hướng dẫn luyện thi đại học toán 2014

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.. Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng P chứa hai điểm A, B và vuông góc với mpQ... Dạng 8: Viết phương t

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN

I HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN.

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc được gọi là hệ trục toạ độ vuơng gĩc Oxyz trong

khơng gian z



k  i O j y

x

 O ( 0;0;0) gọi là gĩc toạ độ

 Các trục tọa độ:

 Ox : trục hồnh

 Oy : trục tung

 Oz : trục cao

 Các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đơi một

vuơng gĩc với nhau

   i j k, , là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

 i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)

 i j k 1 và 2 2 2

1

i j k 

 ij, jk, ki

 i j  0,  j k  0, k i . 0

  ,i j  k,  j k,   i , k i ,   j

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

 M Ox  M(x;0;0)

 M Oy  M(0;y;0)

 M Oz  M(0;0;z)

 M (Oxy)  M(x;y;0)

 M (Oyz)  M(0;y;z)

 M (Oxz)  M(x;0;z)

 Tọa độ của điểm:                                                             ( ; ; )

 Tọa độ của vectở: a a i a j a k   1   2   3   a a a a   ( ; ; )1 2 3

Cho ax y z1; ;1 1,bx y z2; ;2 2 và số k tuỳ ý, ta cĩ:

1 Tổng hai vectơ là một vectơ.

 a b      x x y y z z1 2; 1 2; 1 2

2 Hiệu hai vectơ là một vectơ.

 a b      x x y y z z1 2; 1 2; 1 2

3 Tích của vectơ với một số thực là một vectơ.

 k a k x y z.  1; ;1 1  kx ky kz1; 1; 1

4 Độ dài vectơ Bằng hoành2tung2cao2

 a  x12y12 z12

5 Vectơ khơng cĩ tọa độ là:

 0    0;0;0 

6 Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A B I

A B I

A B I

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC)

3

; ; 3

A B C

A B C G

 Hai vectơ a, b không cùng phương   ,   0

-2

he äsoá yb

-2

he äsoá zc

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2z c 2 R (*).2

 Gọi I trung điểm AB I ; ;  

 Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c)

 Bán kính R= IAIA

 hoặc

 Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c)

 Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:       

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: x2 y2 z2  2ax-2by-2cz+d=0.

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D.

Phướng pháp.

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2  2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C, D thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

thế tọa độ điểm D vào pt (*)

Chú ý: Đề bài cĩ thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích

khối cầu ngoại tiếp hình chĩp.

Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0.

Phướng pháp.

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến.

Phương pháp:

M

P)

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z  0 0 0

 Mặt phẳng (P) có VTPT nA;B;C

 Ptmp (P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và

song song với mp(Q).

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d.

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai

điểm A, B và vuông góc với mp(Q).

Q) A

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực

của đoạn thẳng AB.

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):

Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A.

 Ptmp(P): A x x  0 B y y  0C z z  0 0

P)

A I B

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )

VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).

 Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

 Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): d d I, P     .

o TH1: d r   (P) (S)=   (hay (P) và (S) khơng cĩ điểm chung).

o TH2: d r   (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).

o TH3: d r   (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).

2 Khoảng cách từ một điểm đến một điểm đến một đường thẳng

3 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

r = d(I,(P))

I P)

 Cách xác định tâm và bán kính đường trịn(C).

- Gọi H là tâm của (C).

Khi đĩ H chính là giao điểm của đường thẳng d đi

qua tâm I và vuơng gĩc mp(P).

- Gọi r’ là bán kính của (C).

Khi đĩ: r'2  r2  d2  r'  r2  d2 .

Cần nhớ: H là hình chiếu vuơng gĩc của I lên (P)

nên tam giác IMH vuơng tại H.

H M

d r’

r

Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương.

Dạng 3: Đường thẳng d đi qua một điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d’, d’’ không song song

Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP.

VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tìm giao điểm của đường thẳng d:

0 0 0

 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0 0 0

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P)

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của

đoạn thẳng MM”

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

H M M

M M

H M M

M M H

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’

VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d.

Phương pháp:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M

và vuông góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua

(d)

VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d.

Phương pháp:

 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm

của đoạn thẳng MM’

/

/ /

/

/ /

2 2

2 2

H M M

M M

H M M

M M H

Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’.

VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG.

Phương pháp:

Bước 1:

 Xác định điểm M thuộc d và VTCP a  của d

 Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a'  của d’

thì a,a'   cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.

o Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’.

o Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’.

VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.

Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d:

0 0 0

Ta làm như sau:

 Xét pt: Ax0at+By0 bt+Cz0 ct+D=0 (*).Giải pt tìm t

o Pt(*) có một nghiệm t d cắt mp(P) tại một điểm

o Pt (*) vô nghiệm  d song song với (P)

o Pt(*) có vô số nghiệm t  d nằm trong (P)

VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH.

1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại

 Nếu tam giác ABC vuông tại C C   CB   CA CB CA.CB 0                                                          

2/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’

VUÔNG GÓC với nhau.

 Kết luận d và d’ vuông góc với nhau

3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’.

Phương pháp:

 Do d d'   a               d                ad'                              a ad d'   0 

ta giải pt tìm được tham số.

4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường

thẳng d’.

Cần nhớ:

 Hai đường thẳng song song không có điểm

chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng

không thuộc đường thẳng kia

 Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ

phương cùng phương với nhau

Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau:

Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’ Rồi kết luận.

5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’.

' ' '' ' '' ' '

 Gọi I là giao điểm của d và d’

 Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt:

' ' ' (1)' ' ' (2)' ' ' (3)

 Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I

7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau.

Phương pháp:

Cách 1:

 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a  của d

 Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a'  của d’

 Chứng minh:

a,a' 0 a,a' MM' 0

Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’.

8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau.

Phương pháp:

 Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương a  của d

 Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a'  của d’

VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG

Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

0 0 0

 Đường thẳng là tập hợp vô số điểm

 Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: M x  0  at;y0  bt;z0  ct 

VẤN ĐỀ 18: GÓC.

1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.

cos = cos a,a'   a.a'

sin = cos a,n   a.n

Bài 3: Tính góc giữa hai vectơ: 1 a2;1;4 , b   6;0;3 2 a 0;0;1 , b 2;0;2

Bài 4a: Xét sự cùng phương của các vectơ sau.

Bài 4b: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), B(-1;-2;4), C(3;-2;1)

1 Tính góc giữa hai vectơ AB, AC 

2 Tính góc giữa hai vectơ BA, BC 

3 Tính góc giữa hai vectơ CA, CB 

Bài 9: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4) Chứng minh tam giác ABC vuông.

Bài 10: Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2) Chứng minh tam giác ABC vuông.

Bài 11: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Chứng minh tam giác cân.

Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;2)

1 Chứng minh tam giác ABC cân tại đỉnh A

2 Tính chu vi tam giác ABC.

3 Tính diện tích tam giác ABC

Bài 13: Cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(-1;0;1), C(0;3;-2).

1 Chứng minh tam giác ABC cân

4 Tính chu vi tam giác ABC

5 Tính diện tích tam giác ABC

Chứng minh tam giác đều Bài 14: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

MẶT CẦU Xác định tâm và bán kính mặt cầu Bài 18: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).

Viết phương trình mặt cầu:

Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính Bài 20: Viết phương trình mặt cầu:

1 Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính bằng 3

2 Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2) Viết phương trình mặt cầu (S) có

tâm là điểm A và bán kính bằng độ dài đoạn thẳng BC

Bài 21: Viết phương trình mặt cầu:

1 Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) và đường kính bằng 16

2 Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2) Viết phương trình mặt cầu (S) có

tâm là điểm B và đường kính bằng độ dài đoạn thẳng AC

Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1).

Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9).

Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ.

Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1).

Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1).

Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2).

Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P).

Bài 28: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0.

Bài 29: Viết phương trình mc (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0

Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa

độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y-12z-75=0

Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp xúc mặt phẳng

(P): 2x-2y-z-27=0 Biết A(1;2;-2), B(3;2;2)

Bài 32: Viết pt mặt cầu (S) có tâm I là trọng tâm tam giác ABC và tiếp xúc mặt phẳng

(P): 2x-2y-z-27=0 Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9).

Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0).

Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).

Bài 35: Viết Pt mc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;1).

Bài 35a(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) Viết phương trình mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng tọa độ

Bài 41: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox.

Bài 42: Viết pt mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến Bài 43: Viết pt mp (P) qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đt BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3).

Bài 44: Cho hai điểm A(2;1;0), B(3;-1;0) Viết phương trình mặt (P) vuông góc với AB tại A.

Bài 45: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2) Viết pt mp (P) qua A và vuông góc với BC.

Bài 46: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4) Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 47: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4) Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB

Bài 48: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4) Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB.

Bài 49: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng d:

Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng

tâm tam giác ABC và vuông góc với đường thẳng d: x 1 y z 1

Bài 52: Viết pt mp (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0.

Bài 53: Viết pt mp (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0.

Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của

đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0

Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng

tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0

Bài 56: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài 57: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A,

B, C

Bài 58: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài 59: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A,

B, C

Bài 60: Viết pt mp đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1)

Bài 61: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Bài 62: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B

Bài 63: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng

tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A

Mặt phẳng qua một điểm và có hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng.

Bài 64: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:

Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox.

Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy.

Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz.

Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt

Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).

1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD.

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB.

3 Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD.

Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau