Sáng kiến kinh nghiệm THPT một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT

Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rất khó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học. Có rất nhiều bài toán về dãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổng các số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thường xuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic. Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ của học sinh phổ thông không chuyên hiện nay. Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một tài liệu tham khảo phù hợp. Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trường THPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các kỳ thi Olympic 304, các kỷ yếu, ....do các trường chuyên tổ chức. Thực tế hiện nay, các em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đó khi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng, không tìm được lời giải. Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập mà bài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi. Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cóp nhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôi khi nó mang tính chủ quan.

Trang 1

Trường THPT Chu Văn An Giáo viên: Lê Quốc Sang

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

An Giang, ngày 20 tháng 2 năm 2019.

BÁO CÁOKết quả thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.

I. SƠ LƯỢC LÝ LỊCH CỦA TÁC

GIẢ: Họ và tên: Lê Quốc Sang

Ngày tháng năm sinh: 09/08/1982

Nơi thường trú: Thị trấn Phú Mỹ, Phú Tân, An Giang

Đơn vị công tác: Trường trung học phổ thông Chu Văn An

Chức vụ hiện nay: Tổ trưởng tổ Toán, Bí thư Chi bộ KHTN 2

Lĩnh vực công tác: chuyên môn Toán

II SƠ LƯỢC ĐẶC ĐIỂM TÌNH HÌNH ĐƠN VỊ:

1. Đặc điểm tình hình:

Trường THPT Chu Văn An được thành lập từ năm 1975, tiền thân là trường cấp

BI Phú Tân, trải qua hơn 4 thập kỷ đội ngũ cán bộ, giáo viên, viên chức ngày càng lớnmạnh Nhìn chung, bộ máy tổ chức của trường THPT Chu Văn An ổn định, các tổchuyên môn đoàn kết, gương mẫu làm tốt nhiệm vụ được giao Trường học nhiềunăm liền được đánh giá “hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ”

Thành tích đạt được năm học 2017-2018 như sau:

 Chất lượng văn hóa:

Trang 2

 Chất lượng học sinh giỏi cấp tỉnh:

Học sinh giỏi các môn văn hóa cấp tỉnh: 21 giải

Học sinh thi máy tính bỏ túi cấp tỉnh: 07 cấp tỉnh

 Chất lượng hoạt động các cuộc thi:

Tham gia nhiều cuộc thi của Sở, Huyện tổ chức rất tích cực, đạt hiệu quả

 Tổ chức các Câu lạc bộ:Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh, … rất thành công, học sinhđược giáo viên hướng dẫn tận tình, tham gia nhiều bài viết, nhiều tiết mục sángtạo, phát hiện học sinh có nhiều tiềm năng triển vọng

2. Tên sáng kiến: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN.

3. Lĩnh vực sáng kiến: Toán học.

BI. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU CỦA SÁNG KIẾN:

1 Thực trạng và sự cần thiết phải áp dụng giải pháp, sáng kiến:

Dãy số, hàm số là một vấn đề cơ bản và nền tảng của giải tích, là một lĩnh vực rấtkhó và rất rộng, sử dụng nhiều kiến thức khác nhau của toán học Có rất nhiều bài toán vềdãy số như tìm số hạng tổng quát của dãy, chứng minh các tính chất của dãy, tính tổngcác số hạng của dãy, tìm giới hạn của dãy,….trong đó bài toán tìm giới hạn dãy thườngxuất hiện nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi, các kỳ thi Olympic

Những năm gần đây, các bài toán về dãy số rất ít xuất hiện trong các đề thi trunghọc phổ thông quốc gia nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này Tài liệutham khảo về dãy số cũng rất ít, hoặc có thì nội dung đề cập quá cao so với trình độ củahọc sinh phổ thông không chuyên hiện nay Do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểusâu thêm về dãy số hoặc những học sinh có ý định ôn thi học sinh giỏi rất khó tìm chomình một tài liệu tham khảo phù hợp

Học sinh khối 11 trung học phổ thông không chuyên, đặc biệt là học sinh trườngTHPT Chu Văn An không có điều kiện để học hỏi, trao đổi kinh nghiệm thông qua các kỳthi Olympic 30/4, các kỷ yếu, do các trường chuyên tổ chức Thực tế hiện nay, các

em chủ yếu học tập các bài toán dãy số trong sách giáo khoa và trong sách bài tập, do đókhi gặp các bài toán dãy số trong các kỳ thi học sinh giỏi, các em thường lúng túng,không tìm được lời giải

Bài viết này không phải tất cả các vấn đề về giới hạn của dãy số được đề cập màbài viết chỉ đề cập đến một số bài toán tìm giới hạn của dãy gặp nhiều trong các kì thi.Bài viết này không phải là một giáo trình, tài liệu về dãy số mà đúng hơn đó là sự cópnhặt, những ghi nhận của bản thân trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, đôikhi nó mang tính chủ quan

Rất mong quý thầy, cô, các bạn đọc giả xem đây như là một tài liệu mở và tiếp tụctriển khai, ghi nhận và góp ý cho những cái chưa hay, chưa chính xác

Phần nội dung chính của giải pháp, sáng kiến là xoay quanh một số bài toán tìm:

 Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.

 Giới hạn của dãy số dạng: u n 1 f u n

Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 2

Trang 3

 Giới hạn của tổng thường gặp: lim H x i

i 1

 Giới hạn của các dãy số sinh bởi nghiệm của phương trình.

2. Nội dung sáng kiến:

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề:

2.1.1 Các định nghĩa:

1) Dãy số tăng, dãy số giảm.

Dãy số u n được gọi là dãy số tăng nếu u n u n 1, n *

Dãy số u n được gọi là dãy số giảm nếu u n u n 1, n *

2) Dãy số bị chặn.

Dãy số u n được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u n M , n *

Dãy số u n được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u n m , n *

Dãy số u n được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới

3) Cấp số cộng.

Dãy số u n được gọi là cấp số cộng nếu u n 1 u n d , n * , trong đó d là số không

đổi, gọi là công sai của cấp số cộng

Dãy số u n đươc gọi là cấp số nhân nếu u n 1 u n q , n * , trong đó q là số không

đổi, gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu dãy số u n là cấp số nhân thì u n u1.q n 1, n 2 Nếu

dãy số u n là cấp số nhân với q 1, q 0 thì tổng

Trang 4

3) Định lý 3 Cho dãy u n xác định bởi công thức truy hồi u n 1 f (u n ), trong đó

f (x) là hàm số liên tục Khi đó, nếu u n a thì a là nghiệm của phương trình

f (x ) x

4) Định lý 4 Cho dãy số u n với u1 a là một số thực cho trước và u n 1 f (u n ).Khi đó

a) Nếu f (x) là hàm số đồng biến và x 1 x2 thì u n là dãy số tăng

b) Nếu f (x) là hàm số đồng biến và x 1 x2 thì u n là dãy số giảm

5) Định lí 5 Cho dãy số (u n ) với u1 a là một số thực cho trước và u n 1 f (u n ).Khi đó

a) Nếu f (x) là hàm số nghịch biến và x 1 x2 thì u 2n là dãy số tăng và u 2n 1 là dãy số giảm

b) Nếu f (x) là hàm số nghịch biến và x 1 x2 thì u 2n là dãy số giảm và

7) Tiêu chuẩn hội tụ (Tiêu chuẩn Weierstrass)

a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

8) Định lý LAGRANGE Nếu f (x) là hàm số liên tục trên đoạn a ; b , có đạo hàm

trong khoảng a ; b thì tồn tại c a ; b sao cho

f '(c ) f (b ) f (a) hay f (b ) f (a ) f '(c )(b a)

b a

2.2 Các dạng toán thường gặp:

2.2.1 Giới hạn dãy số bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số đó.

Trong dạng này, chủ yếu là áp dụng các công thức về định nghĩa cấp số cộng, cấp số nhân, công thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, cấp số nhân và đặt dãy

n

n 1

Trang 5

Trang 6

Trang 7

Trang 8

n 1 n Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An Trang 7

Trang 9

Trang 10

a2 1 a 0

Trang 11

4 3x

4 3x 2Tính toán trực tiếp ta có x 2 x3 , do đó dãy x n n 2 tăng (1)

Trang 12

Dễ dàng chứng minh bằng qui nạp ta được x 1 , với mọi n 1. (2)

Từ (1) và (2) suy ra dãy có giới hạn

Gọi a là giới hạn của dãy thì a 1 và a là nghiệm của phương trình

Bằng quy nạp chứng minh được u n 3, n 1

Giả sử rằng u n có giới hạn là a thì a 3 và a là nghiệm của phương trình

Trang 13

Trang 14

u n 1 a f (u n ) f (a ) f '(c n ) u n a

= f

n u n a

1 x 2

ga 2n 1 f f a 2n 1 f a 2n 2 a 2 n 3 a2 n 1 1

Từ (1) và (2) suy ra dãy a 2n 1 đơn điệu và bị chặn trên 0;1 nên a 2n 1 đến

k , tương tự dãy a 2n cũng hội tụ đến l

Do k và l là nghiệm dương duy nhất của phương trình g x x hay

k l 5 1

2

Trang 15

Vậy lima 5 1

(2)

Trang 16

hội tụ

Trang 17

4 x0 và do f tăng nên x n là dãy

Khi đó dãy x n là dãy hằng và lim x n

43

Trang 18

i 1

Bước 1 (có thể sử dụng định nghĩa hoặc tính chất dãy đơn điệu)

Ta có x n 1 x n 2019x n2 0 n 1,2, nên dãy x n là dãy tăng và là dãydương

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là a thì a 2019a 2 a a 0 (vô lý)

Trang 19

Do đó dãy x n là dãy tăng.

Trang 20

Giả sử lim x a suy ra a 0 và a

2.2.4 Giới hạn của các dãy sinh bởi phương trình

trong đó n là số nguyên dương

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 1; và ký hiệu nghiệm đó là x n

Khảo sát tính đơn điệu của f n (x) trên 1; Dễ

thấy rằng f (x) liên tục trên 1;

Trang 21

Trang 22

nên f n (x) nghịch biến trên x 1;

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (2) trên 1;

Trang 23

trong đó n là số nguyên dương.

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất nghiệm trong 0;1 và ký hiệu nghiệm đó là x n

2) Chứng minh rằng tồn tại giới hạn hữu hạn lim x n

Trang 24

Trang 25

nên f n (x) nghịch biến trên 0;1

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình (1) trên 0;1

Khảo sát tính đơn điệu và bị chặn của x n

Với mỗi số nguyên dương n ta có:

Trang 26

Đặt f n x x n x 2 x 1, x 1, n 2

Khảo sát tính đơn điệu của f n (x) trên 1;

Suy ra f n '(x ) f n' 1 n 2 1 0, n 3

Xét sự tồn tại nghiệm của phương trình trên 1;

Từ (2) và (3) suy ra với mỗi số nguyên dương n , phương trình trên có duy nhất

Trang 27

Bài toán 17 Xét phương trình x n x n trong đó n là số nguyên dương n 2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương, phương trình trên có một nghiệm

dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n

Trang 28

2) Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó lim x n

Bài toán 18 Xét phương trình x n x n 1

và n 2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n 2 , phương trình trên có một

nghiệm dương duy nhất và ký hiệu nghiệm đó là x n

Trang 29

Khảo sát tính đơn điệu của f n (x ) x n x n 1

lim x n

2

n

IV HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Bản thân đã mang đề tài giảng dạy đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 11 của trườngTHPT Chu Văn An các năm qua Sau quá trình học tập các em đã làm quen với các bàitoán dãy số từ đơn giản đến nâng cao, cách giải cũng rất tự nhiên theo chiều hướng dễ tiếpcận Chất lượng của đội tuyển học sinh giỏi Toán của trường được nâng lên rõ rệt Kết quảthi học sinh giỏi các năm qua như sau:

Trang 30

Học sinh giỏi cấp tỉnh: 1 giải nhất, 1 giải 3

Giáo viên ở các trường trung học phổ thông không chuyên trong và ngoài tỉnh đều

có thể áp dụng sáng kiến để giảng dạy cho học sinh giỏi khối 11, đặc biệt là áp dụng đểgiaing3 dạy cho đội tuyển học sinh giỏi toán của trường mình

Học sinh khối lớp 11 có cái nhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số thuộcchương trình trung học phổ thông không chuyên, từ đó giúp các em tự tin hơn khi đứngtrước các bài toán về dãy số

VI KẾT LUẬN:

Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 11, chủ yếu là hướng dẫn họcsinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày Tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khiđứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể nângcao khả năng tư duy, đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói riêng vàhọc môn tự nhiên nói chung

Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây, học sinh giỏi toán khối 11 trường THPT Chu Văn

An đã tập làm quen cách tiếp cận bài toán dãy số một cách tự nhiên, các em đã không cònngán ngại khi gặp các câu dãy số trong các đề thi học sinh giỏi Điều đó góp phần làm chochất lượng học sinh giỏi Toán của trường ngày càng được nâng cao trong những năm vừaqua

Với thời gian ngắn nên việc thực hiện đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót Mộtlần nữa, tôi rất mong sự góp ý chân tình của quý thầy, cô và các bạn đồng nghiệp Xin chânthành cám ơn!

Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến Người viết sáng kiến

Lê Quốc Sang

Trang 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải Các bài toán về dãy số NXBGD 2007.

[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số

NXBGD 2002

[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến.

Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009.

[4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 các năm.

[5] Tô Văn Ban Giải tích những bài tập nâng cao NXBGD 2005

Tiêu đề	Một số bài toán giới hạn dãy số cho học sinh giỏi lớp 11 trường THPT Chu Văn An
Tác giả	Lê Quốc Sang
Người hướng dẫn	PGS. TS. Nguyễn Văn A
Trường học	Trường Trung học phổ thông Chu Văn An
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2019
Thành phố	An Giang

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	265,73 KB