2 Xác định vị trí của mặt phẳng P sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất... Các đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng ABCD lần lượt tại C và D.Trên các đường thẳng và ta lấy lần lư
Trang 1Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2000
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2000
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (5 điểm)
Cho hàm số
Giải các phương trình sau:
1)
2)
Câu II (5 điểm)
Các góc A, B, C của một tam giác thỏa mãn:
Tìm các góc của tam giác đó
Trang 2Câu III (7 điểm)
Cho tam giác ABC vuông góc tại A Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt
phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm S sao cho SB = BA = AC = 1 (P) là mặt
phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA, SC, BC, BA lần lượt
tại D, E, F, H
1) Chứng minh DEFH là hình chữ nhật
2) Xác định vị trí của mặt phẳng (P) sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất
Câu IV (3 điểm)
a, b, c là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức:
-
Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định,
Lớp 11, 2001
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2001
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Trang 3Câu I (6 điểm)
1) Cho biểu thức:
Chứng minh
2) Giải phương trình:
Câu II (5 điểm)
Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Chứng minh:
Câu III (7 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a và BC = b Các đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt tại C và D.Trên các đường thẳng
và ta lấy lần lượt các điểm M, N bất kỳ sao cho
1) Chứng minh các điểm M, N ở 2 phía khác nhau đối với mặt phẳng (ABCD) 2) Chứng minh tứ diện ABMN có 4 mặt là các tam giác vuông
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
Câu IV (2 điểm)
có nghiệm
Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2002
Trang 4Bài từ Thư viện Khoa học VLOS
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2002
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (5 điểm)
1) Chứng minh với mọi giá trị của x, ta có:
2) Giải phương trình:
Câu II (5 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC nếu tam giác đó thỏa mãn:
Trong đó BC = a, CA = b, AB = c và A, B, C là độ lớn 3 góc của tam giác ABC đối diện lần lượt với 3 cạnh BC, CA và AB
Câu III (7 điểm)
Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A cố định trên đường tròn (O) Tứ giác ABCD biến thiên, nội tiếp trong đường tròng (O) sao cho
2 đường chéo luôn vuông góc với nhau Trên đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P) tại A ta lấy điểm S Nối S với A, B, C, D
Trang 51) Chứng minh
2) Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D và S
3) Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó theo R
Câu IV (3 điểm)
Cho các số thực a, b, c và d thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng tồn tại các số thực u và v sao cho:
Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2004
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2004
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (6 điểm)
Cho phương trình sau:
1) Giải phương trình khi
Trang 62) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm
Câu II (4 điểm)
Trên mặt phẳng cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a
theo a
2) Giả sử tứ giác ABCD thay đổi, mà AB = BC = CD = a không đổi Hãy tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ABCD
Câu III (7 điểm)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
1) Ta coi hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O, gọi là góc giữa mp(SAB) và mp(ABC) Hãy tính để O cách đều tất cả các mặt của SABC 2) Biết Xét mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A, sao cho mp(P) cắt các đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B', C' Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB'C' theo a
Câu IV (3 điểm)
Cho phương trình:
Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3
Giả sử x1 < x2 < x3, chứng minh rằng:
và
Toán học, Học sinh giỏi tỉnh Nam Định, Lớp 11, 2005
Bài từ Thư viện Khoa học VLOS
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÀN
TỈNH NAM ĐỊNH
Trang 7Trường học Trung học phổ thông
Lớp học 11
Năm học 2005
Môn thi Toán học
Thời gian 150 phút
Thang điểm 20
Câu I (6 điểm)
Cho phương trình sau:
với m là tham số
1) Khi m = 0, hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình
2) Xác định m để phương trình có nghiệm
Câu II (3 điểm)
Biết rằng số đo 3 góc trong của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân với công bội q = 2 Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC
1) Tính độ dài đoạn OG theo R
2) Biêt R = 57, hãy tính gần đúng số đo diện tích tam giác ABC (lấy đến 5 chữ số sau dấu phảy)
Câu III (3 điểm)
Cho tam giác ABC thỏa mãn:
Trang 8Hãy xác định số đo các góc của tam giác ABC
Câu IV (8 điểm)
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O Gọi A1,
B1, C1 thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
1) Chứng minh tam giác A1B1C1 là tam giác nhọn
2) Biết số đo 3 góc của tam giác ABC là A, B, C Gọi là số đo của góc nhị diện
, tìm theo B và C
3) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 đường cao của tam giác ABC
Chứng minh rằng:
