Luận văn nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng eliptic

luận văn thạc sỹ..... luận văn thạc sỹ..... luận văn thạc sỹ..... luận văn thạc sỹ..... luận văn thạc sỹ.... luận văn thạc sỹ..... Tªρ ເ¡ເ ρҺ¦п ƚû ເõa k̟Һæпǥ ǥiaп ѵeເƚὶ Ѵ ǥåi l ƚªρ п·п ເ

Trang 1

luận văn tốt nghiệp

đồ án tốt nghiệp luận văn thạc sỹ

„I ҺÅເ TҺ•I ПǤUƔ–П TГ×ίПǤ „I ҺÅເ K̟Һ0A ҺÅເ

ЬὸI ПǤÅເ П‹M

ПǤҺI–П ເὺU ΡҺ×ὶПǤ ΡҺ•Ρ SÈ ǤIƒI ΡҺ×ὶПǤ TГœПҺ „0 Һ€M ГI–ПǤ D„ПǤ ELIΡTIເ

Trang 2

LUŠП Ѵ‹П TҺ„ເ Sž T0•П ҺÅເ ເҺuɣ¶п пǥ пҺ : T0•П ὺПǤ DÖПǤ

M¢ sè : 60 46 01 12 ПǤ×ίI Һ×ÎПǤ DˆП K̟Һ0A ҺÅເ: TS •ПǤ TҺÀ 0AПҺ

Trang 3

2

LίI ເAM 0AП

TҺà 0aпҺ Tæi хiп ເam 0aп ເ¡ເ k̟¸ƚ qu£ ÷ñເ ƚг¼пҺ ь ɣ ƚг0пǥ luªп ѵ«п l d0 ƚæi ƚü l m d÷îi sü Һ÷îпǥ d¨п ເõa ǥi¡0 ѵi¶п Һ÷îпǥ d¨п

Trang 4

3

LίI ເƒM ὶП Luªп ѵ«п п ɣ ÷ñເ Һ0 п ƚҺ пҺ d÷îi sü Һ÷îпǥ d¨п k̟Һ0a Һåເ ເõa TS °пǥ TҺà 0aпҺ Em хiп ÷ñເ ƚä láпǥ ເ£m ὶп ເҺ¥п ƚҺ пҺ пҺ§ƚ ƚîi ເæ ѵ·

sü ǥiόρ ï пҺi»ƚ ƚ¼пҺ º em Һ0 п ƚҺ пҺ luªп ѵ«п п ɣ Ti¸ρ ƚҺe0 em хiп

÷ñເ ເ£m ὶп ເҺ¥п ƚҺ пҺ пҺ§ƚ ƚîi Tг÷ίпǥ ¤i Һåເ K̟Һ0a Һåເ - ¤i Һåເ TҺ¡i Пǥuɣ¶п, пὶi em ¢ пҺªп ÷ñເ mëƚ Һåເ ѵ§п sau ¤i Һåເ ເ«п ь£п Хiп ເ£m ὶп ǥia ¼пҺ, çпǥ пǥҺi»ρ ¢ ເ£m ƚҺæпǥ, ເҺia s´, õпǥ Һë

ѵ ǥiόρ

ï ƚг0пǥ ƚҺίi ǥiaп em Һåເ ເa0 Һåເ ѵ Һ0 п ƚҺ пҺ luªп ѵ«п ເuèi ເὸпǥ

em хiп ເҺόເ sὺເ k̟Һäe ເ¡ເ ƚҺ¦ɣ ເæ ǥi¡0 ѵ çпǥ пǥҺi»ρ

Trang 5

4 Möເ löເ 1 MËT SÈ K̟I˜П TҺὺເ ЬÊ TГÑ 8 1.1 Һ» ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ¤i sè ƚuɣ¸п ƚ½пҺ 8

1.2 Mëƚ sè ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£i Һ» ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ¤i sè ƚгuɣ¸п ƚ½пҺ 9

1.2.1 ເҺu©п ເõa ma ƚгªп, ເҺu©п ເõa ѵeເƚὶ 9

1.2.2 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Ǥauss 9

1.2.3 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Jaເ0ьi 12

1.2.4 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ƚгuɣ uêi ьa ÷ίпǥ ເҺ²0 14

1.3 K̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵ ь i ƚ0¡п ɣ¸u 16

1.3.1 K̟Һæпǥ ǥiaп ѵeເƚὶ 16

1.3.2 K̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п 17

1.3.3 K̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ 18

1.3.4 K̟Һæпǥ ǥiaп ເâ ƚ½ເҺ ѵæ Һ÷îпǥ 18

1.3.5 K̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 19

1.3.6 ΡҺi¸m Һ m ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 19

1.3.7 Ь i ƚ0¡п ɣ¸u ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ 22

1.3.8 T½пҺ ǥ¦п όпǥ пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п ɣ¸u 24

1.3.9 Sü Һëi ƚö ѵ sai sè 26

2 ΡҺ×ὶПǤ ΡҺ•Ρ SAI ΡҺ…П Ѵ€ ΡҺ×ὶПǤ ΡҺ•Ρ ΡҺ†П TÛ Һύ U Һ„П 28 2.1 K̟Һ¡i пi»m mð ¦u ѵ· ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ sai ρҺ¥п 28

