Chứng minh rằng dãy số vn là một cấp số nhân.. Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng SBC.. b Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng A
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC 2007 - 2008
Môn thi : TOÁN LỚP 11 THPT
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài I: ( 7,0 điểm)
1 Giải phương trình : cos3x – sin3x = cosx + sinx
2 Tính giới hạn hàm số :
3
1
lim
1
x
L
x
Bài II: ( 6,0 điểm)
1 Cho dãy số (un) có
1 2
2006, 2009
, * 3
n
a) Đặt v n u n1u n Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số nhân
b) Tính giới hạn : lim un
2 Giải hệ phương trình :
2
Bài III: ( 7,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 3a Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC, H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (SBC)
a) Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác SBC
b) Tính góc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng (ABC)
……… Hết ………
Họ và tên thí sinh : ……… SBD:…………
Đề chính thức
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
LỚP 11 - NĂM HỌC 2007 - 2008
I- 1
(3,5 đ)
Phương pháp: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích Chuyển về phương trình tích
Điều kiện: x R Phương trình đã cho tương đương với
cosx – cos3x + sin3x + sinx = 0
2sin2x.sinx + 2sin2x.cosx = 0
2sin2x(sinx + cosx) = 0
sin2x = 0 v sinx + cosx = 0
t anx = -1
4
k x
x k
k Z
Kết luận: x =
k
x v x k
1,0
1,0
1,0
0,5
I – 2
(3,5 đ)
Phương pháp: Thêm bớt biểu thức trên tử Tách ra tính hai giới hạn bằng cách
nhân biểu thức liên hợp
3
1
lim
1
x
L
x
=
3
x
=
2
( 1)( 3 1 2)
x
=
( 1)( 3 1 2)
x
=
( 3 1 2)
x
x
= 1
12
Kết luận: L = 1
12
1,0
1,0
1,0
0,5
II – 1a
(2,0 đ)
Phương pháp: Chứng minh v n1 q v n , q không đổi, thoả mãn với n N*
Từ định nghĩa cấp số nhân Ta có dãy số (vn) là một cấp số nhân với số hạng đầu
v1 = u2 – u1 = 3 và công bội q = 2
3
1,5
0,5
II – 1b
(2,0 đ)
Phương pháp: Tìm công thức số hạng tổng quát u n thông qua cấp số nhân (v n )
Áp dụng công thức lim n 0
q với |q| < 1
Trang 3Từ câu a) ta có tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (vn) là
1
1 2
2
3 1
3
2
1 3
n
n n
q
Mặt khác ta có:
v1 = u2 – u1
v2 = u3 – u2
v3 = u4 – u3
…………
vn - 2 = un - 1 – u n - 2
vn - 1 = un – un - 1
Cộng theo vế ta có
1 2 n 1 n 1
v v v u u
Từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy số (un) là:
1
1 1
2
3
n
Do đó giới hạn
1 2
3
n n
u
Kết luận: lim un = 2015
0,5
0,5
0,5
0,5
II-2
(2,0 đ)
Phương pháp: Áp dụng công thức nhân đôi, công thức nhân ba đối với tan
Điều kiện: x, y R
Nhận xét y = ± 1 không thoả mãn phương trình (1), x = ± 1
3, không thoả mãn phương trình (2)
Vì vậy hệ phương trình tương đương với
2
3
2
2
(1) 1
(2) 3
1 3
y x
y
x x y
x
Đặt y = tan với ( ; )
2 2
Từ phương trình (1) ta có 2 tan2 tan 2
1 tan
Từ phương trình (2) ta có y =
3
2
3 tan 2 tan 2
tan 6
Từ đó ta có phương trình: tan = tan 6
6 = + k
5
k
, k Z
2 2
nên ta chọn được k = 0, k = ± 1, k = ± 2
Vì vậy hệ phương trình cáo các nghiệm (0;0),
tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan
Kết luận: Hệ phương trình có 5 nghiệm (0;0),
tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan , tan ; tan
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 4III-1
(3,5 đ)
Phương pháp: Chứng minh SH BC, CH SB
* Gọi M là trung điểm của cạnh BC
Do ABC đều, G là trọng tâm của ABC nên ta có AM BC
Do SA (ABC) nên AM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABC)
Theo Định lí ba đường vuông góc ta có SM BC
Mặt khác do H là hình chiếu vuông góc của O lên (SBC) nên OH BC và OM
BC Suy ra HM BC
Suy ra SH BC (1)
* Do ABC đều nên ta có CO AB
Do SA (ABC) nên SA OC
Từ đó suy ra OC (SAB)
Suy ra SB OC
Mặt khác OH (SBC) OH SB
Từ đó ta có SB (COH)
Suy ra CH SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của
SBC
1,0
1,0
1,0
0,5
III-2
(3,5 đ)
Phương pháp: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường
thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (SBC)
Do đó ta có OH // AK
Ta có đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AK lên (ABC)
Vì vậy góc giữa đường thẳng OH và (ABC) bằng góc giữa đường thẳng AK và
(ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng (AK, AM) bằng góc KAM
90
90
ASM AMS nên KAM SMA
Xét SAM vuông tại A có AM = a 3 , SA = 3a
AM
A
Từ đó ta có góc (OH,(ABC)) = 300
Kết luận: (OH,(ABC)) = 300
1,0
1,0 0,5
1,0
Thanh Chương, ngày 15tháng 3 năm 2008
Giáo viên
Trần Đình Hiền
S
A
K
O
B
C
H
2a 3a
M