-Sử dụng thành thạo phơng pháp tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số và phơng pháp từng phần.. Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số: Phơng pháp giải: đặt t=ux Ví dụ 4.. -Giúp học sinh t
Trang 1Tuõ̀n: 1 Tiờ́t 1-2-3-4
Các phơng pháp tìm nguyên hàm
I Mục tiêu.
-Giúp học sinh hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức về nguyên hàm của một hàm số
-Vận dụng bảng nguyên hàm tìm đợc nguyên hàm của một hàm số
-Sử dụng thành thạo phơng pháp tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số và phơng pháp từng phần
II Nội dung.
1.TèM NGUYEÂN HAỉM CUÛA MOÄT HAỉM SOÁ:
a.Kieỏn thửực caàn naộm vửừng :
Caực ủũnh nghúa nguyeõn haứm vaứ hoù nguyeõn haứm, caực tớnh chaỏt cuỷa nguyeõn haứm Baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng
Baỷng nguyeõn haứm cuỷa moọt soỏ haứm soỏ thửụứng gaởp :
NGUYEÂN HAỉM CAÙC HAỉM SOÁ Sễ CAÁP
THệễỉNG GAậP
NGUYEÂN HAỉM CAÙC HAỉM SOÁ HễẽP :
( )
u =u x
1
2
2
1
ln
6, cos sin
7, sin cos
cos
sin
x x
dx x C
x
dx
x C x x
e dx e C
a
a
x dx x C
x dx x C dx
x C x
dx
x C x
α
α
+
= +
+
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
( ) 1
2
2
1
ln
6, cos sin
7, sin cos
cos
sin
u u
du u C
u
du
u C u u x u
e du e C
a
a
u du u C
u du u C du
u C u
du
u C u
α
α
+
= +
+
= +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
b.Tỡm nguyeõn haứm cuỷa moọt haứm soỏ baống ủũnh nghúa vaứ tớnh chaỏt.
Trang 2Phửụng phaựp giaỷi:
Thửụứng ủửa nguyeõn haứm ủaừ cho veà nguyeõn haứm cuỷa toồng vaứ hieọu sau ủoự vaọn duùng baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng ⇒ keỏt quaỷ
Vớ
du 1 : Tỡm nguyeõn haứm caực haứm soỏ sau:
a) f(x) = x3 – 3x +
x
1 b) f(x) = 2 + x 3x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx
Giaỷi
a) ∫ ( ) =∫(x - 3x + )3 1 =∫x3 −3∫ +∫1 = x4 −3 2+ln +
ln 2 ln3
d) ∫ ( ) =∫sin x cosx4 =∫sin x (sin )4 =sin5 +
5
x
Vớ du 2 ù: Tỡm moọt nguyeõn haứm F(x) cuỷa haứm soỏ f(x)=1+ sin3x bieỏt F(π6 )= 0.
Giaỷi
Ta coự F(x)= x – 13 cos3x + C Do F(π6
) = 0 ⇔
6
π
- 13 cosπ2
+ C = 0 ⇔ C =
-6
π
Vaọy nguyeõn haứm caàn tỡm laứ: F(x)= x – 13 cos3x -π6.
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm các hàm số.
2
)
2
)
x
x
x x
x
− +
− +
−
∫
∫
2
2
1 )
)
x x x
x x
− +
−
∫
∫
c Tìm nguyên hàm bằng cách đổi biến số:
Phơng pháp giải: đặt t=u(x)
Ví dụ 4 Tìm nguyên hàm các hàm số
Trang 3
3
1 )
3 )
x
x
+
−
∫
∫
3
2 1` )
1
)
1 2
x
x x
x
−
− + + +
∫
∫
d T×m nguyªn hµm b»ng ph¬ng ph¸p tõng phÇn:
Ph¬ng ph¸p gi¶i: Sư dơng c«ng thøc: ∫u dv u v = −∫v du
VÝ dơ 5 T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè
) 2 cos
) ( 1)sin 2
a x xdx
b x+ xdx
∫
) (2 1) ln )
x
c x e dx x
d dx x
+
∫
∫
Cu ̉ng cơ :
Bài tập đề nghị:
1 T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y
3 2
2
3
x
x x
x
− +
+ +
−
2 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin2x.cosx, biết giá trị của nguyên hàm bằng − 3
8 khi x=
π
3
3 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e1-2x , biết F(1) 0=
2
4 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2 3 23 2 3 1
x x
+ + , biết F(
1 1) 3
=
Tuần: 1-2 Tiết:5-6-7
C¸c ph¬ng ph¸p tÝch ph©n-§ỉi biÕn sè
I Mơc tiªu.
Trang 4-Giúp học sinh tính đợc tích phân của một số hàm đơn giản.
-Sử dụng thành thạo phơng pháp tính tích phân bằng cách đổi biến số
II Nội dung.
1/Caực kieỏn thửực caàn naộm vửừng :
Baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng
ẹũnh nghúa tớch phaõn, caực tớnh chaỏt cuỷa tớch phaõn
Phửụng phaựp tớnh tớch phân bằng phơng pháp đổi biến số
2/Moọt soỏ daùng toaựn thửụứng gaởp:
Daùng 1: Tớnh tớch phaõn baống ủũnh nghúa vaứ tớnh chaỏt.
Phửụng phaựp giaỷi:
Thửụứng ủửa tớch phaõn ủaừ cho veà tớch phaõn cuỷa toồng vaứ hieọu sau ủoự vaọn duùng baỷng nguyeõn haứm thửụứng duứng ⇒ keỏt quaỷ
Vớ duù : Tỡm tớch phaõn caực haứm soỏ sau:
a/
3 3 1
(x 1)dx
−
+
4
4
2
4
π
π
−
−
2
2 1
x dx
−
−
∫
Giaỷi
a/
3 3 1
(x 1)dx
−
+
3
3
x
b/
π π
4
=(4 tanπ4 +3 cos ) [4 tan(π4 − −π4) 3 cos(+ −π4)]=8 c/
2
2 1
x dx
−
−
1
2 1
x dx
−
−
2
1 1
x− dx
1
2
(1 x dx)
−
−
2
1 (x−1)dx
∫ =(x- 2 )12 ( 2 )12
− + − =5
Daùng 2: Tớnh tớch phaõn baống phửụng phaựp ủoồi bieỏn daùng 1:
Phửụng phaựp giaỷi:
b1: ẹaởt x = u(t) (ủieàu kieọn cho t ủeồ x chaùy tửứ a ủeỏn b) ⇒ dx = u (t) dt′
b2: ẹoồi caọn:
x = a ⇒u(t) = a ⇒ t = α
x = b ⇒u(t) = b ⇒ t = β ( choùn α,β thoaỷ ủk ủaởt ụỷ treõn)
Trang 5b3: Viết
b
a f(x)dx∫ về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân
Ví dụ: Tính :
1
2 0
1 x dx−
∫
§Ỉt x = sint ⇒ dx = cost.dt Víi x ∈[0;1] ta cã t∈[0; ]
2
π
§ỉi cËn: x = 0 ⇒ t = 0 ; x= 1 ⇒ t =
2
π
VËy
1
2 0
1 x dx−
0
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
in t t
π
Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :
a2−x2 thì đặt x= a sint t∈ [ ; ]
2 2
π π
−
a2+x2 thì đặt x= a tgt t∈ (−π π2 2; )
x2 −a2 thì đặt x=
sin
a
t t∈ [ 2 2; ]
π π
Dạng 2: Tính tích phân f[ (x)] '(x)dx
b a
∫ bằng phương pháp đổi biến Phương pháp giải:
b1: Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = '( ) dxϕ x
b2: Đổi cận:
x = a ⇒t =ϕ(a) ; x = b ⇒t = ϕ(b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được
Ví dụ : Tính tích phân sau :
1 2 0
1
x
x x
+
= + +
∫ b/
1 2 0
3
J=∫ x + x dx
Giải:
a/ Đặt t = x2 + x +1 ⇒ dt = (2x+1) dx
Trang 6ẹoồi caọn: x = 0 ⇒t =1 ; x = 1 ⇒t = 3 Vaọy I=
3 3
dt t
t = =
∫
b/ ẹaởt t= x2 +3 ⇒ t2= x2+ 3⇒ tdt = x dx
ẹoồi caọn: x = 0⇒ t = 3 ; x = 1⇒ t = 2 Vaọy J =
2
2
1 (8 3 3)
t
t dt= = −
∫
Cu ̉ng cụ :
Baứi taọp ủeà nghũ:
Bài 1 Tính caực tớch phaõn sau:
1/I=
π
+
∫20(3 cos2 ).x dx 2/J=∫10(e x+2)dx 3/K=∫1 2+
0 (6x 4 )x dx
Bài 2 Tớnh caực tớch phaõn sau:
1/
π
∫2 sin
0
.cos
x
e x dx 2/∫10 x+x1
e dx
e 3/
+
∫1e 1 lnx x dx 4/∫1 2 + 5
0
x x dx
Tuõ̀n : 2-3 Tiờ́t : 8-9-10-11
Các phơng pháp tính tích phân-Từng phần
I Mục tiêu.
-Giúp học sinh tính đợc tích phân của một số hàm phân thức hữu tỉ
-Sử dụng thành thạo phơng pháp tính tích phân bằng phơng pháp từng phần
II Nội dung.
Trang 71/ Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
Công thức từng phần : b b b
a
u dv u v= − v du
Phương pháp giải:
B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
B3: Tích phân
b a
vdu
∫ suy ra kết quả
Chú ý:
a) Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho
b a
vdu
∫ dễ tính hơn ∫b
a
udv nếu khó
hơn phải tìm cách đặt khác
b) Khi gặp tích phân dạng : b ( ) ( )
a
P x Q x dx
∫
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/ I=2
0
.cos
x x dx
π
∫ b/J=
1
.ln
e
x x dx
∫
Giải
a/ Đặt : cos sin
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
Vậy I=x cosx 2
0
π
- 2
0
sin x dx
π
0 π
= -1
Trang 8b/ Đặt : 2
1 ln
2
dv x dx v x
=
=
Vậy J= lnx 2
2
x
1
e
1
e
x
+
2/ Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a) Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
2 1
b/
1
b) Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
*Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
Ví dụ: Tính các tích phân : ( )
2 2 1
6
x dx
x x
Giải
Đặt x52(x x- 1)6
- - =(x 52)(x-x5 3)=x A2+x B3=A x((x- 3)2)(+x B x( 3)+2)
⇒ A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 ⇒ A=3 cho x=3 ⇒ B=2
Vậy ta có: ( )
2 2 1
6
x dx
x x
2
2 1 1
ị
* Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính các tích phân :
1 2 0
(2 1)
x dx
x x
+
Trang 9CI:
2
x x
x
−
1
0 5 ln4 2
Vậy
1
0
5 (2ln x-2 - )
x-2 = 5 ln4
2−
*Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=
0 2 1
(2 3)
x dx
x x
Giải :
Ta có
2
0
d x x
x x
1
4 ln/x +2x+4/ ln 4 ln3 ln
3
Tính J=
0
2 1
5 (x 1) 3dx
ị
Đặt x+1= 3tgt (t ∈ ;
2 2
π π
−
2 3(1+tg t dt) Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=π6
2
(3 3 tg t dt) 3 dt 3 6
tg t
π
+
3− 33−π6 )
3/ Tính tích phân hàm vô tỉ:
Dạng1:∫b ( ,n + )
a
R x ax b dx Đặt t= n ax b+
Trang 10Dạng 2:∫b ( ,n ++ )
a
ax b
cx d Đặt t= n
ax b
cx d
+ +
Ví dụ: Tính tích phân I =
1 3 0
1 xdx−
∫
Giải
Đặt t =31 x− ⇔ t3= 1-x ⇔ x= 1-t3 ⇒ dx= -3t2dt
Đổi cận:
x=0 ⇒ t=1; x=1 ⇒ t=0 Vậy I=
1
3
t
t − t dt= t dt= =
4/ Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
Dạng: sin cosax bxdx, sin sinax bxdx, cos cosax bxdx
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải
Dạng: sinn xdx; cosn xdx
α∫ α∫
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi
biến
Ví dụ :
1 cos2
2
n
x
+
Dạng: R(sin ).cosx xdx
β
α∫ Đặc biệt: sin2n x.cos2 1k xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =sinx
Trang 11Dạng: R(cos ).sinx xdx
β
α∫ Đặc biệt: βsin 2n 1x.cos 2k xdx
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/ 4 0 sin3 cos x x dx
π
0
sin xdx
π
∫ c/2 3
0
cos xdx
π
0 cos sinx xdx
π
∫
Giải
a/ 4 0 sin3 cos x x dx
π
π
π
0 0
1(sin 4 s 2 ) 1 cos4( cos2 ) 1
b/
π π
−
0
c/I=2 3 0
cos xdx
π
cos cos x x dx (1 sin ).cos x x dx
đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx x=0 ⇒ u=0 ; x= π
2 ⇒ u=1 Vậy: I=∫1 − 2 = − 3 1 =
0 0
2
u
u du u
d/J=2 3 2 0
cos sinx xdx
π
cos sin cos x x x dx (1 sin )sin cos x x x dx
đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx x=0 ⇒ u=0 ; x= π
2 ⇒ u=1 VËy: J=∫1 − 2 2 =∫1 2 − 4 = 3 − 5 1 =
0
2
Cu ̉ng cơ:
Trang 12Baứi taọp ủeà nghũ: Tớnh caực tớch phaõn sau:
Bài 1 : 1/∫1 3
0
x
x e dx 2/
π
∫4 2
0 cosx dx
x 3/ ∫1eln x dx 4/∫522 ln(x x−1).dx 5/
π
∫20e x.cos x dx
Bài 2 : 1/ I= + −
∫2 3 22
1
x x x dx
x 2/ J=
+
∫43 2x2 51x 3dx x
Bài 3 : 1/ I=
∫1 2
0
1
5 6dx
x x 2/ I=
−
∫5 2 4
1 2
6 x dx9
x x 3/ I=
4 2 2
x dx
x x
−
Bài 4: 1/∫1 3 −
0
1
x xdx 2/
−∫1 −
2 2
x dx
x
Bài 5 : 1/ π∫ 4
0
cos x dx. 2/
π
∫
2
0
sin cos x x dx 3/2 4 4
0
sin x.cos x dx.
π
2
6
1 sinx dx
π
π
Tuõ̀n: 3 Tiờ́t: 12-13-14
DIậ́N TÍCH HÌNH PHẲNG – THấ̉ TÍCH KHễ́I TRÒN XOAY
I Mục tiêu.
-Tính đợc diện tích hình phẳng
-Tính đợc thể tích khối tròn xoay quay trục Ox
II Nội dung.
1/ Dieọn tớch hỡnh phaỳng:
a) Daùng toaựn1: Dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi 1 ủửụứng cong vaứ 3 ủửụứng thaỳng.
Coõng thửực:
Cho haứm soỏ y=f(x) lieõn tuùc treõn ủoaùn [a;b] khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (C) :y=f(x) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a; x=b; y= 0 laứ : ( )
b a
S =∫ f x dx
Trang 13b) Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là :
b
a
S =∫ f x −g x dx
Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng
b
a
TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1∈(a;b) Khi đó diện tích hình phẳng
cần tìm là:
1
1
x
TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2∈(a;b) Khi đó diện tích hình
phẳng cần tìm là:
2
=∫x a − +x∫x − +x∫b −
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường
hợp 3
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2π ]
và Ox
Giải:
Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x=π∈(0;2π ) vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S =
π
sinx dx sinxdx sinxdx = cosxπ0 + cosxπ2π = 4
Trang 14Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2
Giải
Pthđgđ : x2 –2 x = x2 + 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2
Do đó :S=
(x 2 ) (x x 1)dx [(x 2 ) (x x 1)]dx [(x 2 ) (x x 1)]dx
2x 1 dx 2x 1 dx
1
2
x +x -- + x +x - =1 25 134+ 4 = 2 (dvdt)
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0
Giải:
Ta có (P): y2 = 4 x ⇔ x = 2
4
y và (d): 2x+y-4 = 0 ⇔ x=4
2
y
−
Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: 2
4
y =4 2
y
4
y y
=
= −
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=
4
4
−
− − = − − = − − =
2/ Thể tích của một vật thể tròn xoay
Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một vòng xung quanh trục ox là: 2 ( )
b
