CHƯƠNG VIII PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Trường hợp 1: TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
A B 0
⎧
⎨ + =
Bài 156 Giải phương trình:
4 cos x 3tg x 4 3 cos x 2 3tgx 4 0 (*)+ − + + =
Ta có:
⎧
=
⎪⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
π
⎧ = ± + π ∈
⎪⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
π
3 cos x
2 1 tgx
3
6 1 tgx
3
6
=
Bài 157 Giải phương trình:
( ) 2
8cos 4x.cos 2x+ 1 cos 3x 1 0 *− + =
Ta có: ( )* ⇔ 4 cos 4x 1 cos 4x( + )+ +1 1 cos 3x 0− =
2
2
4 cos 4x 4 cos 4x 1 1 cos 3x 0
2 cos 4x 1 1 cos 3x 0
=
⎪⎪
1 cos 4x
2 k2
3
Trang 2⎧ = −
⎪⎪
⎪⎩
π
1 cos 4x
2
2
3
(ta nhận k = ±1 và loại k = 0 )
Bài 158 Giải phương trình:
2
3sin 4x
Ta có: cos 3x.sin 3x sin 3x.cos x3 + 3
3 cos x sin x 3sin x cos x 3sin x cos x cos x sin x
3sin 2x.cos 2x 3sin 4x
2
( )
2
2
1
4
≠
≠
≠
⎧
⎪⎪
⎪
⎪⎩
2
2
sin 4x 0
1 sin 3x sin x 2
sin 3x 0 cos 3x 0
≠
≠
⎧
≠
sin 4x 0 sin 4x 0
1
2 sin x 0 (VN) sin 3x 1
≠
⎧
⎪⎪
⎪
sin 4x 0
1 sin x
2 3sin x 4 sin x ±1
Trang 3⎧
⎪
⎪⎩
≠
⎧
⎪
⎪⎩
sin 4x 0
1 sin x
2 sin 4x 0
5
5
Trường hợp 2 Phương pháp đối lập
A B
⎧
⎨ =
Bài 159 Giải phương trình: sin x cos x4 − 4 = sin x + cos x (*)
Ta có: (*) ⇔sin x cos x2 − 2 = sin x + cos x
≤
⎧⎪
⎪⎩
≤
⎪
⎩
π
2
2
cos 2x sin x cos x cos 2x 0
cos 2x 1 2 sin x cos x
sin 2x 0 (cos 2x 1) sin 2x 2 sin 2x
cos 2x 1
2
Cách khác
Ta có sin4 x cos x sin x− 4 ≤ 4 ≤ sin x ≤ sin x + cos x
=
⎪⎩ 4
cos x 0
sin x sin x
π
2
⇔
Bài 160: Giải phương trình: ( )2
cos 2x cos 4x− = +6 2sin 3x (*)
Ta có: (*) ⇔ 4 sin 3x.sin x 6 2sin 3x2 2 = +
• Do:sin 3x 12 ≤ và sin x 12 ≤
nên 4 sin 3x sin x 42 2 ≤
• Do sin 3x ≥ −1 nên 6 2+ sin 3x 4≥
Vậy 4 sin 3x sin x 4 6 2sin 3x2 2 ≤ ≤ +
Dấu = của phương trình (*) đúng khi và chỉ khi
Trang 4⎧ =
⎧
= −
⎩
⎩
2
2 2
sin 3x 1
sin x 1 sin x 1
π
⎪
⎩
Bài 161 Giải phương trình: cos x sin x3 3 2cos 2x (*)
+ Điều kiện: sin x 0 cos x 0≥ ∧ ≥
Ta có: (*)
(cos x sin x 1 sin x cos x)( ) 2 cos x sin x( 2 2 ) ( sin x cos x)
⎡
⎢
⇔
⎢⎣
4
Ta có: khi sin x 0≥ thì sin x sin x sin x ≥ ≥ 2
Tương tự cos x cos x cos x ≥ ≥ 2
Suy ra vế phải của (2) thì ≥2
