Hình học phẳng ôn thi đại học

Một đường trũn C' tiếp xỳc với Oy và tiếp xỳc ngoài với C.. Lập phơng trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABA’B’ có diện tích bằng 4π... Lập phương trình đường thẳng q

HèNH HỌC PHẲNG ễN THI ĐẠI HỌC

HèNH HỌC PHẲNG ễN THI ĐẠI HỌC

1) Trong mp(Oxy) cho tam giỏc ABC biết A=( )1;4 , phương trỡnh đường cao (BH): x−2y+ =9 0, Phương trỡnh đường phõn giỏc (CD)x y+ − =3 0 Tỡm toạ độ 2 điểm B, C

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trũn (C): (x−1)2+ +(y 1)2 =4 Một đường trũn (C') tiếp xỳc với

Oy và tiếp xỳc ngoài với (C) Tỡm tõm của (C') biết tõm thuộc đường thẳng (d): 2x y− =0

3) Cho∆ABC cú đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y+ + =1 0 và phõn giỏc trong CD

1 0

x y+ − = Viết phương trỡnh đường thẳng BC

HD: Điểm C CD x y∈ : + − = ⇒1 0 C t( ;1−t)

Suy ra trung điểm M của AC là 1 3;

Điểm

M∈BM x y+ + = ⇒  + + − + = ⇔ = − ⇒t C −

Từ A(1;2), kẻ AK ⊥CD x y: + − =1 0 tại I (điểm K BC∈ )

Suy ra AK:(x− − − = ⇔ − + =1) (y 2) 0 x y 1 0

Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0 ( )0;1

1 0

x y

I

x y

+ − =

 − + =

Tam giỏc ACK cõn tại C nờn I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của K(−1;0).

7 1 8

+ = ⇔ + + =

− +

4) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú diện tớch bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chộo nằm trờn đường thẳng y = x Tỡm tọa độ đỉnh

C và D

Ta cú: uuurAB= −( 1;2) ⇒AB= 5 Phương trỡnh của AB là:

2x y+ − =2 0.

( ): ( );

I∈ d y x= ⇒I t t I là trung điểm của AC và BD nờn ta

cú: C t(2 1;2 ,− t D t t) (2 ;2 −2)

Mặt khỏc: S ABCD =AB CH =4 (CH: chiều cao) 4

5

CH

;

t

 Vậy tọa độ của C và D là 5 8; , 8 2;

    hoặc C(−1;0 ,) (D 0; 2− )

5) Trên Oxy cho Elip 22 + 22 =1

b

y a

x (a>b>0) biết

2

1 2 2

=

−

a

b

tại A, A’, cắt Oy tại B, B’ Lập phơng trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABA’B’ có diện tích bằng 4π

HD: gt: Diện tích hình tròn nội tiếp

hình thoi ABA’B’ bằng 4π

⇒ bán kính đờng tròn r = 2

A’ A

B’

B

O K

O là tâm hình tròn, kẻ OK ⊥ AB’ ⇒ r = OK = 2

4

1 1

1 1

b a OB

OA

Từ gt:

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

1

b a b a a

b a a

a

b a

=

⇔

−

=

⇔

−

=

⇔

=

−

a2 và b2 đợc tìm từ hệ (1); (2)









=

=

⇔









= +

=

6

12 4

1 1

2

2 2 2

2

2 2

b

a b

a

b a

Vậy Elíp thoả yêu cầu bài toán co pt là: 1

6 12

2 2

= + y

x

6) Trên Oxy cho 2 đờng thẳng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0 Gọi I là giao điểm của d1 và d2; A

là điểm thuộc d1, A có hoành độ dơng khác 1 (0 < xA ≠ 1) Lập phơng trình đờng thẳng () đi qua A, cắt d2 tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB = 3IA

• I = d1∩ d2⇒ tạo độ của I là n0 của hệ







=

=

⇒







=

− +

=

−

−

1

1 0

3 2

0 1 2

y

x y

x

y x

Vậy I(1; 1)

• Từ gt d1 có VTPT n1 =(2;−1);d2 có VTPT n2 =(2;1);

• Gọi ϕ là góc của d1 và d2

• Từ gt: S∆IAB =6⇒IA2 =5⇒IB2 =45

) 1 2 , ( ∀A∈d1 ⇒ A a a− với a > 0, a ≠ 1 pt IA2 =5⇔(a−1)2 +(2a−2)2 =5⇔5(a−1)2 =5⇔a a==20

a = 2 ⇒ A(2;3)

*.∀B∈d21⇒B(a,3−2b)







−

⇒

−

=

−

⇒

=

⇔

=

−

⇔

=

−

=

− +

−

=

⇒

) 7

; 2 ( 2

) 5

; 4 ( 4 9

) 1 ( 45

) 1 ( 5 ) 2 2 ( ) 1 (

2 2

2 2

2 2

B b

B b

b IB

b b

b IB

3 5

3 2

4

2

=

− +

⇔

−

−

−

=

−

−

y x y

x

3 7

3 2

2

−

−

=

−

−

x

7) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giỏc ABCcú trung điểm cạnh ABlà M( 1;2)− , tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc là I(2; 1)− Đường cao của tam giỏc kẻ từ A cú phương trỡnh:

2x y+ + =1 0 Tỡm tọa độ đỉnh C

(2)

loại

A

B IB=3TA

2

.3

IAB

IA

−

HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC

HD: AB đi qua M nhận MIuuur=(3, 3)− làm vtpt nên có pt: x y− + =3 0

Tọa độ A là nghiệm của hệ : 3 0 4 5

;

x y

A

x y

− + =



( 1;2)

M − là trung điểm của AB nên 2 7

;

3 3

B− 

BC nhận nr =(2;1) làm vtcp nên có p t:

2

2

3

2

0,loai (do )

4

5

t

−

 = +

 = +



       

= ⇒ = ⇒ − ÷ + + ÷  ÷  ÷= +

       





⇒

 =



;

15 15

C 

8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABCcó B( 12;1)− , đường phân giác trong gócA có phương trình:x+2y− =5 0 Trọng tâm tam giác ABC là 1 2

;

3 3

G 

 ÷

 .Viết phương trình đường thẳng BC

Gọi H là hình chiếu của B trên d: x 5 2t H(5 2 ;t t)

y t

= −

 =



d

= − − ⊥ = − ⇒ − − + − =

⇒ = ⇒ −

Gọi M là điểm đối xứng của B qua d

uuuur uuuuuuur

( )

MA MC ⇒ = − ⇒a C

uuur uuuur

Vậy BC x: −8y+20 0=

9) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M( )2;1 và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4

HD: Gọi d là ĐT cần tìm và A a( ) ( );0 ,B 0;b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : d x y 1

a b+ = Theo giả thiết, ta có: 2 1 1,ab 8

a b+ = = Khi ab=8 thì 2b a+ =8 Nên: b=2;a= ⇒4 d x1: +2y− =4 0

10) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 3;1

2

  Viết phương trình chính tắc của elip đi

qua điểm M và nhận F1(− 3;0) làm tiêu điểm

11) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trỡnh đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt

đường trũn (C) cú phương trỡnh (x− 2) 2 + (y+ 1) 2 = 25 theo một dõy cung cú độ dài bằng 8

HD : G/s một vộc tơ phỏp tuyến của d là ( ; )n a br

,vỡ d đi qua điểm A(1;2) nờn d cú phương trỡnh d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 hay d: ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)

Vỡ d cắt (C) theo dõy cung cú độ dài bằng 8 nờn khoảng cỏch từ tõm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3

