Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng AB.. a Chứng minh rằng tích KD.. PE không đổi.. b Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE.. c Tính chu vi ∆IED nếu ∆IK
Trang 1TRƯỜNG THCS NAM ĐÀ
Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2008 2009–
Họ tên :
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,0 điểm)
Giải phơng trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6
Câu 2 : ( 4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức :
A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 với x = 30
b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a3 – 12ab - b3
Câu 3 : ( 2,0 điểm)
Rút gọn phân thức : 2 33 7 22 12 45
Câu 4 : ( 3,5 điểm)
Một ngời đi một nữa quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng AB
Câu 5 : ( 2,0 điểm)
Chứng minh rằng :
a) S 2 2
4
≤ với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b
Câu 6 :( 6,5 điểm)
Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh
IK , IP sao cho DME Kˆ = ˆ
a) Chứng minh rằng tích KD PE không đổi
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE
c) Tính chu vi ∆IED nếu ∆IKP là tam giác đều
-( Giám thị không giải thích gì thêm )
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Chữ kí giám thị 1 ……… Chữ kí giám thị 2 ………
hớng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009
Trang 2Câu 1 (4,0 điểm)
a) Ta có A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25
= x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) +
7
Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7
b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy
= x2 +2xy +y2
= ( x+y )2 = 1
1,00 1,00 1,00 1,00
Câu 2 (4,0 điểm)
a) ta có 2 33 7 22 12 45
=
2
2
(3 1) 6 (3 1) 9(3 1)
2 2
2 2
(3 1)( 3)
= 2 5
x
x
+
−
b) Giải phơng trình :
(x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1)
Đặt t = x2-x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt :
t ( t+1 ) = 12
⇔ t2 + t – 12 = 0 ⇔( t2 - 3t ) + (4t – 12) = 0 ⇔t( t - 3) + 4(t – 3) = 0
⇔(t - 3) (t+ 4) = 0 ⇔ t = 3 hoặc t = - 4
- Với t = 3 => x2-x+1 = 3 ⇔ x2-x-2 = 0 ⇔x2-2x + x -2 = 0
⇔x(x-2) + (x -2 ) = 0 ⇔(x-2) (x +1 ) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = - 1
- Với t = - 4 => x2-x+1 = - 4 ⇔ x2-x + 5 = 0 ⇔ ( x- 1
2) 2 + 19
4 = 0 phơng trình này vô nghiệm vì ( x- 1
2) 2 + 19
4 > 0 với mọi x Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1
1,00 0,50 0.50
0.50
0.75
0.25
0.25 0.25
Trang 3
Câu 3 : ( 4,5 điểm )
Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 )
Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x+10 ( km/h )
Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x – 6 (km/h )
Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : 30
10
x+ (h)
Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đờng là : 30
6
x− (h)
Thời gian ô tô đi quãng đờng từ A đến B là : 60
x (h)
Ta có phơng trình : 30
10
30 6
60
( 6)
( 10)( 6)
x x
−
( 10) ( 10)( 6)
x x
+
2( 10)( 6) ( 10)( 6)
=> x2 – 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x – 120 ⇔ x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120
⇔4x = 120 ⇔ x = 30 ( km/h )
Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đờng AB là : 60
30 = 2 ( giờ )
0.50
1.00
0.75 0.75 0.50
0.50
0.50
Câu 4 (3,5 điểm)
HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
K
E H I
D
B
A
a) Ta có DMC DME CMEˆ = ˆ + ˆ , mặt khác DMC B BDMˆ = +ˆ ˆ , mà DME Bˆ = ˆ nên
Do đó ∆BDM và ∆CME đồng dạng ( gg )
=> BD BM
CM = CE => BD CE = CM BM = a a = a2
Vậy tích BD CE luôn không đổi
b) ∆BDM và ∆CME đồng dạng còn suy ra : DM BD
ME =CM => DM BD
( vì CM = BM )
Do đó ∆DME và ∆DBM đồng dạng => MDE BDMˆ = ˆ hay DM là tia phân giác của
góc BDE
0.5
0.50
0.50
0.50
0.50
Trang 4c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc
CED Kẻ MH ⊥ DE , MI ⊥ AB , MK ⊥ AC Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu
vi ∆AED bằng AI + AK = 2AK
Ta lại có CK =
MC =a , AC = 2a nên AK = 1,5a
Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a
0.50
0.50
Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
c
b
D
C
B a
A
a) Gọi h là chiều cao tơng ứng với cạnh a , ta có S = 1
2 ah
=> 4S = 2ah ≤ 2ab ≤ a2 + b2
Vậy S 2 2
4
Dấu bằng xảy ra h = b , a = b ∆ABC vuông cân
b) Theo câu a ta có : SABC 2 2
4
≤ ; SADC 2 2
4
≤
Mà S = SABC + SADC => S 2 2 2 2
4
a + + +b c d
Dấu bằng xảy ra ∆ABC vuông cân ở B , ∆ACD vuông cân ở D
ABCD là hình vuông
0.50
0.50 0.50 0.50 0.50
0.50 0.50 0.50
Lu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng đợc điểm tối đa