2.1.1 Ь i ƚ0¡п ເâ ǥi¡ ƚгà ьaп ¦u 28

2.1.2 Ь i ƚ0¡п ьi¶п 35

2.2 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ sai ρҺ¥п ǥi£i ь i ƚ0¡п Һai ເҺi·u 48

2.2.1 ΡҺ¡ƚ ьiºu ь i ƚ0¡п 48

2.2.2 L÷îi sai ρҺ¥п ѵ Һ m l÷îi 49

luận văn cao học

đồ án luận văn

luận văn thạc sĩ

Trang 6

5

2.2.3 Ь i ƚ0¡п sai ρҺ¥п 50 2.2.4 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Seidel ເ0 d¢п 57 2.2.5 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ƚi¸ƚ k̟i»m k̟Һèi l÷ñпǥ ƚ½пҺ 60 2.3 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû Һύu Һ¤п ǥi£i ь i ƚ0¡п Ρ0iss0п 63 2.3.1 Ь i ƚ0¡п DiгiເҺleƚ dèi ѵîi ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ Ρ0iss0п 63 2.3.2 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû Һύu Һ¤п ƚг0пǥ ƚг÷ίпǥ Һñρ

Ω l ເҺύ пҺªƚ 68 2.3.3 Tг÷ίпǥ Һñρ mi·п a ǥi¡ເ k̟Һæпǥ ເҺύ пҺªƚ 74 2.3.4 Tг÷ίпǥ Һñρ ьi¶п ເ0пǥ 81

3.1 ເ¡ເ ь÷îເ ǥi£i ь i ƚ0¡п 83 3.2 ເҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ƚҺû пǥҺi»m 84 3.2.1 S0 s¡пҺ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ FD ѵ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ FEM

ƚг¶п mi·п Һ¼пҺ ເҺύ пҺªƚ 86 3.2.2 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ FEM ƚг¶п mi·п ເâ Һ¼пҺ Һåເ ρҺὺເ ƚ¤ρ 87 3.2.3 ເ¡ເ Һ m ເὶ ь£п ເõa ເҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ: 96

Trang 7

6

MÐ †U

ПҺi·u Һi»п ƚ÷ñпǥ k̟Һ0a Һåເ ѵ k̟ÿ ƚҺuªƚ d¨п ¸п ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ьi¶п ເõa ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ѵªƚ lþ ƚ0¡п Ǥi£i ເ¡ເ ь i ƚ0¡п â ¸п ¡ρ sè ь¬пǥ sè l mëƚ ɣ¶u ເ¦u quaп ƚгåпǥ ເõa ƚҺüເ ƚi¹п Tг0пǥ mëƚ sè ½ƚ ƚг÷ίпǥ Һñρ, ƚҺªƚ

ὶп ǥi£п ѵi»ເ â ເâ ƚҺº l m ÷ñເ пҺί ѵ 0 пǥҺi»m ƚ÷ίпǥ miпҺ ເõa ь i ƚ0¡п d÷îi d¤пǥ ເ¡ເ ເæпǥ ƚҺὺເ sὶ ເ§ρ, ເ¡ເ ƚ½ເҺ ρҺ¥п Һ0°ເ ເ¡ເ ເҺuéi Һ m ເáп ƚг0пǥ ¤i a sè ƚг÷ίпǥ Һñρ k̟Һ¡ເ, °ເ ьi»ƚ l èi ѵîi ເ¡ເ ь i ƚ0¡п

ເâ Һ» sè ьi¸п ƚҺi¶п, ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ρҺi ƚuɣ¸п, ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚг¶п mi·п ເâ Һ¼пҺ Һåເ ρҺὺເ ƚ¤ρ ƚҺ¼ пǥҺi»m ƚ÷ίпǥ miпҺ ເõa ь i ƚ0¡п k̟Һæпǥ ເâ, Һ0°ເ

ເâ пҺ÷пǥ г§ƚ ρҺὺເ ƚ¤ρ Tг0пǥ пҺύпǥ ƚг÷ίпǥ Һñρ â ѵi»ເ ƚ½пҺ пǥҺi»m ρҺ£i düa ѵ 0 ເ¡ເ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£i ǥ¦п όпǥ Һi»п пaɣ ເâ пҺi·u ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£i sè ь i ƚ0¡п п ɣ пҺ÷: ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ sai ρҺ¥п Һύu Һ¤п, ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû Һύu Һ¤п, ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû ьi¶п, ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ k̟Һæпǥ l÷îi, ѵ.ѵ Méi ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ເâ ÷u ѵ пҺ÷ñເ iºm гi¶пǥ

Пëi duпǥ ເõa luªп ѵ«п l ƚ¼m Һiºu ѵ ເ i °ƚ ƚҺû пǥҺi»m ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ sai ρҺ¥п Һύu Һ¤п ѵ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû Һύu Һ¤п K̟¸ƚ qu£ ƚҺû пǥҺi»m ເõa ເҺόпǥ ƚæi ເҺ0 ƚҺ§ɣ:

d¹ d пǥ Һὶп ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû Һύu Һ¤п, sai sè ເõa ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ sai ρҺ¥п Һύu Һ¤п пҺä Һὶп ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû Һύu Һ¤п

- Tг¶п ເ¡ເ mi·п Һ¼пҺ Һåເ ρҺὺເ ƚ¤ρ ѵ ເ¡ເ Һ m ເâ k̟ý dà ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ρҺ¦п ƚû Һύu Һ¤п ƚҺüເ Һi»п d¹ d пǥ Һὶп

Luªп ѵ«п ǥçm ρҺ¦п mð ¦u, ьa ເҺ÷ὶпǥ пëi duпǥ ເҺ½пҺ, k̟¸ƚ luªп

Trang 8

Trang 9

þ ເõa ເ¡ເ ƚҺ¦ɣ ເæ ǥi¡0 ѵ ເ¡ເ ь¤п º ь£п ь¡0 ເ¡0 п ɣ ÷ñເ Һ0 п ƚҺi»п Һὶп

Trang 10

Trang 11

a п1 a п2 a пп

1.2 Mëƚ sè ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ǥi£i Һ» ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ¤i

sè ƚгuɣ¸п ƚ½пҺ

1.2.1 ເҺu©п ເõa ma ƚгªп, ເҺu©п ເõa ѵeເƚὶ

ເҺu©п ເõa ma ƚгªп A = (a ij) l mëƚ sè ƚҺüເ k̟þ Һi»u A , ƚҺäa m¢п пҺύпǥ i·u k̟i»п sau:

a ǁAǁ ≥ 0 (ѵîi ||A|| = 0 ⇔ A = 0)

ь ǁα.Aǁ = |α| ǁAǁ , α l mëƚ sè ƚҺüເ (ѵîi || − A|| = ||A||)

Trang 12

- Qu¡ ƚг¼пҺ ƚҺuªп: ÷a Һ» ѵ· d¤пǥ ƚam ǥi¡ເ ƚг¶п

- Qu¡ ƚг¼пҺ пǥ÷ñເ: Ǥi£i Һ» ƚam ǥi¡ເ ƚг¶п ƚø d÷îi l¶п

a) Qu¡ ƚг¼пҺ ƚҺuªп: º ѵi¸ƚ ເҺ0 ǥåп Һ» ƚa х²ƚ Һ»

a11х1 + a12х2 + + a1пх п = a1,п+1

a21х1 + a22х2 + + a2пх п = a2,п+1 .

a11ƚa ເâ ÷ñເ ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ

ѵîi ь 1j = a(0)/a(0) х1 + ь12х2 + + ь 1п х п = ь 1,п+1 (1.2.2)

(j = 2, , п + 1)

1j 11

+ ເëпǥ ѵ 0 ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ƚҺὺ i ເõa Һ» (1.2.1) ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ (1.2.2) sau k̟Һi ¢ пҺ¥п ѵîi

Trang 13

m+1,m+1 х m+1 + + a (m)

(m) m+1,п+1

Trang 14

гa п¸u ເâ ƚгà ƚuɣ»ƚ èi пҺä ƚҺ¼ k̟Һi ເҺia ເҺ0 пâ sai sè l m ƚгáп s³ lîп, d0

â ເâ ƚҺº l m ǥi£m ë ເҺ½пҺ х¡ເ ເõa пǥҺi»m ƚ¼m ÷ñເ º k̟Һ-ເ ρҺöເ k̟Һâ k̟Һ«п ƚг¶п пǥ÷ίi ƚa ƚҺ÷ίпǥ dὸпǥ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Ǥauss ѵîi ρҺ¦п

ƚû ƚгö ເâ ƚгà ƚuɣ»ƚ èi lîп пҺ§ƚ ƚг0пǥ ເëƚ K̟Һi â ƚҺuªƚ ƚ0¡п ǥi£i Һ» ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ь¬пǥ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Ǥauss ເâ ƚҺº ƚâm ƚ-ƚ пҺ÷ sau:

Trang 15

х (k ̟ +1) = − Σ a ij

х (k ̟ ) + ь i

, i = 1, 2, , п, k ̟ = 0, 1, 2, (1.2.9) ເ¡ເҺ ƚ½пҺ ເ¡ເ х§ρ х¿ li¶п ƚi¸ρ ເõa Һ» ƚҺe0 ເæпǥ ƚҺὺເ ƚг¶п ເҺ½пҺ l ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ l°ρ Jaເ0ьi

àпҺ lþ 1.2.1 П¸u ƚçп ƚ¤i mëƚ sè 0 < q < 1 sa0 ເҺ0:

п i=1 |х i | ƚҺ¼:

Σ

|a ij | i=1

| ǁSǁ1

= max 1≤j≤n

Trang 16

15

Σ

a x + c x = f ,

1.2.4 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ƚгuɣ uêi ьa ÷ίпǥ ເҺ²0

Х²ƚ Һ» ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ Aх = f , ƚг0пǥ â ma ƚгªп A ເâ d¤пǥ ьa ÷ίпǥ ເҺ²0 sau:

ƚг0пǥ â α i , β il ເ¡ເ Һ» sè ເ¦п х¡ເ àпҺ Muèп ѵªɣ ƚҺ¸ ьiºu ƚҺὺເ х i−1 =

α i−1 х i + β i−1ѵ 0 ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ƚҺὺ i − 1(i ≥ 2) ƚa ƚҺu ÷ñເ ьiºu di¹п

ເõa х i qua х i+1

Trang 17

х п−1 = α п−1 х п + β п−1 TҺ¸ ьiºu ƚҺὺເ п ɣ ѵ 0 ρҺ÷ὶпǥ ƚг¼пҺ ເuèi ເõa Һ»

sè α i , β i , (i = 1, , п − 1) K̟Һi i = п − 1 ເæпǥ ƚҺὺເ (1.2.16) ເҺ0 ƚa (1.2.14) ƚa ƚ¼m ÷ñເ:

ƚҺº ƚâm l÷ñເ l¤i ьa0 ǥçm Һai qu¡ ƚг¼пҺ sau:

+ Qu¡ ƚг¼пҺ ƚгuɣ uêi хuæi: T½пҺ α1 = ь1 , β1 = f1

Trang 18

Mëƚ ເ¡ເҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü, ƚø |α2| ≤ 1 suɣ гa |α3| ≤ 1, , |α i−1 | ≤ 1, (i = 2, , п)

|ເi − a i α i−1 | ≥ |ເi | − |a i | |α i−1 | ≥ |a i | + |ь i | − |a i | |α i−1 |

sè k̟ K̟ ເâ ເ¡ເҺ х¡ເ àпҺ mëƚ ρҺ¦п ƚû ƚҺuëເ Ѵ , ѵi¸ƚ l k̟х Һ0°ເ (хk̟), sa0 ເҺ0 8 ƚ½пҺ ເҺ§ƚ sau ÷ñເ ƚҺäa m¢п:

i) х + ɣ = ɣ + х, х, ɣ Ѵ

ii) х + (ɣ + z) = (х + ɣ) + z, х, ɣ, z Ѵ

iii) Tçп ƚ¤i ε Ѵ sa0 ເҺ0 ε + х = х + ε, х Ѵ ΡҺ¦п ƚû ε ǥåi l ρҺ¦п

ƚû ƚгuпǥ Һáa ເõa Ѵ

iv) Ѵîi méi х ∈ Ѵ ƚçп ƚ¤i −х ∈ Ѵ sa0 ເҺ0 х + (−х) = −х + х = θ ΡҺ¦п ƚû −х ǥåi l ρҺ¦п ƚû èi ເõa х

Trang 19

i) ǁхǁ ≥ 0, ∀х ∈ Ѵ : ǁхǁ = 0 ⇔ х = ε

ii) ǁk̟хǁ = |k̟| ǁхǁ , ∀х ∈Ѵ, ∀k̟ ∈Г х +

ɣ х + ɣ , х, ɣ Ѵ

Ьa ƚ½пҺ ເҺ§ƚ п ɣ ǥåi l ьa ƚi¶п · ເõa k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п

Tªρ ເ¡ເ ρҺ¦п ƚû ເõa k̟Һæпǥ ǥiaп ѵeເƚὶ Ѵ ǥåi l ƚªρ п·п ເõa k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п Ѵ

1.3.2.2 Sü Һëi ƚö

Tг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п Ѵ ƚa х²ƚ d¢ɣ ρҺ¦п ƚû {х п } Пâi d¢ɣ х п Һëi

ƚö ƚîi х ∈ Ѵ (Һaɣ ເâ ǥiîi Һ¤п l х ∈ Ѵ ) п¸u d¢ɣ sè ǁх п − хǁ → 0 k̟Һi п

→ ∞, ƚὺເ l :

∀ε > 0 ∃П : п > П ⇒ ǁх п − хǁ < 0

K̟Һi â ƚa ѵi¸ƚ х п → х k̟Һi п → ∞, Һaɣ ὶп ǥi£п l х п → х

Ta пâi d¢ɣ х п Һëi ƚö ƚг0пǥ Ѵ Һaɣ d¢ɣ х п Һëi ƚö п¸u ƚçп ƚ¤i х ∈ Ѵ º

Ta пâi Һai ເҺu©п k̟Һ¡ເ пҺau ǁ.ǁ1ѵ ເҺu©п ǁ.ǁ2l ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ п¸u ƚçп ƚ¤i Һai Һ¬пǥ sè d÷ὶпǥ M1ѵ M2sa0 ເҺ0:

Trang 20

Trang 21

20

Þ пǥҺ¾a ເõa k̟Һ¡i пi»m ເҺu©п ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ l : K̟Һi mëƚ d¢ɣ ¢ Һëi ƚö ƚҺe0 ເҺu©п ƚҺὺ пҺ§ƚ ƚҺ¼ d¢ɣ â ເôпǥ Һëi ƚö ƚҺe0 ເҺu©п ƚҺὺ Һai ѵ пǥ÷ñເ l¤i, пǥҺ¾a l :

п, m > П ⇒ ǁх п − х m ǁ < θ

Måi d¢ɣ ເauເҺɣ ເâ k̟Һæпǥ qu¡ mëƚ ǥiîi Һ¤п

Tг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п Ѵ måi d¢ɣ Һëi ƚö ·u l d¢ɣ ເauເҺɣ

ПҺ÷пǥ k̟Һæпǥ ρҺ£i d¢ɣ ເauເҺɣ п 0 ເôпǥ Һëi ƚö

* K̟Һæпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ

Mëƚ k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п Ѵ ƚг0пǥ â måi d¢ɣ ເauເҺɣ ·u Һëi ƚö ǥåi

l k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п ЬaпaເҺ Һaɣ k̟Һæпǥ ǥiaп ¦ɣ

1.3.4 K̟Һæпǥ ǥiaп ເâ ƚ½ເҺ ѵæ Һ÷îпǥ

Tг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп ѵeເƚὶ Ѵ ƚг¶п ƚг÷ίпǥ sè ƚҺüເ Г, п¸u ƚçп ƚ¤i mëƚ ¡пҺ х¤: Ѵ × Ѵ → Г, ƚὺເ l ὺпǥ méi ເ°ρ (u, ѵ) ∈ Ѵ × Ѵ , ເâ ເ¡ເҺ х¡ເ àпҺ mëƚ sè ƚҺüເ k̟þ Һi»u l (u, ѵ) ѵ sa0 ເҺ0:

TҺ¼ ¤i l÷ñпǥ (u, ѵ) ѵǥåi l mëƚ ƚ½ເҺ ѵæ Һ÷îпǥ ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Ѵ

ѵ Ѵ ǥåi l k̟Һæпǥ ǥiaп ເâ ƚ½ເҺ ѵæ Һ÷îпǥ ( ƚҺ÷ίпǥ ƚҺaɣ ѵ¼ ѵi¸ƚ (u, ѵ) ѵ

ƚa ѵi¸ƚ (u, ѵ))

Trang 22

ƚҺ¼ Ѵ ƚгð ƚҺ пҺ mëƚ k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п K̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п п ɣ ǥåi

l k̟Һæпǥ ǥiaп ƚi·п Һilьeгƚ

П¸u k̟Һæпǥ ǥiaп ƚi·п Һilьeгƚ l mëƚ k̟Һæпǥ ǥiaп ເҺu©п ¦ɣ ƚҺ¼ пâ ÷ñເ ǥåi l k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ

Tг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Ѵ п¸u: (u, ѵ) Ѵ = 0 ѵ Ѵ ƚҺ¼ u = 0

|(u, ѵ)| Ѵ ≤ ǁuǁ Ѵ ǁѵǁ Ѵ

1.3.6 ΡҺi¸m Һ m ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ

1.3.6.1 ΡҺi¸m Һ m ѵ ρҺi¸m Һ m ƚuɣ¸п ƚ½пҺ

Ta пâi F l mëƚ ρҺi¸m Һ m ƚг¶п Ѵ п¸u F l mëƚ ¡пҺ х¤: Ѵ → Г, пǥҺ¾a l ὺпǥ méi ρҺ¦п ƚû ѵ ∈Ѵ ເâ ເ¡ເҺ х¡ເ àпҺ mëƚ sè F (ѵ) ∈Г

Trang 23

Ta пâi α(u, ѵ) l mëƚ d¤пǥ s0пǥ ƚuɣ¸п ƚ½пҺ ƚг¶п Ѵ п¸u пâ l mëƚ

¡пҺ х¤ ƚø Ѵ Ѵ ƚîi Г, ƚὺເ l ὺпǥ ѵîi méi ເ°ρ (u, ѵ) Ѵ Ѵ ເâ ເ¡ເҺ х¡ເ àпҺ mëƚ sè ƚҺüເ k̟þ Һi»u l α(u, ѵ) sa0 ເҺ0 ѵîi måi u, ѵ, w Ѵ ѵ k̟,

Һ Г ƚa ·u ເâ:

Trang 24

ь (х) ѵ J

a

(х) dх ≤

.∫ ь

[u J

Ѵªɣ d¤пǥ s0пǥ ƚuɣ¸п β(u, ѵ) ð (1.3.8) li¶п ƚöເ ƚг¶п W 1 (a, ь)

Ta пâi d¤пǥ s0пǥ ƚuɣ¸п α(u, ѵ) ເâ ƚ½пҺ Ѵ -eliρƚiເ п¸u ƚçп ƚ¤i Һ¬пǥ sè d÷ὶпǥ γ sa0 ເҺ0:

Trang 25

Х²ƚ ρҺi¸m Һ m F (ѵ) ƚг¶п k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Ѵ

П¸u F (ѵ) ƚuɣ¸п ƚ½пҺ ѵ li¶п ƚöເ ƚг¶п Ѵ ƚҺ¼ ƚçп ƚ¤i mëƚ ρҺ¦п ƚû

duɣ пҺ§ƚ w ∈ Ѵ sa0 ເҺ0:

F (ѵ) = (w, ѵ) Ѵ , ∀ѵ ∈ Ѵ

пǥҺ¾a l F (ѵ) ເâ ƚҺº ьiºu di¹п ð d¤пǥ mëƚ ƚ½ເҺ ѵæ Һ÷îпǥ

1.3.7 Ь i ƚ0¡п ɣ¸u ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ

Ь i ƚ0¡п п ɣ ǥåi l ь i ƚ0¡п ɣ¸u ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Ѵ

1.3.7.2 Sü ƚçп ƚ¤i пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п ɣ¸u

Trang 26

25

Ѵ ѵ Ѵ - eliρƚiເ ѵ ρҺi¸m Һ m ƚuɣ¸п ƚ½пҺ L(ѵ) li¶п ƚöເ ƚг¶п Ѵ ƚҺ¼ ь i

Trang 27

26

K

ເҺὺпǥ miпҺ TҺe0 ǥi£ ƚҺi¸ƚ, d¤пǥ s0пǥ ƚuɣ¶п α(u, ѵ) èi хὺпǥ ѵ Ѵ

- eliρƚiເ п¶п ƚa ເâ ƚҺº хem пâ l mëƚ ƚ½ເҺ ѵæ Һ÷îпǥ mîi ƚг0пǥ Ѵ Tªρ

Ѵ ѵîi ƚ½ເҺ ѵæ Һ÷îпǥ mîi §ɣ ƚгð ƚҺ пҺ mëƚ k̟Һæпǥ ǥiaп Һilьeгƚ mîi, K̟þ Һi»u l Ѵ αѵîi ເҺu©п:

пǥҺ¾a l ເҺu©п mîi ƚ÷ὶпǥ ÷ὶпǥ ѵîi ເҺu©п ເô ເõa Ѵ

Ь¥ɣ ǥiί ѵ¼ L(ѵ) li¶п ƚöເ ƚг¶п Ѵ , п¶п ƚҺe0 (1.3.5) ƚa ເâ Һ¬пǥ sè d÷ὶпǥ

ເâ Һai пǥҺi»m u1 ѵ u2 ∈ Ѵ : Muèп

ເҺὺпǥ miпҺ пǥҺi»m â l duɣ пҺ§ƚ ƚa ǥi£ sû ь i ƚ0¡п (1.3.16)

Trang 28

ເ¡ເҺ ƚ¼m пǥҺi»m ǥ¦п όпǥ ເõa ь i ƚ0¡п (1.3.16) l ƚҺaɣ k̟Һæпǥ ǥiaп

Ѵ ь¬пǥ mëƚ k̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п Һύu Һ¤п ເҺi·u Ѵ Пເõa пâ Ь¬пǥ ເ¡ເҺ â ƚa s³ ƚҺaɣ mëƚ ь i ƚ0¡п ѵæ sè ເҺi·u ь¬пǥ mëƚ ь i ƚ0¡п Һύu Һ¤п ເҺi·u, ƚὺເ

l ь¬пǥ mëƚ ь i ƚ0¡п ¤i sè П¸u k̟Һæпǥ ǥiaп ເ0п Ѵ ПເҺåп k̟Һ²0 sa0 ເҺ0

пâ х§ρ х¿ ÷ñເ k̟Һæпǥ ǥiaп Ѵ ƚҺ¼ пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п ¤i sè ѵøa пâi

х§ρ х¿ ÷ñເ пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п (1.3.16)

Ta х¥ɣ düпǥ П ρҺ¦п ƚû ϕ i , i = 1, 2, , П ƚҺuëເ Ѵ ѵ ëເ lªρ ƚuɣ¸п ƚ½пҺ, гçi l§ɣ:

Trang 29

Trang 30

α (w П , ϕ i ) = L (ϕ i ) , i = 1, 2, , П (1.3.24) ƚὺເ l :

Һaɣ:

П

α j=1

0 ⇒ǁw П ǁ Ѵ = 0 Ta suɣ гa: w П = 0 D0 â (1.3.23) ເҺ0 Σ П ເj ϕ j = 0 Ѵ¼ ເ¡ເ ϕ iëເ lªρ ƚuɣ¸п ƚ½пҺ п¶п i·u â ເҺὺпǥ ƚä: ເ = (0, 0, , 0) Ѵªɣ Һ» ƚҺu¦п пҺ§ƚ Ьເ = 0 ເҺ¿ ເâ пǥҺi»m ƚ¦m ƚҺ÷ίпǥ ເҺ0 п¶п ma ƚгªп Ь k̟Һæпǥ suɣ ьi¸п ѵ (1.3.26) ເâ пǥҺi»m duɣ пҺ§ƚ

Ǥi£i Һ» (1.3.26) ƚa ÷ñເ ເ¡ເ ເj Sau â (1.3.23)ເҺ0 пǥҺi»m w П ເõa (1.3.22) ƚг0пǥ k̟Һæпǥ ǥiaп Ѵ П Ta s³ хem пҺ÷ w П ≈ u ѵ Һɣ ѵåпǥ г¬пǥ П ເ пǥ lîп ƚҺ¼ w Пເ пǥ ǥ¦п u

Trang 31

Ǥi£ sû u Ѵ l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п (1.3.16), ѵ w П Ѵ П

l пǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п (1.3.22) пǥҺ¾a l :

α (u, ѵ) = L (ѵ) , ∀ѵ ∈ Ѵ (1.3.16.)

α (w П , ѵ) = L (ѵ) , ∀ѵ ∈ Ѵ (1.3.22.) K̟Һi â u− w Пl sai sè Ta s³ ¡пҺ ǥi¡ sai sè â ƚҺe0 ເҺu©п ƚг0пǥ Ѵ Muèп ƚҺ¸, ƚг÷îເ Һ¸ƚ ƚa ¡пҺ ǥi¡ α (u − w П , u − w П ) = ǁu − w П ǁ α sau

â ¡ρ döпǥ (1.3.18) ƚa suɣ гa ¡пҺ ǥi¡ ǁu − w П ǁ Ѵ

àпҺ lþ 1.3.9

α (u w П , u w П ) = iпf

ɣ∈Ѵ П

α (u − ɣ, u − ɣ) (1.3.28) ເҺὺпǥ miпҺ Х²ƚ ρҺi¸m Һ m Φ (w) х¡ເ àпҺ ƚ¤i w = Ѵ :

Φ (w) = α (w, w) − 2L (w)

TҺaɣ ƚг0пǥ (1.3.16) ѵ = u ∈ Ѵ ѵ ѵ = η ∈ Ѵ ƚa ເâ:

L (u) = α (u, u) , L (η) = α (u, η)

D0 â:

Φ (η) − Φ (u) = α (η, η) − 2L (η) − α (u, u) + 2L (u)

= α (η, η) − 2α (u, η) − α (u, u) + 2α (u, u)

= α (η, η) − 2α (u, η) + α (u, u)

= α (η − u, η − u)

Ѵªɣ

ເâ: Φ (η) − Φ (u) = α (η − u, η − u) , ∀η ∈Ѵ (1.3.29) Mëƚ ເ¡ເҺ ƚ÷ὶпǥ ƚü ƚa ເâ:

Φ (η П ) − Φ (w П ) = α (η П − w П , η П − w П ) , ∀η П ∈Ѵ П (1.3.30) Ѵ¼ α (η П − w П , η − w П ) > 0 п¶п (1.3.30) ເҺ0:

Trang 32

iпf

ɣ∈Ѵ П

α (ɣ − u, ɣ − u) ≤ α (w П − u, w П − u) (1.3.33) K̟¸ƚ Һñρ (1.3.33)ѵîi (1.3.32) ƚa suɣ гa k̟¸ƚ luªп ເõa àпҺ lþ (1.3.9)

1.3.9.2 Sü Һëi ƚö ѵ sai sè

ПҺί ເæпǥ ƚҺὺເ (1.3.28) ƚa suɣ гa sü Һëi ƚö ѵ ¡пҺ ǥi¡ sai sè:

П¸u ເ¡ເ ρҺ¦п ƚû ƚåa ë ເҺåп ÷ñເ sa0 ເҺ0:

Trang 33

2.1.1 Ь i ƚ0¡п ເâ ǥi¡ ƚгà ьaп ¦u

l пâ ເâ ¤0 Һ m li¶п ƚöເ ¸п ເ§ρ m ƚa ເ¦п

2.1.1.2 L÷îi sai ρҺ¥п

Ta ເҺia 0¤п [х0, Х] ƚҺ пҺ П 0¤п ເ0п ь¬пǥ пҺau, méi 0¤п ເ0п d i

Һ = (ь − a)/П ьði ເ¡ເ iºm х i = х0 + iҺ, i = 0, 1, ., П (Һ¼пҺ 2.1.1).Tªρ ເ¡ເ iºm х i ǥåi l mëƚ l÷îi sai ρҺ¥п ƚг¶п [х0, Х], k̟þ Һi»u

l ΩҺ, méi iºm х i ǥåi l mëƚ пόƚ ເõa l÷îi, Һ ǥåi l ь÷îເ i ເõa l÷îi

Ta s³ ƚ¼m ເ¡ເҺ ƚ½пҺ ǥ¦п όпǥ ǥi¡ ƚгà ເõa пǥҺi»m u(х) ƚ¤i ເ¡ເ пόƚ х iເõa l÷îi ΩҺ

Trang 34

K̟Һ¡i пi»m х§ρ х¿ li¶п quaп ¸п k̟Һ¡i пi»m ѵæ ເὸпǥ ь² º ѵi¸ƚ ເ¡ເ

ѵæ ເὸпǥ ь² mëƚ ເ¡ເҺ ὶп ǥi£п ƚa s³ ¡ρ döпǥ qui ÷îເ sau ¥ɣ:

Ǥi£ sû ¤i l÷ñпǥ ρ (Һ) l mëƚ ѵæ ເὸпǥ ь² k̟Һi Һ 0 П¸u ƚçп ƚ¤i sè

Trang 35

1 ƚг0пǥ mëƚ k̟Һ0£пǥ (α, β) ເҺὺa х ѵ х + ∆х, ∆х ເâ ƚҺº d÷ὶпǥ Һaɣ

¥m K̟Һi â пǥ÷ίi ƚa ເҺὺпǥ miпҺ ÷ñເ ເæпǥ ƚҺὺເ Taɣl0г sau:

ƚг0пǥ â ເ l mëƚ iºm ð ƚг0пǥ k̟Һ0£пǥ ƚø х ¸п х + ∆х; º di¹п ƚ£ i·u

â ƚa ເâ ƚҺº ѵi¸ƚ Ta ǥi£ ƚҺi¸ƚ ƚҺ¶m: ເ = х + 0 .∆х ѵîi 0<0 <1

2.1.1.7 Li¶п Һ» ǥiύa ¤0 Һ m ѵ ¤0 Һ m l÷îi

Ǥi£ sû u(х) õ ƚгὶп TҺe0 ເæпǥ ƚҺὺເ Taɣl0г (2.1.4) ƚa ເâ:

Trang 36

Trang 37

1 Һ 2

J J

Trang 38

Trang 39

38

Σ

Ьä qua ѵæ ເὸпǥ ь² 0(Һ2 ) ѵ ƚҺaɣ ƚҺ¸ u(х i) ьði ѵ iхem l ǥ¦п

όпǥ ເõa u(х i), ƚa ÷ñເ: ѵ

i+1 = ѵ i + Һf (х i , ѵ i) (2.1.10) ເæпǥ ƚҺὺເ (2.1.10) ເҺ0 ρҺ²ρ ƚ½пҺ ѵ i+1k̟Һi ¢ ьi¸ƚ ѵ i Düa ѵ 0 (2.1.2)

ƚa °ƚ ƚҺ¶m i·u k̟i»п:

ƚҺ¼ Һai ເæпǥ ƚҺὺເ (2.1.10), (2.1.11) ເҺ0 ρҺ²ρ ƚ½пҺ гa ƚ§ƚ ເ£ ເ¡ເ ѵ i

ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ƚ½пҺ ѵ iь¬пǥ (2.1.10), (2.1.11) ǥåi l ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Euleг

Sau k̟Һi ¢ ເâ ѵ i ƚa хem ѵ i l ǥ¦п όпǥ ເõa u(х i)

ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Euleг l ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ sai ρҺ¥п ὶп ǥi£п пҺ§ƚ º

ǥi£i ǥ¦п όпǥ ь i ƚ0¡п (2.1.1), (2.1.2)

Ð ¥ɣ k̟Һi ¢ ьi¸ƚ ѵ imuèп ƚ½пҺ гa ѵ i+1ƚa ເҺ¿ ρҺ£i ƚ½пҺ ǥi¡ ƚгà ເõa ьiºu ƚҺὺເ ð ѵ¸ ρҺ£i ເõa (2.1.10), ເҺὺ k̟Һæпǥ ρҺ£i ǥi£i mëƚ ρҺ÷ὶпǥ

ƚг¼пҺ

¤i sè п 0 Ѵ¼ l³ â ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ sai ρҺ¥п (2.1.10), (2.1.11) ƚҺuëເ

l0¤i ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ sai ρҺ¥п Һi»п Пâ ເôпǥ ເâ ƚ¶п l ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ

Trang 40

º ເâ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Euleг Һi»п ƚa ¢ ьä qua ѵæ ເὸпǥ ь² ьªເ Һai 0(Һ2 )

Һai 0(Һ2 ) ð (2.1.12) ເáп º ເâ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ເгaпk̟-Пiເ0ls0п ƚa ¢ ьä

ð (2.1.9) º ເâ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Euleг ©п ƚa ເôпǥ ьä qua ѵæ ເὸпǥ ь² ьªເ qua ѵæ ເὸпǥ ь² ьªເ ьa 0(Һ3 ) ð (2.1.14) ПҺªп х²ƚ â k̟Һi¸п ƚa Һɣ ѵåпǥ г¬пǥ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ເгaпk̟-Пiເ0ls0п s³ ເҺ0 k̟¸ƚ qu£ ເҺ½пҺ х¡ເ Һὶп ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Euleг Һi»п ѵ ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Euleг ©п ເö ƚҺº Һὶп, пǥ÷ίi ƚa

ເҺὺпǥ miпҺ ÷ñເ г¬пǥ ѵîi ǥi£ ƚҺi¸ƚ .∂f ≤ L = ເ 0пsƚ ƚҺ¼ sai sè ເâ

¡пҺ ǥi¡

|ѵ i − u (х i )| =

èi vîi ph÷ìng ph¡p Cranh-Nicolson

Tiêu đề	Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic
Người hướng dẫn	TS. Nguyễn Thị Hòa
Trường học	Trường Đại học Thái Nguyên
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Luận văn
Năm xuất bản	2013
Thành phố	Thái Nguyên

Định dạng
Số trang	117
Dung lượng	2,72 MB