, = − − − = ⇔ −3 3 =3 +

+

2

0

4

=





⇔ + = ⇔

 = −



a

• a = 0: chọn b = 1 ⇒ d: y – 2 = 0

• a = 3

4

− b: chọn a = 3, b = – 4 ⇒ d: 3x – 4 y + 5 = 0

12) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn

(C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0 HD: (C1): (x− 1) 2 + (y− 1) 2 = 4 cú tõm I1 (1; 1), bỏn kớnh R1 = 2 (C2): (x− 4) 2 + (y− 1) 2 = 1 cú tõm I2 (4; 1), bỏn kớnh R2 = 1 Ta cú: I I1 2 = = 3 R1 +R2 ⇒ (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài nhau tại A(3; 1) ⇒ (C1) và (C2) cú 3 tiếp tuyến, trong đú cú 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy * Xột 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) :∆ y ax b= + ⇔ ( ) :∆ ax y b− + = 0 ta cú: 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ( ; ) 4 4 ( ; ) 4 1 4 7 2 4 7 2 1 4 4 ∆ ∆  + −   =   =  = − =  ⇔  + ⇔    =  + −   − +   =  =  =  +    a b a a d I R a b hay d I R a b b b a b Vậy, cú 3 tiếp tuyến chung: ( ) :1 3, ( ) :2 2 4 7 2, ( )3 2 4 7 2 4 4 4 4 ∆ x= ∆ y= − x+ + ∆ y= x+ − 13) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường trũn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 và điểm M( 1; - 8).Viết phương trỡnh đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C) tại hai điểm A,B phõn biệt mà diện tớch tam giỏc ABI đạt giỏ trị lớn nhất.Với I là tõm của đường trũn (C) Đtròn (C) có tâm I(- 2; 3) & bán kính R = 2 Giả sử ptđt (d) : Ax + By – A + 8B = 0 với A2 + B2 > 0 Luôn có ∆BIA cân tại I với IA = IB = 2 ; S∆ BIA = 2 1 IA.IB.sinAIB = 2sinAIB  S∆BIA≤ 2 Dấu = khi ∆AIB vuông cân tại I hay d(I ; (d)) = 2  11 3 2 2 2 = + − B A A B  7A2 – 66BA + 119B2 = 0  (A – 7B)(7A – 17B) = 0  Vậy có hai đờng thẳng d thoả mãn: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0 14) Cho A(1 ; 4) và hai đường thẳng b : x + y – 3 = 0 ; c : x + y – 9 = 0 Tỡm điểm B trờn b , điểm C trờn c sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A Gọi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) => AB (b - 1 ; - 1 - b) ; AC (c - 1 ; 5 - c) & ABC vuông cân tại A      = = AC AB AC AB 0     − + − = + + − − + = − − 2 2 2 2 ( 1) ( 1) (5 ) ) 1 ( ) 5 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( c c b b c b c b vì c = 1 không là n0 nên hệ        − + − = + + − − + − − + = − ) 2 (

) 5 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 1 .(

1

) 5 )(

1 ( 1

2 2

2 2

2

c

c b

c

c b

b

Từ (2)  (b + 1)2 = (c - 1)2

HèNH HỌC PHẲNG ễN THI ĐẠI HỌC

Với b = c – 2 thay vào (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5).

Với b = - c thay vào (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).

Kết luận :có hai tam giác thoả mãn: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoặc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7)

15) Trong hệ toạ độ Oxy đờng thẳng (d): x – y +1 =0 và đờng tròn (C): 2 2

x +y + x− y= Tìm

điểm M thuộc đờng thẳng (d) mà qua M kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và

B sao cho ãAMB=60 0

16) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết phơng trình cạnh BC:x + 2y - 4

= 0 phơng trình đờng chéo BD: 3x + y – 7 = 0,đờng chéo AC đi qua M(-5;2).Hãy tìm tọa độ các

đỉnh của hình chữ nhật ABCD

17) Phương trỡnh hai cạnh của một tam giỏc trong mặt phẳng tọa độ là 5x - 2y + 6 = 0;

4x + 7y – 21 = 0 viết phương trỡnh cạnh thứ ba của tam giỏc đú, biết rằng trực tõm của nú trựng gốc tọa độ O

Giả sử AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Vậy A(0;3)

Đường cao đỉnh BO đi qua O nhận VTCP ar = (7; - 4) của AC làm VTPT

Võy BO: 7x - 4y = 0 vậy B(-4;-7)

A nằm trờn Oy, vậy đường cao AO chớnh là trục OY, Vậy AC: y + 7 = 0

18) Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tỡm M thuộc trục tung sao cho qua M kẽ được hai tiếp tuyến của (C) mà gúc giữa hai tiếp tuyến đú bằng 600

HD: (C) cú tõm I(3;0) và bỏn kớnh R = 2

M ∈ Oy ⇒ M(0;m)

Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)

Vậy

ã

ã

0 0

60 (1)

120 (2)

AMB

AMB





Vỡ MI là phõn giỏc của ãAMB

(1) ⇔ ãAMI = 300

0 sin 30

IA MI

m + = ⇔ =m m (2) ⇔ ãAMI = 600

0 sin 60

IA MI

9 3

m + = Vụ nghiệm Vậy cú hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )

19) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua A(8 ;6) và tạo với 2 trục toạ

độ một tam giỏc cú diện tớch bằng 12

Giả sử (d) đi qua A(8;6) cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại cỏc điểm M(a;0), N(0;b) a,b khỏc 0.Khi đú (d) cú phương trỡnh x y 1

a b+ = Vỡ (d) đi qua A nờn 8 6 1

a b+ = (1)

2

OAB

S∆ = ab = (2) Từ (1) và (2) ta cú hệ

8 6

1 24

a b ab

 + =





 4

6 8 3

a

b

a

b

 =



 = −



⇔  = −

 =





từ đú cú 2 đường thẳng thoả món điều kiện là 1, 1

x− = − + =y x y

20) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trỡnh cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật ABCD Biết rằng

AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng đi qua M( 4;1

3

− ), B, C thuộc đường thẳng đi qua N(0 ; 3), A,D thuộc đường thẳng đi qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng đi qua Q(6 ;2)

HD : Phương trỡnh AB cú dạng: y = k(x + 4/3) + 1

DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky – 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0

Vỡ AB = 2BC nờn d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC)

17

k



Với k = 1/3 ta cú phương trỡnh cỏc cạnh hỡnh chữ nhật là: AB:

1/ 3( 4 / 3) 1, : 1/ 3( 6) 2, : 1/ 3 1 0, : 1/ 3 35 / 9 0

Với k = -3/17 ta cú phương trỡnh cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật là:

21) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C )

Viết PT đường thẳng (Δ) vuụng gúc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường trũn (C) tại A; B sao cho AB = 6

Đường trũn ( C) cú tõm I(1;-3); bỏn kớnh R=5

Gọi H là trung điểm AB thỡ AH=3 và IH AB suy ra IH =4

Mặt khỏc IH= d( I; Δ )

Vỡ Δ || d: 4x-3y+2=0 nờn PT của Δ cú dạng 3x+4y+c=0

vậy cú 2 đt thỏa món bài toỏn: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0

22) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) cú phương trỡnh:

2 2

1

2 − 3 =

và điểm M(2; 1) Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đú cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB

HD: Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB

A, B ∈ (H) : ⇒

3x 2y 6 (1) 3x 2y 6 (2)







M là trung điểm AB nờn : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4)

(1) − (2) ta cú : 3(x2

A - x2

B) - 2(y2

A - y2

B) = 0 (5) Thay (3) và (4) vào (5) ta cú : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0 ⇔ 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 ⇔ 3xA - yA = 5 Tương tự : 3xB - yB = 5 Vậy phương trỡnh d : 3x - y - 5 = 0

23) Cho hỡnh tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 2 Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trờn đường thẳng y = x Tỡm toạ độ đỉnh C

HD: Ta cú: uuurAB= −( 1; 2)⇒AB= 5 Phương trỡnh của AB là: 2x y+ − =2 0.

( ): ( );

I∈ d y x= ⇒I t t I là trung điểm của AC:C(2t−1;2t)

2

=





=

= 3 4

0

t t

Từ đú ta cú 2 điểm C(-1;0) hoặc C(

3

8

; 3

5 ) thoả món

24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(−2;5), đỉnh C nằm trên đờng thẳng

0

4=

−

x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2x−3y+6=0 Tính diện tích tam giác ABC.

d(I; Δ )=

I

A H B

HèNH HỌC PHẲNG ễN THI ĐẠI HỌC

Ta có C=(4;y C) Khi đó tọa độ G là

3

2 3

5 1 , 1 3

4 2

G G

y y

y

x = − + = = + + = + Điểm G nằm trên đờng thẳng 2x−3y+6=0 nên 2−6−y C +6=0, vậy y C =2, tức là

)

2

;

4

(

=

C Ta có AB=(−3;4),AC=(3;1), vậy AB=5, AC= 10, AB.AC =−5

Diện tích tam giác ABC là ( ) 25.10 25

2

1

2

−

=

−

2 15

25) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1),B(1;−2), trọng tâm G của tam giác

nằm trên đờng thẳng x+ y−2=0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5

Vì G nằm trên đờng thẳng x+y−2=0 nên G có tọa độ G=(t;2−t) Khi đó AG=(t−2;3−t),

) 1

;

1

(− −

=

AB Vậy diện tích tam giác ABG là ( ) 2[( 2) (3 ) ] 1

2

1

2

2

3

2t−

Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 13,5:3=4,5 Vậy 4,5

2

3 2

=

−

t , suy

ra t=6 hoặc t =−3 Vậy có hai điểm G : G1=(6;−4),G2=(−3;−1) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

) (

x = − + và y C =3y G −(y a +y B)

Với G1=(6;−4) ta có C1= ( 15 ; − 9 ) , với G2=(−3;−1)ta có C2 = ( − 12 ; 18 )

26) Trong mặt phẳng oxy cho ABC∆ cú A(2;1) Đường cao qua đỉnh B cú phương trỡnh x- 3y - 7 = 0 Đường trung tuyến qua đỉnh C cú phương trỡnh x + y +1 = 0 Xỏc định tọa độ

B và C Tớnh diện tớch ∆ ABC

y - 7 = 0

+ Giải hệ

1 0

B B







ta được B(-2 ;-3)

+ Tọa độ H là nghiệm của hệ

14

5

x

y

y

 =





27) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC biết A(5; 2) Phương trỡnh đường trung

trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tỡm tọa độ cỏc

đỉnh của tam giỏc ABC

28) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng∆:x+3y+ =8 0, ' :3∆ x−4y+ =10 0và

điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆’

HD: Tâm I của đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t)

2 2

3( 3 8) 4 10

( 3 8 2) ( 1)

− − − +

+ Giải tiếp được t = -3

Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25

29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm

I và tiếp xúc với trục Oy

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x: 2+y2+2x=0 Viết phương

trình tiếp tuyến của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o

Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến ( )∆ cần tìm là ± 3.

Do đó: ( )∆1 : 3x y b− + =0 tiếp xúc (C) ⇔d I( ,∆ =1) R

3

2

b

b

−

⇔ = ⇔ = ± + KL: ( )∆1 : 3x y− ± +2 3 0=

Và : ( )∆2 : 3x y b+ + =0 tiếp xúc (C) ⇔d I( ,∆ =2) R

3

2

b

b

−

⇔ = ⇔ = ± + KL: ( )∆2 : 3x y+ ± +2 3 0= .

30) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết

trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0; 2), trung điểm cạnh AB là M(3;1).+

Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận

( 1; 2)

HK = −

uuur

làm vtpt và AC đi qua K nên

(AC x) : −2y+ =4 0. Ta cũng dễ có:

(BK) : 2x y+ − =2 0.

+ Do A AC B BK∈ , ∈ nên giả sử

(2 4; ), ( ; 2 2 )

A a− a B b − b Mặt khác M(3;1)là

trung điểm của AB nên ta có hệ:

Suy ra: A(4; 4), (2; 2).B −

+ Suy ra: uuurAB= − −( 2; 6), suy ra: (AB) : 3x y− − =8 0.