Mà vế trái của (2): 1 1sin 2x 3
Do đó (2) vô nghiệm
Vậy: (*) ⇔ x = π + πk , k∈
Bài 162: Giải phương trình: 3 cos x− − cos x 1 2(*)+ =
Ta có: (*) ⇔ 3 cos x 2− = + cos x 1+
3 cos x 5 cos x 4 cos x 1
Ta có: −2 cos x 1( + ) ≤ ∀0 x
Do đó dấu = của (*) xảy ra ⇔ cos x= − 1
⇔ x = π +k2π , k∈
Trang 5Bài 163: Giải phương trình:
cos 3x+ 2 cos 3x 2 1 sin 2x (*)− = +
Do bất đẳng thức Bunhiacốpski:
nên: 1cos 3x 1 2 cos 3x+ − 2 ≤ 2 cos 3x2 +(2 cos 3x− 2 ) =2
Dấu = xảy ra ⇔cos3x = 2 cos 3x− 2
cos 3x 0 cos 3x 2 cos 3x cos 3x 0
cos 3x 1 cos 3x 1
≥
⎧
⎩
≥
⎧
= ±
Mặt khác: 2 1 sin 2x( + 2 )≥ 2
Vậy: cos3x+ 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x− 2 ≤ ≤ ( + 2 )
dấu = của (*) chỉ xảy ra khi:
=
⎧
⎪
⎪⎩
cos 3x 1 sin 2x 0 cos 3x 1
k
2
x 2m , m
g )
Bài 164: Giải phương trình: tg x cotg x 2sin x2 2 5 (*)
4
π
Điều kiện: sin 2x 0≠
• Do bất đẳng thức Cauchy: tg x cotg x 22 + 2 ≥
dấu = xảy ra khi tgx cotgx=
4
π
⎛ + ⎞≤
4
π
⎛ + ⎞ ≤
4
π
⎛ + ⎞=
Do đó: tg x cotg x 2 2sin x2 2 5
4
π
Dấu = của (*) xảy ra
tgx cotgx
4
=
⎧
⎪
⎩
Trang 6⎧ =
⎪
⎪⎩
π
2
tg x 1
4
4
Trường hợp 3:
=
+ = ⇔ ⎨⎧ ==
⎩
sin u 1
sin v 1
− = ⇔ ⎨⎧ == −
⎩
sin u 1
+ = − ⇔ ⎨⎧ = −= −
⎩
Tương tự cho các trường hợp sau
sin u cos v± = ±2 ; cos u cos v± = ±2
Bài 165: Giải phương trình: cos 2x cos3x 2 0 *( )
4
4
3x
Do cos 2x 1 và cos 1
4
nên dấu = của (*) chỉ xảy ra
⎧
=
π
∈
x k , k
cos 2x 1
x 8m , m 8h
3
4
để k nguyên ta chọn h 3m m ( thì k 8m )
Cách khác
x 8m , m
Bài 166: Giải phương trình:
( )
cos2x cos4x cos6x cos x.cos2x.cos3x 2 *+ + = +
Trang 7( )
2
4 cos3x.cos 2x.cos x 1
Vậy: cos 3x.cos 2x.cos x 1(cos 2x 6 cos 4x cos 6x 1)
4
Do đó:
* cos 2x cos 4x cos 6x cos2x cos 4x cos6x
3 cos 2x cos 4x cos 6x 9
+
cos 2x cos 4x cos 6x 3
⇔ 2x k2 , k= π ∈ ⇔ x k , k= π ∈
( Thế (1) vào (2) và (3) ta thấy hiển nhiên thỏa)
Bài 167: Giải phương trình:
( )
cos 2x− 3 sin 2x− 3 sin x cos x 4 0 *− + =
Ta có:
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
π
⎩
π
⎧ = + π ∈
⎪
π
⎪ = + π ∈
⎪⎩
∈
6
3
3
Cách khác
( *)
Trang 8⎧ ⎛ π⎞
π
⎪ = + π ∈
⎪⎩
3
3
Bài 168: Giải phương trình: 4 cos x 2cos2x cos4x 1 *− − = ( )
Ta có:( )* ⇔ 4 cos x 2 2cos x 1− ( 2 − ) (− 1 2sin 2x− 2 )=1
2
4cosx 4 cos x 8 sin x cos x 0
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x cos x 0
2
cos x 0 hay 1 cos x 2 sin x 1 0
cos x 0 hay 1 cos x cos 2x 0 ( * *)
1 cos x 0 hay 1 cos 3x cos x 0
2 cos x 0 cos 3x cos x 2
=
⎧
⎩
cos 3x 1 cos x 0
cos x 1
=
⎧
⎩
π
3
cos x 1 cos x 0
4 cos x 3 cos x 1 cos x 0 cos x 1
2
Cách khác
( * *) cos x 0 hay cos x cos 2x 1
−
cos x 0
2
)
⇔ x = π + π ∨ =k x k2 , kπ ∈
2
Bài 169: Giải phương trình:
( )
1
sin x cos 2x cos 3x
Điều kiện: sin 2x cos2x cos3x 0≠
Lúc đó:
cos 2x cos 3x sin x.cos 2x.cos 3x =
+ =
=
sin 2x sin x cos 3x sin 3x sin x.cos 2x 1 0 sin x sin 2x cos 3x sin 3x cos 2x 1 0
Trang 9( )
=
= −
2
2 cos 6x cos 4x 2
cos 6x 1
t 0
=
Do đó: (*) vô nghiệm
Cách khác
x
⇔ ∈∅
Bài 170: Giải phương trình: cos 3x.cos2x cos x 0 *2 − 2 = ( )
Ta có: ( )* ⇔ 1(1 cos 6x cos 2x+ ) − 1(1 cos 2x+ ) 0
=
⎧
⎩
⇔ ⎨
=
⎩
⇔ ⎨
=
⎩
π
2
2
cos 6x cos 2x 1
1 cos8x cos4x 1 2
cos 8x cos 4x 2 cos 8x 1
cos 4x 1
2 cos 4x 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 cos 4x 1 4x k2 , k k
2 Cách khác
⇔ cos 6x cos 2x 1 =
hay
Trang 10= π ∈ = π + π ∈
hay
π
2
Cách khác
⇔
π
⇔ x= k , k∈
2
Trường hợp 4: DÙNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
y = ax là hàm giảm khi 0< a <1
Do đó ta có
2
∀
∀
Bài 171: Giải phương trình: 1 x2 cos x( )
2
Ta có: ( )* 1 x2 cos
2
Xét y x2 cos x trên
2
Ta có: y '= −x sin x
và y '' 1 cos x 0 x R= − ≥ ∀ ∈
Do đó y’(x) là hàm đồng biến trên R
Vậy ∀ ∈x (0,∞): x 0 nên y ' x> ( )> y ' 0( ) =0
Do đó:
2
Dấu = của (*) chỉ xảy ra tại x = 0
Do đó ( )* ⇔ = •x 0
Trang 11Bài 172: Giải phương trình
sin 4 x+ sin 6 x= sin 8 x+ sin 10
x (*)
Ta có
2 2
và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1hay sinx = 0 và dấu =xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 hay sinx = 0
⎪
⎨
≥
⎪⎩
⇔sin2x = 1 sinx = 0 ∨
⇔x = ± π +k π ∨ x = k π, k∈
Cách khác
(*)⇔ sin 4 x = hay + sin 2 x= sin 4 x + sin 6 x
BÀI TẬP
Giải các phương trình sau
π
4 1
4
sin x
2
=
)=
π
sin x
2
Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn)