập mở Ω ⊂ Rn đượcđịnh nghĩa là bao đóng trên Ω của tập {x ∈ Ω : u(x) 6= 0} Chúng ta sẽ

ký hiệu supp(u) là giá của hàm u

Ví dụ 1.1.3 Cho w là hàm được xác định trên Rn bởi

w(x) =

e

−1 1−|x|2, |x| < 1,

Z

Ω

|u(x)|pdx < ∞

Với hai hàm bằng nhau hầu như khắp nơi trên Ω (tức là bằng nhau tạitất cả các điểm thuộc Ω, ngoại trừ trên một tập có độ đo không) đượcxác định như nhau.

x∈Ω

|u(x)|) Khônggian L∞(Ω) được trang bị chuẩn:

kukL

∞ (Ω)= ess sup

x∈Ω

|u(x)| Một trường hợp đặc biệt quan trọng tương ứng với p = 2; khi đó

Nhận xét 1.1.7 Không gian Lp(Ω) với p ∈ [1; ∞] là một không gianBanach

Đặc biệt, L2(Ω) là không gian Hilbert, có tích vô hướng (., ) và đượctrang bị chuẩn kukL

2 (Ω)= (u, u)12 nên nó là một không gian Banach.Một kết quả tương tự như Hệ quả 1 đối với không gian Lp với 1 ≤

Z

Ω

u(x)v(x)dx

≤ kukL

p (Ω)kvkL

p, (Ω)

1.1.3 Không gian Sobolev

Giả sử u là một hàm trơn và u ∈ Ck(Ω), với Ω là một tập con mở của

|α| ≤ k trùng với các đạo hàm riêng tương ứng theo ý nghĩa cổ điển tại

Với k là một số nguyên không âm và giả sử rằng p ∈ [1; ∞] Chúng

ta định nghĩa không gian

|u|Wk

∞ (Ω) = X

|α|≤k

kDαukL∞(Ω),chúng ta nói rằng:

Nhận xét 1.1.9 Khi k ≥ 1 thì |.|Wk (Ω) được gọi là nửa chuẩn Sobolev

trên Wkp(Ω)

Trường hợp đặc biệt quan trọng tương ứng với p = 2, không gian

Wk2(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng là:

(u,v)Wk

2 (Ω) = X

|α|≤k

(Dαu, Dαv)

Vì lý do này, chúng ta sẽ thường viết Hk(Ω) thay vì Wk2(Ω)

Chúng ta thường xuyên đề cập đến các không gian Sobolev Hilbert

H1(Ω) và H2(Ω) Định nghĩa của chúng ta về Wkp(Ω), chuẩn và nửa

chuẩn, cho trường hợp p = 2, k = 1, như sau:

H1(Ω) =nu ∈ L2(Ω) : ∂x∂u

j ∈ L2(Ω), j = 1, , no,kukH1 (Ω)=

(kuk2L

Không gian Sobolev đặc biệt H1

0(Ω) là không gian đóng của C0∞(Ω)với chuẩn k.kH1 (Ω) Nói cách khác, H01(Ω) là tập hợp của tất cả các

u ∈ H1(Ω) sao cho u là giới hạn trong H1(Ω) của một chuỗi {um}∞m=1

với um ∈ C0∞(Ω) Nó có thể được hiểu là:

H01(Ω) =u ∈ H1(Ω) : u = 0 trên ∂Ω ,với giả định rằng ∂Ω là đủ trơn

Bổ đề 1.1.10 (Bất đẳng thức Poincar’e-Friedrichs) Giả sử rằng Ω làmột tập mở bị chặn trong Rn ( với ∂Ω đủ trơn và mịn, chẳng hạn là mộtmiền đa giác trong R2 hoặc một đa diện trong R3) và u ∈ H01(Ω) Khi

đó tồn tại một hằng số c∗(Ω), độc lập với u, thỏa mãn:

∂u

∂xi(x)

2

dx

Trường hợp đơn giản như: nếu Ω = (0, 1)2⊂ R2 thì c∗= 14; tương tựnhư vậy, nếu Ω = (0, 1) ⊂ R thì c∗ = 12

1.2 Nghiệm yếu cho phương trình đạo hàm riêng

Xét trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic là phương trìnhLaplace

Tổng quát hơn, chúng ta hãy cho Ω là một tập mở và bị chặn trong

Rn và xem xét các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc hai

aij ∈ C1(Ω), i, j = 1, , n,

bi∈ C(Ω), i = 1, , n,

c ∈ C(Ω), f ∈ C(Ω)

i) u = g trên ∂Ω (Điều kiện biên Dirichlet);

ii) ∂u∂ν = g trên ∂Ω, nơi ν biểu thị các véc tơ đơn vị ngoại trực giaođối với ∂Ω (điều kiện biên Neumann),

iii) ∂u∂γ+ σu = g trên ∂Ω, nơi σ(x) ≥ 0 trên ∂Ω (điều kiện biên Robin),iv) Một tổng quát về các điều kiện biên (ii) và (iii) là

n

X

i,j=1

aij∂u

∂xicosαj+ σ(x)u = g trên ∂Ω,

nơi αj là góc giữa các véc tơ đơn vị ngoại trực giao đối với ∂Ω vàtrục của xj (Đạo hàm xiên trên biên)