+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HAuuur=(3; 4), suy ra:

(BC) : 3x+4y+ =2 0

KL: Vậy : (AC x) : −2y+ =4 0,(AB) : 3x y− − =8 0, (BC) : 3x+4y+ =2 0

31) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn

2 2 ( ) :C x + – 2 – 2 1 0,y x y + = ( ') :C x2+ y2+4 – 5 0x = cùng đi qua M(1; 0) Viết

phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho

MA= 2MB

+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R=1, ' 3R = , đường thẳng

(d) qua M có phương trình a x( − +1) b y( − = ⇔0) 0 ax by a+ − =0, (a2+b2 ≠0)(*)

HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC

+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.

1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]

IA IH>

2 2 2 2

9

4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35

2 2

2 2

36

−

+

6

a b

a

= −



= ⇒  = Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn

32) Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp

xúc với đường thẳng d x y: − − =2 0 tại điểm A có hoành độ bằng 4.

Gọi ( )H :x22 y22 1

a −b = (H) tiếp xúc với d x y: − − = ⇔2 0 a2−b2=4 ( )1

( ) ( ) 162 42 ( )

Từ (1) và (2) suy ra 2 8; 2 4 ( ): 2 2 1

33) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip (E):

1

+ = và parabol (P): y2 = 12x

Giả sử đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)

(∆) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A2 + 6B2 = C2 (1)

(∆) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B2 = 4AC ⇔ 3B2 = AC (2)

Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = −2A.

Với C = −2A ⇒ A = B = 0 (loại)

3

A

⇒ Đường thẳng đã cho có phương trình:

3 3

A

Ax ± y + A = ⇔ ± x y + =

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 3

4 0 3

34) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH x y: − + =1 0, phân giác trong BN: 2x y+ + =5 0.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC + Do AB CH⊥ nờn AB: x y+ + =1 0.

1 0

x y

x y

+ + =



 + + =

Do đó: AB∩BN = −B( 4;3).

+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ A'∈BC

- Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x−2y− =5 0

Gọi I =( )d ∩BN Giải hệ: 2 5 0

x y

+ + =



 − − =

 Suy ra: I(-1; 3)⇒A'( 3; 4)− −

+ Phương trình BC: 7x y+ +25 0= Giải hệ: 7 25 0

1 0

x y

x y



 − + =

 Suy ra: ( 13; 9)

( 4 13 / 4) (3 9 / 4)

4

ABC

35) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng d1:x−y−3=0 và d2 :x+y−6=0 Trung điểm của

một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Ta có: d1 ∩d2 =I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:

 + − =  =

9 3

;

2 2

I  

=  ÷

Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD ⇒M=d1 ∩Ox

Suy ra M( 3; 0)

2

3 2

9 3 2 IM 2 AB

2 2

=











 +











 −

=

=

2 3

12 AB

S AD 12

AD AB

Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ⇒d1 ⊥AD

Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT:

0 3 y x 0 ) 0 y ( 1

)

3

x

(

1 − + − = ⇔ + − = Lại có: MA =MD= 2

Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:

( )









= +

−

=

− +

2 y

3 x

0 3 y x

2 2



±

=

−

−

=

⇔







=

− +

−

+

−

=

⇔







= +

−

+

−

=

⇔

1 3 x

x 3 y 2 ) x 3 ( 3 x

3 x y 2 y 3

x

3 x

y

2 2

2 2







=

=

⇔

1

y

2

x

hoặc







−

=

= 1 y

4 x Vậy A( 2; 1), D( 4; -1)











2

3

;

2

9

I là trung điểm của AC suy ra:







=

−

=

−

=

=

−

=

−

=

2 1 3 y y y

7 2 9 x x x

A I C

A I C

Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4)

Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)

36) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1;0

2

I  

= ÷

Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A âm Tìm tọa

độ các đỉnh của hình chữ nhật đó

+) ( , ) 5

2

d I AB = ⇒AD = 5 ⇒ AB = 2 5 ⇒ BD = 5

+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4