a
V =Π∫f x dx
Ví dụ 1: Tính thể tích khối cầu sinh ra do quay hình tròn có tâm O bán kính R quay xung
quanh trục ox tạo ra
Giải:
Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 ⇒ y2= R2-x2
Thể tích khối cầu là : V= ( 2 2)
R R
R x dx
π
−
−
3
R R
x
R x
π
−
3
3 2 2
3
R R
π −
4
3πR
(đvtt)
Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các
Trang 15đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x
Giải:
Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là :
S π x x dx π x x x dx
1
4
(đvtt)
Bài tập đề nghị:
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục hoành 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y= x+1
x và các đường thẳng
có phương trình x=1, x=2 và y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5
4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x
5/ Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường
sau khi nó quay xung quanh trục Ox:
a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =
4
π
b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π
c/ y = xe2x ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1
Bµi tËp thªm vỊ tÝch ph©n Bµi 1 TÝnh: a,
1 2 0
1
3 2dx
x − +x
∫ b,
1 2 0
7 13
x
dx
x x
−
∫
Gi¶i a,
2
(ln 2 ln 1) ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2ln 2 ln 3 ln
b,
2
x
Trang 161 1
Bµi 2 TÝnh: a, 3 3
0
sin
x dx x
π
+
∫ b,
1
0 1
x −xdx
∫ c, 2
1
1 ln
e
x dx x
+
∫
Gi¶i a, 3 3
0
sin
x dx x
π
+
∫ §Æt t=cosx⇒ = −dt sinxdx §æi cËn 0 1; 1
1
π
2
= −
b,
1
0
1
x −xdx
∫ §Æt t= 1− ⇒ = − ⇒x t2 1 x 2tdt= − ⇒dx dx= −2tdt
§æi cËn x= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ =1 t 0
x −xdx= − −t t tdt= t − t dt
0
1
1 ln
e
x
dx
x
+
x
§æi cËn x= ⇒ =1 t 0;x e= ⇒ =t 1 VËy: 2
1
1 ln
e
x dx x
+
2 0
0
t
t dt t
∫
Bµi 3 TÝnh: a,
1
0
x
xe dx
∫ b,
1
0 (x+1)sinxdx
∫ c,
1 ln
e
xdx
∫
Gi¶i a,
1
0
x
xe dx
∫ §Æt u x x du dx x
dv e dx v e
⇒
1
0
x
xe dx
1
0
xe −∫e dx e e= − = − + =e e
Trang 17b, 2
0
(x 1)sinxdx
π
+
cos
dv sinxdx v x
x sinxdx x cosx xdx sinx
c,
1
ln
e
xdx
∫ §Æt
1 ln
x
dv dx v x
ln
e
xdx
1
e
x x −∫dx e x= − =
Bµi 4 TÝnh tÝch ph©n sau:
1 2
0
1
x x
dx x
+
Gi¶i:
Bµi 5 TÝnh tÝch ph©n sau:
1 3
0
2
x x
dx x
−
∫
x x
3
x
Bµi 6 TÝnh tÝch ph©n sau:
2 2 0
1
4dx
x +
2
4
2 tan 4 tan 4 4 4 tan 4 1 tan =
cos
t
2
cos
t ∗ = ⇒ =x 0 t 0; x= ⇒ =2 t π4
Ta cã:
t dt
+
Bµi 7 TÝnh tÝch ph©n sau:
3
2
0 9
dx x
−
Gi¶i: §Æt
Trang 182 2
9 x 9cos t 3 cos t
3
Khi đó
3
2
2
1
dx
tdt dt t t
x
π
−
Bài 8 Tính tích phân sau: ( cos )
0
sin
x
e x xdx
π
+
Giải: Ta có: ( cos ) cos
∫ e x x xdx ∫e x xdx ∫x xdx I J
1
0
e
π
π
0
.sin
J x xdx
π
Vậy: ( cos )
0
1 sin
x
e x xdx I J e
e
π
π
∫
Bài 9 Tính tích phân sau: 6( )
0 sin 6 sin 2x x 6 dx
π
−
1
2
6
x
Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng sau:
y = x2 + 1 , x + y = 3
Giải: Đặt : f1(x) = x2 + 1 , f2(x) = 3 - x