Trong nhiều bài toán vật lý, có nhiều hơn một loại điều kiện biênđược áp dụng trên ∂Ω

Chúng ta bắt đầu bằng bài toán Dirichlet với biên thuần nhất

Một hàm u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) thỏa mãn (1.5) và (1.6) được gọi là một

nghiệm cổ điển của phương trình nàỵ Xét các bài toán sau đây: tìm utrong H01(Ω) sao cho

Ω

f (x)v(x)dx (1.10)

Với kí hiệu mới này, vấn đề (1.8) có thể được viết như sau: Tìm u ∈ H1

0(Ω)sao cho

ău, v) = l(v), ∀v ∈ H01(Ω) (1.11)Định lý 1.2.3 (Định lý Lax - Milgram) Giả sử V là một không gianHilbert thực được trang bị chuẩn k.kV và ặ, ) là một hàm tuyến tính

trên V × V sao cho:

Ω

bi(x)∂x∂u

ivdx

+ max

2

dx)12(R

Ω

∂v

∂x j

∂x i

∂x i

2

dx)1

).(1.12)

|a(u, v)| ≤ 2n p

R

∂w

∂x i

∂x j

2

dx))12,

do đó, đặt c1 = 2np, ta được bất đẳng thức (ii):

|a(w, v)| ≤ c1kwkH1 (Ω) kvkH1 (Ω) (1.13)

c(x) −12

∂v

∂xi

2

dx (1.15)Theo bất đẳng thức Poincare-Friedrichs trong Bổ đề 1.1.10, ta có:

∂v

∂x

Định lý 1.2.4 Giả sử rằng aij ∈ L∞(Ω) trong đó i, j = 1, , n, bi ∈

W1∞(Ω), i = 1, , n ; c ∈ L∞(Ω), f ∈ L2(Ω) và giả sử ta có (1.4) và(1.14) Khi đó bài toán biên (1.5), (1.6) có một nghiệm yếu duy nhất

u ∈ H01(Ω) Ngoài ra:

kukH1 (Ω)≤ 1

c0kf kL2 (Ω) (1.18)Nhận xét 1.2.5 Bây giờ chúng ta trở lại với ví dụ trước đó mà (∗) đãđược chứng minh là không có nghiệm cổ điển Tuy nhiên, việc áp dụng

−∆u = f trên Ω,

u = 0 trên Γ1,

∂u

∂v = g trên Γ2.với Γ1 là một tập hợp khác rỗng và là tập con mở tương đối trong ∂Ω,

Γ1∩ Γ2 = ∂Ω Áp dụng Định lý Lax-Milgram với V = H1

0,Γ 1(Ω), sự tồntại và duy nhất nghiệm cho bài toán hỗn hợp yếu này được suy ra mộtcách dễ dàng

Nhận xét 1.2.7 Nếu u1 và u2 là các nghiệm yếu trong H01(Ω) của(1.5), (1.6) tương ứng với bên vế phải f1 và f2 trong L2(Ω) thì u1− u2

là một nghiệm yếu trong H01(Ω) của (1.5), (1.6) tương ứng với vế phải là

f1− f2∈ L2(Ω) Như vậy, từ(1.18) ta suy ra:

∂v

∂xi

2

dx

Chương 2

Xấp xỉ phương trình đạo

hàm riêng elliptic

2.1 Trực giao Galerkin.

Qua mô tả việc xây dựng các phương pháp phần tử hữu hạn, chúng

ta phác thảo công cụ cơ bản để phân tích sai số Chúng ta hãy xét cácbài toán biên elliptic sau:

Việc xây phương trình cho bài toán hỗn hợp yếu (2.1), (2.2) là: Tìm

ở đây c0 như trong (1.17)

Bây giờ giả sử rằng Vh là một không gian con hữu hạn chiều của

H01(Ω), Xấp xỉ phần tử hữu hạn của (2.4) là: Tìm uh trong Vh thỏamãn

a(uh, vh) = l(vh), ∀vh ∈ Vh (2.5)

từ đó ta suy ra

a(u − uh, vh) = 0, ∀vh ∈ Vh (2.6)Tính chất (2.6) được gọi là trực giao Galerkin và chúng ta sẽ thấy nóđóng một vai trò rất quan trọng trong việc phân tích sai số của phương

pháp phần tử hữu hạn Từ đó ta suy ra:

trong đó C(u) là một hằng số dương, phụ thuộc vào độ trơn của u, h

là kích cỡ tham số (đường kính tối đa của các phần tử trong các phânhoạch chia nhỏ của miền tính toán) và s là một số thực dương, phụ thuộcvào độ trơn của u và bậc của các đa thức từng phần tạo nên không gian

Vh Do đó, với trợ giúp của Bổ đề Céa, chúng ta sẽ có thể suy ra rằng

ku − uhkH1 (Ω) ≤ C(u)c1

c0

hs (2.7)

là một đánh giá của các sai số toàn cục eh = u − uh dựa trên thông

số kích thước của h Như vậy, đánh giá về sai số toàn cục được gọi làđánh giá sai số tiền nghiệm (thuật ngữ xuất phát việc đánh giá (2.7) cóthể được khẳng định trước khi tính toán uh) Nó cho thấy trong trườnghợp đặc biệt là h → 0 khi tinh chỉnh các phân hoạch tăng lên, chuỗicác nghiệm phần tử hữu hạn {uh}h sẽ hội tụ đến u trong chuẩn H01(Ω).Trong khi kết quả này được biết đến từ lý thuyết, nó liên quan rất ítđến tính toán vì C(u) tham gia vào (2.7) là rất khó được định lượng (vì

nó phụ thuộc vào nghiệm giải tích u, trong khi đó u không biết)

Ví dụ 2.2.3 Trong ví dụ này chúng ta xem xét một vấn đề nữa liên

quan đến đánh giá sai số tiên nghiệm (2.7) cho các bài toán elliptic nhấtđịnh có tỷ lệ c1

c 0 rất lớn và khi đó có kích thước phân hoạch h đã đượclấy rất nhỏ trước khi giảm kích thước của sai số toàn cục quan sát được.Giả sử rằng Ω là một tập mở và bị chặn trong Rn Ta xét bài toán biênsau đây:

−ε∆u + b.∇u = f trong Ω,

và u = 0 trên ∂Ω,

ở đây ε > 0 và giả sử rằng div b ≤ 0 hầu khắp nơi trên Ω Những bàitoán như vậy phát sinh trong các mô hình toán học của hiện tượng bìnhlưu khuếch tán Khi nào bình lưu có ưu thế khuếch tán hơn, khi đó hằng

số Péclet:

Pe =(

Vì vậy, khi ε  1, hằng số ở phía bên vế phải trong đánh giá sai số này

sẽ rất lớn do số Péclet; trong thực tế, mọi thứ thậm chí còn tồi tệ hơn, sốkhông đổi C(u) cũng phụ thuộc vào ε thông qua u (thường là C(u)  1khi ε  1 )

Chúng ta sẽ không xét xấp xỉ phần tử hữu hạn cho bài toán bìnhlưu chiếm ưu thế khuếch tán hơn thêm nữa Điều mà chúng ta muốnnhấn mạnh chỉ đơn thuần là cần thận trọng khi tìm cách rút

ra kết luận thực tế từ kết quả lý thuyết của đánh giá sai sốchất lượng kém trên nghiệm (2.7) mà đầu tiên do ràng buộc (2.8)

khi Pe 1, chỉ đơn thuần phản ánh một thực tế là đối với phương trìnhbình lưu thống trị khuếch tán, phương pháp phần tử hữu hạn thôngthường không có hiệu quả đối với kích cỡ phân hoạch thô, lời giải số cósai số phi vật lý rất lớn mà chỉ có thể được loại bỏ bằng cách giảm mạnhkích cỡ phân hoạch h.

Nhận xét 2.2.4 Bây giờ chúng ta thảo luận về một trường hợp đặcbiệt khác, khi b ≡ 0 trên Ω Khi đó c1 = c0 = ε vì vậy bổ đề Céa dẫnđến đánh giá sau:

ku − uhka≤ min

v h ∈Vhku − vhka

Từ đó ta có dạng sau đây của Bổ đề Céa trong trường hợp tự liên hợp

Bổ đề 2.2.5 Xấp xỉ phần tử hữu hạn uh ∈ Vh của u ∈ H01(Ω) là tốtnhất từ đối với u từ Vh trong chuẩn năng lượng k.ka, có nghĩa là

Hướng nghiên cứu tiếp theo là:

1 Ứng dụng Bổ đề Céa phân tích sai số của phương pháp phần tử hữuhạn cho bài toán biên elliptic và đưa ra giải pháp khắc phục hạn chế

2 Nghiên cứu bài toán biên hỗn hợp trong đó nhiều hơn một loại điềukiện biên được áp dụng, chẳng hạn ∂Ω là sự kết hợp của hai tập con rờinhau ∂Ω1 và ∂Ω2 với điều kiện biên Dirichlet trên ∂Ω1 và điều kiện biênNeumann trên ∂Ω2