Quan hệ vuông góc (full)

Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng, đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc.. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng v

 - -

A Các vấn đề chính:

1 Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng

2 Chứng minh vuông góc: đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng,

đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc

3 Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 đờng thẳng, góc giữa đờng thẳng

và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng

4 Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 điểm đến 1 đờng thẳng, đến 1

mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 đờng thẳng chéo nhau

5 Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện

B Bài tập:

Loại 1: Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, với đ ờng thẳng:

1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B

a)Chứng minh BC ⊥ (SAB)

b)Gọi AH là đờng cao của ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ (SBC)

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lợt là trung điểm AB,

BC Biết SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:

a)SO ⊥ (ABCD)

b)IJ ⊥ (SBD)

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi

H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD

a)Chứng minh rằng: CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

b)Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK)

c) Chứng minh: HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI

4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều, gọi I là trung điểm BC

a)Chứng minh: BC ⊥ (AID)

b)Vẽ đờng cao AH của tam giác AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD)

5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là điểm thuộc

mp(ABC) sao cho OH ⊥ (ABC) Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (OAH)

b) H là trực tâm của ∆ABC

1 1

1 1

OC OB

OA

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều

và SC = a 2 Gọi H, K lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AD

a)Chứng minh: SH ⊥ (ABCD)

b)Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD

7 Gọi I là 1 điểm bất kì nằm trong đờng tròn (O; R) CD là dây cung của đờng tròn (O) qua I Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E là

điểm đối tâm của D trên (O) Chứng minh rằng:

a) Tam giác SDE vuông ở S

b)SD ⊥ CE c) Tam giác SCD vuông

Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:

8 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đờng cao BE, DF của tam giác BCD; đờng cao DK của tam giác ACD

a)Chứng minh: AB ⊥ (BCD)

b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)

c) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD CM: OH ⊥ (ADC)

9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA ⊥ (ABCD)

và SA = a 6 Chứng minh:

a)(SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ⊥ (SBD)

b)(SBC) ⊥ (SDC)

10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD

a)Chứng minh: SO ⊥ (ABCD); (SAC) ⊥ (SBD)

b)Một mặt phẳng (α ) đi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lợt tại B’, C’, D’ Chứng minh AC’ ⊥ B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ đối xứng với nhau qua mặt phẳng (SAC)

11.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD = 6

2

a vuông góc với (ABC) Chứng minh:

a)Mặt phẳng (SAB) ⊥ (SAC)

b)Mặt phẳng (SBC) ⊥ (SAD)

12.Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với AB = a và BD = 23a Trên đờng thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đờng chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a

a) Chứng minh tam giác ASC vuông

b)Chứng minh: (SAB) ⊥(SAD)

13 Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y Tìm hệ thức liên

hệ giữa a, b, x, y để:

a)(ABC) ⊥ (BCD)

b)(ABC) ⊥ (ACD)

14.Cho ∆ABC vuông tại A Vẽ BB’ và CC’ cùng vuông góc với (ABC)

a)(ABB’) ⊥ (ACC’)

b) Gọi AH, AK là các đờng cao của các tam giác ABC và AB’C’ Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC’B’) và (AB’C’) cùng vuông góc với (AHK)

Loại 3: Góc của 2 đ ờng thẳng:

15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a

SA vuông góc với AB và AD, SA = 2 3

3

a Tính góc của 2 đờng thẳng:

16 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD

6 ) 17.Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’

a) Tính góc giữa: AB’ và BC’; AC’ và CD’ (600 và 900) b) Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, C’D’ Hãy tính góc giữa: MN và C’D’; BD và

Loại 4: Góc giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng:

18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 vuông góc với đáy Tính góc của:

7

α

=

14

α

=

19.Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc Gọi

I là trung điểm AB

a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) tan 15

5

α

=

b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD) Suy ra góc của SC với (SAD) 3;sin 6

=

c) Gọi J là trung điểm CD, chứng tỏ (SIJ) ⊥ (ABCD)

3

α

20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với đáy Gọi

M, N lần lợt là trung điểm SA và BC Biết góc giữa MN và (ABCD) là 600

b) Tính góc của MN với mặt phẳng(SBD) sin 2

5

α

Loại 5: Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng:

21.Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần lợt là trung điểm AB, BC Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (600)

22.Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a

a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy (300)

3

α

23.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên

và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm của B’C’

b) Tính góc giữa 2 đờng thẳng: BC và AC’ (tanα = 3)

c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy (tanα =2 3)

24. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3 vuông góc với (ABCD) Tính góc:

25.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc

26. Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB = a3 , vẽ SO ⊥ (ABCD) và SO = a36

a) Chứng minh: góc ASC = 900

b) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD)

27. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, ∆DBC vuông cân tại D

Biết AB = 2a, AD = a 7 Tính góc giữa (ABC) và (DBC) (300)

Loại 6: Các bài toán về khoảng cách:

28. Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB ⊥ (BCD) và AB = a Tính k/c:

2

7

29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy và

SA = SB = b Tính khoảng cách:

2 b −a )

b) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm AB ( 5

5

2

b

− )

30. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a SC = SA = SB = AD = a 2

Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC

a) Chứng minh (SIJ) ⊥ (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng AD và SB ( 42

7

31. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC) và AA’ = a, đáy là tam giác vuông tại

A có BC = 2a, AB = a 3

a) Tính khoảng cách từ AA’ đến mặt phẳng(BCC’B’) ( 3

2

7

c) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng(ACC’A’) và tính khoảng cách từ A’

2

32. Cho hình vuông ABCD cạnh a Dựng SA = a và SA ⊥ (ABCD) Dựng và tính độ dài

đoạn vuông góc chung của:

2

2

33.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy Tính khoảng cách giữa 2 đờng thẳng:

6

3