Bài tập hình học không gian ôn thi đại học

Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi ; hai đường chộo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng SAC và SBD cựng vuụng gúc với mặt phẳng ABCD.. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú

BÀI TẬP ễN TẬP HèNH HỌC KHễNG GIAN Cõu 1 Cho hỡnh vuụng ABCD tõm I Cỏc nửa đường thẳng Ax, Cy cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) và ở

cựng phớa đối với mặt phẳng đú Trờn Ax, Cy lần lượt lấy cỏc điểm M, N sao cho AM = m, CN = n ( m, n >0), gúc tạo bởi hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng 300 Tớnh thể tớch của khối chúp B.AMNC Tỡm điều kiện của

m theo n để gúc MIN vuụng

Cõu 2 Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, tõm O Cạnh bờn SA vuụng gúc với mp

(ABCD) và SA = a; M là trung điểm cạnh SD

a) Mặt phẳng (α) đi qua OM và vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) cắt hỡnh chúp SABCD theo thiết diện là hỡnh gỡ? Tớnh diện tớch thiết diện theo a

b) Gọi H là trung điểm của CM; I là điểm thay đổi trờn SD Chứng minh OH ⊥ (SCD); và hỡnh chiếu của O trờn CI thuộc đường trũn cố định

Cõu 3 Trờn cạnh AD của hỡnh vuụng ABCD cú độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x ≤ a)

Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a

a) Tớnh khoảng cỏch từ điểm M đến mặt phẳng (SAC)

b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất

Cõu 4 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi ; hai đường chộo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cỏch từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a

, tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a

Cõu 5 Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hỡnh chúp tam giỏc đều cạnh đỏy AB = a; cạnh bờn AA’ = b Gọi α là gúc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC) Tớnh tan α và thể tớch chúp A’.BCC’B’

Cõu 6 Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc với đáy hỡnh chúp

Cho AB = a, SA = a 2 Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu vuông góc của A lờn SB, SD

Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tớnh thể tớch khối chúp OAHK

Cõu 7 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng

300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a

Cõu 8 Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh thoi SA = x (0 < x < A 3EA ) cỏc cạnh cũn lại đều bằng 1 Tớnh thể tớch của hỡnh chúp S.ABCD theo x

Cõu 9 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a , SA vuụng gúc với đỏy và SA=a Gọi M,N lần lượt

là trung điểm của SB và SD; I là giao điểm của SD và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SD vuụng gúc với AI và tớnh thể tớch khối chúp MBAI

Cõu 10 Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R Trên đường thẳng vuông góc với (P)

tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2

3

R

M là một điểm thuộc (C) H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

Cõu 11 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB = a, AD = 2a Cạnh SA vuụng gúc với

mặt phẳng đỏy, cạnh bờn SB tạo với mặt phắng đỏy một gúc 600 Trờn cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3

3

a

, mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N Tớnh thể tớch khối chúp S.BCNM

Cõu 12 Hỡnh chúp tứ giỏc đều SABCD cú khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2 Với giỏ trị nào của gúc α giữa mặt bờn và mặt đỏy của chúp thỡ thể tớch của chúp nhỏ nhất?

Cõu 13 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn tại đỉnh A ( A = 90o), AB=AC=a Mặt bờn qua cạnh huyền BC vuụng gúc với mặt đỏy, hai mặt bờn cũn lại đều hợp với mặt đỏy cỏc gúc 60o Hóy tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC

Cõu 14 Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a, hỡnh chiếu vuụng gúc của A’ lờn măt phẳng (ABC) trựng với tõm O của tam giỏc ABC Tớnh thể tớch khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cỏch giữa AA’ và BC là a 3

4 .

Cõu 15 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và AB=BC=CD=a Gọi C’ và

D’ lần l−ợt là hình chiếu của điểm B trên AC và AD Tính thể tích tích tứ diện ABC’D’

Cõu 16 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a .A’ cỏch đều cỏc điểm A,B,C Cạnh bờn AA’tạo với đỏy gúc 600 Tớnh thể tớch khối lăng trụ

Cõu 17 Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cú độ dài cạnh bằng a Trờn cỏc cạnh AB và CD lấy lần lượt cỏc 1 1 1 1điểm M, N sao cho BM =CN =x Xỏc định vớ trớ điểm M sao cho khoảng cỏch giữa hai dường thẳng A C và 1

(BCM) cắt cạnh SD tại điểm N Tớnh thể tớch khối chúp S.BCNM

Cõu 22 Cho hỡnh lặng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú cạnh đỏy bằng a Biết khoảng cỏch giữa hai đường thẳng

AB và A’C bằng 15

5

a

Tớnh thể tớch của khối lăng trụ

Cõu 23 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi ; hai đường chộo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại

O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cựng vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cỏch từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3

4

a

, tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a

Cõu 24 Cho hỡnh chúp cụt tam giỏc đều ngoại tiếp một hỡnh cầu bỏn kớnh r cho trước Tớnh thể tớch hỡnh chúp cụt biết rằng cạnh đỏy lớn gấp đụi cạnh đỏy nhỏ

Cõu 25 Cho hỡnh lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a, cạnh bờn hợp với đỏy một gúc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chõn đường vuụng gúc hạ từ A’ xuống (ABC) là H sao cho 1

2

uuur uuur

gọi K là trung điểm AA’, ( )α là mặt phẳng chứa HK và song song với BC cắt BB’ và CC’ tại M, N Tớnh tỉ số thể tớch

Cõu 27 Cho hỡnh choựp S.ABCD coự ủaựy ABCD laứ hỡnh thang vuoõng taùi A vaứ D; AB = AD = 2a; CD = a; goực giửừa hai maởt phaỳng (SBC) vaứ (ABCD) baống 600 Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa caùnh AD Bieỏt hai maởt phaỳng (SBI) vaứ (SCI) cuứng vuoõng goực vụựi maởt phaỳng (ABCD), tớnh theồ tớch khoỏi choựp S.ABCD theo a

Cõu 28 Cho hỡnh tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AC = AD = 4; AB = 3;

BC = 5 Tớnh khoảng cỏch từ A tới mặt phẳng (BCD)

Cõu 29 Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD Biết mặt bờn của hỡnh chúp là tam giỏc đều và khỏang cỏch từ O đến mặt bờn là d Tớnh thể tớch khối chúp đó cho

Cõu 30 Tớnh thể tớch hỡnh chúp S.ABC biết SA = a,SB = b, SC = c, ASB 60 ,= 0 BSC=90 ,0 CSA=1200

Cõu 31 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 cú AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5= và BAC =∧ 120o Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 và tớnh khoảng cỏch d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)

Cõu 32 Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB = 2R Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy điểm S sao cho OS = R 3 ; I là điểm thuộc đoạn OS với SI = 2

3

R

; M là một điểm thuộc (C), H là hình chiếu của I trên SM Tìm vị trí của M trên (C) để tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

Cõu 33 Cho ΔABC vuông góc tại A Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B ta lấy một điểm

S sao cho SB BA AC= = =1 ( )P là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA SC BC BA , , ,lần lượt tại D E F H , , ,

a) Chứng minh rằng: DEFH là hình chữ nhật

b) Xác định vị trí của mặt phẳng ( )P sao cho diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất

Cõu 34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=2a Gọi E là trung điểm của cạnh CD

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE

b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Cõu 35 Trờn đường thẳng vuụng gúc tại A với mặt phẳng của hỡnh vuụng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B’, D’ là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn SB và SD Mặt phẳng (AB’D’ ) cắt SC tại C’ Tớnh thể tớch khối

đa diện ABCDD’ C’ B’

Cõu 36 Cho tam giác ABC cân nội tiếp đường tròn tâm J bán kính R=2a (a>0), góc BAC =1200 Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA =a 3 Gọi I là trung điểm đoạn BC Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp SABC theo a

Cõu 37 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO ⊥ (ABCD) Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của SA và BC Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) và thể tích khối chóp

Cõu 42 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a; AD = 2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB)

và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB

Cõu 43 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Cho SA= a, AD = a 2 , AB = a Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích của tứ diện ABIN

Cõu 44 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cú đỏy ABC là tam giỏc vuông cân đỉnh là A Gúc giữa AA’ và BC’ bằng

300 và khoảng cỏch giữa chỳng là a Gọi M là trung điểm của AA’ Tớnh thể tớch tứ diện MA’BC’

Cõu 45 Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều ABC cạnh a, SA⊥(ABC) và SA = 3a Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn cạnh SB, SC Tớnh thể tớch khối chúp A.BCNM theo a

Cõu 46 Cho hỡnh chúp S ABCD cú đỏy là hỡnh thang vuụng tại A và B với BC là đỏy nhỏ Biết rằng tam giỏc SAB là tam giỏc đều cú cạnh với độ dài bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với mặt đỏy,

Cõu 48 Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = SB = SC = a 2 Đỏy là tam giỏc ABC cõn BAC=1200 , cạnh BC=2a Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC Gọi M là trung điểm của SA Tớnh khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng (SBC).

Cõu 49 Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, mặt bờn SAD là tam giỏc đều và SB = a 2 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và AB Gọi H là giao điểm của FC và EB

a) Chứng minh rằng: SE⊥EB và CH ⊥SB

b) Tớnh thể tớch khối chúp C.SEB

Cõu 50 Cho hỡnh chúp S.ABC, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B cú AB = a, BC = a 3, SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a Gọi M, N lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A trờn cỏc cạnh SB và SC Tớnh thể tớch của khối chúp A.BCNM

Cõu 51 Cho hỡnh chúp S.ABC cú gúc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 600, ABC và SBC là cỏc tam giỏc đều cạnh a Tớnh khoảng cỏch từ B đến mp(SAC)

Cõu 52 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi với A= 120 0, BD = a >0 Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy Gúc giữa mặt phẳng (SBC) và đỏy bằng 600 Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuụng gúc với cạnh SC Tớnh

tỉ số thể tớch giữa hai phần của hỡnh chúp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hỡnh chúp

Cõu 53 Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD), đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú

độ dài AB = a 2, BC = a Gọi M là trung điểm đoạn CD Gúc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SBM) là

0

60

α =

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (SBM) vuụng gúc với mặt phẳng (SAC)

b) Tớnh thể tớch tứ diện SABM theo a

Cõu 54 Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O và AB = 4a, hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh

S lờn mặt phẳng (ABCD) trựng với trung điểm I của đoạn thẳng OA Biết khoảng cỏch từ I đến mặt phẳng (SAB) bằng 2

2 SI Tớnh thể tớch khối chúp S.ABCD theo a

Cõu 55 Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=2a Gọi M, N lần l−ợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

Cõu 56 Trong khụng gian cho hai điểm A, B cố định, độ dài đoạn AB = a > 0 Ax và By là hai nửa đường thẳng vuụng gúc với nhau và cựng vuụng gúc với AB Trờn Ax và By lấy hai điểm M và N sao cho MN

= b (với b là một số cho trước và b > a)

a) Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN

b) Xỏc định vị trớ của M và N sao cho tứ diện ABMN cú thể tớch lớn nhất

Cõu 57 Cho tứ diện ABCD cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD R

là một điểm trờn cạnh BC sao cho BR = 2RC Mặt phẳng ( PQR) cắt AD tại S Tớnh thể tớch khối tứ diện SBCD theo a

Cõu 58 Cho lăng trụ đều ABCA’B’C’ cú cỏc cạnh đỏy bằng a Khoảng cỏch từ tõm O của tam giỏc ABC đến mặt phẳng (A’BC) bằng

Cõu 60 Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt SBC vuụng gúc với đỏy, cỏc cạnh SB = SC = 1 và cỏc gúc

0

ASB BSC CSA 60= = = Tớnh thể tớch của hỡnh chúp S.ABC

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ÔN TẬP HHKG

a. Kẻ MQ//SA => MQ⊥(ABCD)⇒( ) (α ≡ MQO)

Thiết diện là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ)

Hay tam giác ABD đều

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là

2

a SO

Diện tích đáy S ABCD =4SΔABO =2.OA OB =2 3a2; đường cao của hình chóp

BC vuông góc với (SAB) ⇒ BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB ⇒ AH vuông góc với (SBC)

⇒ AH vuông góc SC (1) Tương tự AK vuông góc SC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SC vuông góc với (AHK ); SB2 =AB SA2+ 2 =3a2 ⇒ SB =a 3 ; AH.SB = SA.AB

3 (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

Ta có HK song song với BD nên HK SH HK 2a 2

A = nªn A1H vu«ng gãc víi B1C1 MÆt kh¸c

1

1C B

1

AA

AH H A

O C

B

A D S

+Vậy V = 1 2

SM = SO2+OM2 =2R⇒SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM

Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = 1

23

a a

2 103

a a

Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM

SB = MS = 1

2 Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒ 0

30

SBH = ⇒ SH = SB.sin300 = a Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 ( )

3SH dtBCNM =

3

10 327

sin sin 2cos

1sin cos

⇒ I là trung điểm AB ⇒ IH = a/2

Trong tam giác vuông SHI ta có SH = 3

BC AM

' ⇒BC⊥( AM A' )

Kẻ MH ⊥ AA,'(do A∠ nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)

AM A

HM

AM A

(

)'

BC,A'

44

3a3

3aAH

HM.AOO

'

N

M I

A’

H

Thể tích khối lăng trụ:

12

3aa2

3a3

a2

1BC.AM.O'A2

1S

.O'AV

V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn

2

2''

Ta cã

12

23

13

32

22

1'

'

2

1ˆsin''

2

1)''

AD

CD AD AC D

A C AD AC D

23

Đường cao A’G của chóp A’.ABC

cũng là đường cao của lăng trụ

Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC Chứng minh

được góc DMB = 1200 và Δ DMB cân tại M Tính được: DM2 = 2

3a

2

G N

B A

S

M

Δ SCD vuụng tại D và DM là đường cao nờn 1 2 = 12 + 12

Từ S hạ SH vuông góc với đường thẳng BM thì SH ⊥ (BCNM)

hay SH là đường cao của hình chóp SBCNM

Mặt khác : SA = AB.tan600 = a 3 Suy ra : MA = 1

3SA Lại có : MN là giao tuyến của của mp(BCM) với mp(SAD), mà

BC // (SAD) nên NM // AD và MN // BC

Do đó : MN SM 2 MN 4a

AD = SA = ⇒3 = 3

Vì AD ⊥ (SAB) nên MN ⊥ (SAB) , suy ra MN ⊥ BM và BC ⊥ BM

Vậy thiết diện của mp(BCM) với hình chóp SABCD là hình thang vuông BCNM

2

4a2a2a 3 10a 33

2a 33

Gọi ϕ là gúc giữa hai mp (SCB) và (ABC)

Ta cú : ϕ =SCA; BC = AC = a.cosϕ ; SA = a.sin ϕ

Từ đú ta thấy trờn khoảng (0;1) hàm số f(x) liờn tục và cú một điểm cực trị là điểm

cực đại, nờn tại đú hàm số đạt GTLN hay

A

S

M H

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là

SO ⊥ (ABCD) Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có DH ⊥ AB

và DH = a 3; OK // DH và 1 3

a

OK = DH = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên

SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒ 12 12 12

2

a SO

Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp

xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm K II∈ ' Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả

3.2

3.3

3 2

' '

a a

O

I

D

3a