⇒Mọi nguyên hàm Fx của fx trên a;b đều có thể viết dưới dạng :Fx+C với C là hằng số; Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx là ∫ f x dx ,đọc là tích phân bất định của f
Trang 1-Chương IV NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 1 Nguyên Hàm
A.Tóm Tắt Lý Thuyết:
1.Định nghĩa nguyên hàm:
Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu F (x)= f(x) ' ∀ ∈x ( ; )a b
Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [ ]a b; ''( ) ( ); ' ( ; )
2.Định lý:
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x)+C cũng là một nguyên hàm củaf(x) trên
(a;b) c∀ (hằng số)
* Cho F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì tồn tại hằng số C sao cho:
( )F x =G x( )+ ∀ ∈C x; ( ; )a b .
⇒Mọi nguyên hàm F(x) của f(x) trên (a;b) đều có thể viết dưới dạng :F(x)+C với C là hằng số;
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là ∫ f x dx( ) ,đọc là tích phân bất định của f(x) hay là họ các nguyên hàm của f(x)
Vậy ∫ f x dx F x( ) = ( )+C,trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C là hằng số tuỳ ý
3.Các tính chất của nguyên hàm:
' ) ( ( ) )
∫
4.Mọi hàm số liên tục trên đoạn [ ]a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó ;
5 Bảng các nguyên hàm :
1
1 ln
ln
x x
dx x c
x
dx
x c x
a
a
α
α
+
= +
+
= +
∫
∫
∫
∫
∫
2
2 2
2
sin sin
sin
dx
cos x dx
x
∫
∫
1
1 ln
ln
u u
du u c
u
dx
u c u
a
a
α
α
+
= +
+
= +
∫
∫
∫
∫
∫
2
2 2
2
sin
du
cos u du
u
∫
∫
Bài tập 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
Trang 2-3
5
2
2
2 3
3
2)
3)
4) (1 2 )
x x
dx x
x
dx x
+ +
−
∫
∫
∫
6) 2 7)
1
x x x x
x x
e dx e dx e
e
cos x
−
−
−
+ +
∫
∫
∫
∫
20
1
2 2
4
10) (2 1) 11) (1 )
(ln ) 13)
cos ax b dx a x
dx x
+ +
∫
∫
∫
∫
2 3
14) 15)
17) cot
cosx
tgxdx x dx
gxdx
+
∫
∫
∫
∫
Bài tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
3 4 3
sin
sin
tgx tg x dx
x cosx
dx
x cosx
+
+
− +
∫
∫
∫
∫
2
2 2
3 4ln 6)
7) 8)
x dx x
cos xdx sin xdx
+
∫
∫
∫
∫
3 3
9) 10) sin 11) sin 7 2
13) sin 7 sin 4
cos xdx xdx xcos xdx cos xcos xdx
∫
∫
∫
∫
∫
sin 14)
1 3 2 15)
sin 16)
1 3sin 17)
( ln )
x dx cosx cos x
dx
x cosx cosx
dx x dx
+
+ +
∫
∫
∫
∫
Bài tập3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
3
4
3
1) sin cos
2) cos sin
cos
3)
sin
sin
4)
cos
x dx x x dx x
∫
∫
∫
∫
3 2
2 2 2
1 2 5) sin
7) 8)
1 3
cosx x x x
cosx dx x
x e dx e dx e
−
−
∫
∫
∫
∫
2
2 3 3 2
3 3
2
9)
11)
1 11)
1
x
x e dx
x dx x
x dx x
−
−
+
−
∫
∫
∫
∫
2
2
1 ln 12)
13) 1 4sin
1 sin 2 14)
sin
1 2sin 15)
x dx x
x dx x x dx cos x
+ + +
−
∫
∫
∫
∫
Bài tập4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
2
2
2
1)
25 2)
25 2
3)
4)
4
dx
x
xdx
x
xdx
x
dx x
−
−
− −
−
−
∫
∫
∫
∫
2
2 2 2 3
2 5)
6) ( 1)(2 1)
7)
8)
dx
x x xdx
dx
dx
+
−
∫
∫
∫
∫
2
9)
11)
12)
9 13)
dx
dx x dx
−
−
+ +
−
∫
∫
∫
∫
∫
2
2 2
2 2
14)
2 15)
4 1 16)
1 17)
dx
dx x x dx x x dx x
− +
−
−
+
∫
∫
∫
∫
Trang 3A.Tóm tắt lý thuyết :
1.Định nghĩa tích phân :( SGK)
Ký hiệu : ( ) ( ) ( ) ( )
b b
2) Các tính chất của tích phân:
a
a
c k f x dx k f x dx k R
=
= −
∫
[ ] [ ] [ ]
b
a
b a
∫
∫
Bài tập 1: Tính các tích phân sau:
16
1
1
1
1)
2)
e
e
xdx
dx
x
∫
∫
2
1 2 1 3
2 2 3 1
1
1 3)
2 4)
5)
e
dx x
dx x
dx x
−
+ −
∫
∫
∫
2
2 2
2
7) sin 2 sin 7
cos xcos xdx
π
π π
π
−
−
∫
∫
2
2 1
0 2 2 1
8) sin 2
9)
1 10)
2
xcosxdx
x dx x x dx x
π
π
+
+
∫
∫
∫
1
3 0
3 2 0 4 0
11) (2 1) 4sin 12) 1 13)
x dx x
x dx cosx cos xdx
π
π
+
+
∫
∫
∫
CÔNG THỨC ĐỔI BIẾN SỐ:
Ta có thể sử dụng các kết quả sau đây để giải thì nhanh hơn là dùng phương pháp đổi biến số
'( )
'( )
ln ( )
( )
u x u x
u x
u x
∫
'( )
( )
2 ( ) '( ) ( ) sin ( )
u x
u x
∫
1
a
∫
BÀI TẬP2 :(đổi biến dạng 1)
2
1
0
1
3 1
0
1
0
2)
3)
1
x
x
dx
x
−
+
+
∫
∫
∫
1 2 3 0 2 sin 0
1 ln 4)
5) sin
e
x
x dx x
x cosxdx
π
π
+
∫
∫
∫
6 0 2 0
7) 1 4sin
8)
1 sin
x cosxdx
cosx dx x
π
π
+
+
∫
∫
2 3 0 1 0 3 1
9)
10)
1 2 11)
3 2sin
cos xdx x dx x cosx dx x
π
π
+
+
∫
∫
∫
1 2
4
2 ln 12)
2 sin 13) sin
dx x
x cosx
dx
x cosx
π
π
+
− +
∫
∫
BÀI TẬP 3:
Trang 40
1
0
3
0
1)
1
2)
1
3) 1
x
dx
x
dx
x
+
+
+
∫
∫
∫
1
0 1
0 1
2 0
4) 1
6)
x x
e dx e
x dx x
−
−
+
−
−
∫
∫
∫
ln 3
0 1
0 3 4 2 0
7)
2
sin 9)
x
dx e
x dx cos x
π
+
±
∫
∫
∫
1
0 4 2 7 4
2 0
10)
11)
9 sin 4 12)
1
x dx x dx
x x x dx cos x
π
+
+
+
∫
∫
∫
ln 2 2
1 2
3 1
2 0
13)
1 14)
1 15)
1
x x
e dx e
dx
x dx
+
+
+
∫
∫
∫
Bài tập 4: (đổi biến loại 2)
1
2
2
0
1
2
2
0
0
3)
1
x dx
x dx
x
dx x
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
0 2 1
2 0
0 3
2
5)
6) 4
8)
1
a
x dx x
dx
−
−
−
−
∫
∫
∫
∫
1 2 0
3 2 0
1
0
0
9) 1 10)
3 11)
12)
a
dx x dx x dx
dx
+ +
+
∫
∫
∫
∫
13) Chứng minh rằng :
(sin ) (sin )
2
14) Cho
sin
;
a) chứng minh rằng I=J
b) Tính I
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
a
a udv uv= − a vdu
( )
( ) ( )
1 1
du df x
=
=
=
a a
I uv= −∫ vdu
*) Chú ý: Phải thực hiện theo nguyên tắc sau:
- Chọn phép đặt dv sao cho dễ xác định được v
- ∫a b vdu phải được tính dễ hơn I =∫a b udv
*) Các dạng cơ bản: Kí hiệu P x là đa thức( )
Dạng 1:∫ P x( )sinxdx , ∫ P x cosxdx( ) ,∫ P x e dx( ) x ,∫ P x a dx( ) x , nên đặt u P x= ( )
Dạng 2: ∫ P x( )lnxdx, ∫ P x( )loga xdx,Nên đặt u=lnx , u=loga x
Dạng 3: ∫ a xsinxdx , ∫a xcosxdx ∫e ax.cosxdx thì phảisử dụng tích phân từng phần 2 lần.
Chú ý :Nếu P x hoặc log( ) a x có bậc cao thì ta có thể phải dùng tích phân từng phần nhiều lần liên tiếp để tính.
Bài tập: Tính các tích phân sau:
Trang 5-Bài tập 1:
ĐỀ THI
Bài 1:(đề thi học kỳ 2 –ĐN năm 2002)
a) =∫1
0
2 dx
xe
I x b) =∫2
0
3 sin cos
π
xdx x
J
Bài 2:(đề thi học kỳ 2 –ĐN năm 2003)
a) =∫1
0
2 dx
xe
I x b) =∫1 +
0 2x 1
xdx J
Bài 3: 3
1
ln
e
xdx I
x
=∫ (hk 2-ĐN năm 2004)
Bài 4:I= (ln )x 2dx,
x
Bài 5:(đề thi học kỳ 2 –TPHCM 2000)
a) =∫1 +
0 x2 1dx
x
0
sin xdx
x J
Bài 6: 2 2
0
( sin )
π
Bài 7: 2
0
sin 2 4
x
co x
π
=
−
∫ s2 ( TN -2006)
Bài 8:
2 3
2
dx I
x x
=
+
Bài 9:
2
xdx I
x
=
Bài 10: :(đề thi ĐHCĐ-kA 2006)
2
2 0
sin 2
4sin
x
co x x
π
=
+
Bài 11: 4 2
0
1 2sin
1 sin
x
x
π
−
= +
∫ 2 (KB-03)
Bài 12:(đề thi ĐHCĐ-kB-2004)
1
1 3ln ln
e
x
+
=∫
Bài 13: 2
0
sin 2 1
x cosx
cosx
π
= +
∫ (KB-05)
Bài 14
2 2 0
I =∫ x −x dx (KD-03)
Bài 15
3 2 2
I =∫ x −x dx (KD-04)
Bài 16(đề thi ĐHCĐ-kD-2005)
2 sin
0
π
Bài 17(đề thi đhspHCM-kA-2000)
1
2 0
0
4 11 )
)
x
π
+
=
=
∫
∫ s x4
Bài 18(đề thi HH-kA-2000)
2 2 1
ln(1 x)
x
+
=∫
Bài 19: thi QG TP-kB-2000)
2 sin
dx I
x
π
π
=∫
Bài 20( Ngân hàng kD-00)
2 4
0
1 2sin
1 sin
x
x
π
−
= +
Bài 21 (ĐH luật-2001)
1
0 1
1
0 1
Bài 22 (ĐHSPVinh-2001)
2
0
1 sin 2
π
=∫ −
Bài 23(Đh văn hoá HN-01)
4
0
sin
x cosx
x cos x
π
=
+
Bài 24(ĐHTM – 97)
I=
ln 0
1 1
x
e dx e
− +
∫
Bài 25(ĐHQGHCM – 00)
I=1 2( )
0 sin
x
∫
Bài 26(ĐHCT – 00)
3
0 2x 4
Bài 27:
2 1
0(2 1) x x
6
0
1
3
0
2
0
1) (2 )sin
2)
3) ( 1)
x
x e dx
π
π
−
−
∫
∫
∫
1 2 0
2 4
0
0 2 2 1
4)
ln 7)
x
x
x e dx
x dx x
π
−
−
−
∫
∫
∫
2 0
10 2 1
2 2 1
0 2 2 1
12)
e
x
x dx x
π
+
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 0 2 0 3 4 0
13) sin
14) cos
15) sin 4
x
x
π
π
π
∫
∫
∫
( )2
2 1 1
0 2 6
4 0
1
e
x
o
x
xdx x
π
π
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
Trang 6-Bài 3:ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
BÀI TOÁN 1: Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [ ]a b Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới hạn ;
bởi:
- Đồ thị hàm số y= f x( )
- Trục Ox : ( y=0 )
- Hai đường thẳng x a x b= ; =
Được xác định bởi công thức : b ( )
D a
1) ĐHTMại 99: Tính S D =? , biết D giới hạn bởi đồ thị: 2
2
y x= − x , x= −1,x=2 và trục Ox
2) HVCNBCVT 2001: Tính S D=?, biết D={y xe y= x, =0,x= −1,x=2}
3) CĐTCKToán 2003: Tính S D =? với D={y= − −x2 4 ,x x= −1,x= −3}
3
5) ĐHNN1 – 98: Tính S D =?, D y ln2x,y 0,x 1,x 2
x
2
x
x
1
x
+
2
BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi :
+ ( )C1 :y= f x( ), ( )C2 :y g x= ( )
+ đường thẳng x a x b= , =
Được xác định bởi công thức: b ( ) ( )
a
S=∫ f x −g x dx
PP giải: B1: Giải phương trình : f x( ) =g x( ) tìm nghiệm x x1, , ,2 x n∈( )a b; (x1 <x2 < < x n)
( ) ( )
1 1
, ,
n
n
3) ĐHTCKToán 2001: Tính S D =?, D={y= +2 sin ,x y = +1 cos ,2x x∈[ ]0;π }
π
Trang 7-5) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( ): 22
1
x
x
= + và các đường thẳng
1, 0,
y= x= x b= bằng
4
π
BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thị: y= f x y g x x a( ), = ( ), =
Khi đó diện tích x0( ( ) ( ) )
a
S = ∫ f x −g x dx với x là nghiệm duy nhất của phương trình 0
( ) ( )
H = y e y e= = − x=
2) HVNHàng –HCM _ 99: Tính S H =?, H ={ y x= 1+x Ox x2, , =1}
1
x
x
− −
−
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y=2 ;x y= −3 x x; =0
5) ĐHCĐoàn 2000: Tính S H =? , H ={x= y x y, + − =2 0,y=0}
BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng ( )D giới hạn bởi đồ thị hai hàm số: y= f x y g x( ); = ( )
PP giải: B1 : Giải phương trình f x( )−g x( ) =0 có nghiệm x1<x2 < < x n
1
n
x
D x
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x= 2−2x ; y= − +x2 4x
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y= − +x2 2x và y= −3x
4
y= − −x và x2+3y=0
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2
y − y x+ = và x y+ =0
5) ĐHKTQD – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2
5 0
y + − =x và x y+ − =3 0
6) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y= x2−4x+3 và y x= +3
7) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 2
4
x
2
4 2
x
y=
8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 3 3
y x= + x− và y x=
9) ĐHSPHN – 2000 A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2
1
y= x − và y= +x 5
BÀI TOÁN 5: Tính diện tích hình phẳng ( )D giới hạn bởi ba đồ thị hàm số:
( ); ( ); ( )
PP giải: B1: Giải các phương trình : f x( )−g x( ) =0; f x( ) ( )−h x =0; g x( ) ( )−h x =0
B2: Thiết lập công thức diện tích ( Có thể vẽ ba đồ thị trên cùng hệ trục toạ độ )
1) ĐHCĐ - 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2
8
x
x
=
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y= − +x2 x ; y x= 2 ; y x= 2+ −x 2
BÀI TẬP:
1) ĐHQGHN – 97A : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y x= 2+ +x 2 và y=2x+4.
Trang 8-2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y2 =4x và x2 =4y
3) ĐHKTế – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y2 =2x ; x−2y+ =2 0 và trục
hoành Ox
4) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 2
ln x
y x
= , các đường thẳng :
1; 2
x= x= và trục hoành Ox
5) ĐHNN1 HN – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 3 2
y x= − x + +x và trục hoành.
6) ĐHNN1 HN – 97: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y tgx= , đường thẳng
3
x=π
và các trục toạ độ.
7) ĐHTLợi – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 1 2
4
3 2
8) ĐHTMại – 96: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y x= 2 và x= −y2
9) ĐHTCKToán – 98: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y= −x2 và y= − −x 2.
10) ĐHTCKToán – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y e= x ; y e= −x và x=1 11) ĐHBKHN - 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y=sin2xcos3x ,
0;
2
và trục hoành.
12) ĐHTMại – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y x= 2−2x , x= −1, x=2 và trục hoành Ox
13) ĐHHuế 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: ( )5
1
y= +x , y e= x và các đường thẳng x=0;x=1.
14) ĐHNN1 – 99A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 2
1 1
y x
=
2
2
x
y=
15) ĐHTLợi – 99: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 2 3 3
y x= + x− và y x= .
16) ĐHSPHN – 2000B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y= x2−4x+3 và y=3.
17) HVBCVT – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 23
1 2sin
2
x
12
y
π
2
x=π .
18) ĐHTCKToán – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y= +2 sinx ,
2
1 sin
y= + x với x∈[ ]0;π .
19) HVBCVT – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y xe= x , x= −1, x=2 và trục hoành
20) ĐHY TB- 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y=5x− 2 , y= −3 x và các trục toạ độ.
21) ĐHKTQD HN -2000 : Parabon y2 =2x chia hình tròn x2+y2 =8 thành hai phần, tính diện tích mỗi phần
Trang 9-22) ĐHKTQD HN – 2001: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon y=4x x− 2 và các đường tiếp tuyến đi qua 5;6
2
.
1
x
− +
=
− Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , tiệm cận xiên của
( )C và x=2;x=4
24) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabon 2
y= − +x x− và hai tiếp tuyến tại các điểm
(0; 3)
A − ; B( )3;0
25) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: 2
y= − +x x ; 2
2
y x= + −x 26) ĐHMĐC HN – 2000: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị: y=sin x , y x= −π .
27) ĐH – CĐ : KA 2002 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y= x2−4x+3 và y x= +3
28) CĐSPPThọ KA – 2003: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị y= −4 x y2; = x2−2x 29) ĐH – CĐ : KB 2002: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 2
4
x
2
4 2
x
y=
6
∈ sao cho hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C x; =0;x=2;y=0 có diện tích bằng 4
31) Hình ( )H giới hạn bởi Parabol (P), y=0,x= −1,x=2 Lập phương trình Parabol (P) , biết (P)
có đỉnh S( )1; 2 và diện tích ( )H bằng 15.
BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường:
( )
y= f x ; y=0; x a x b a b= ; = ;( < ) xung quanh trục Ox ”.
PP giải: Ta áp dụng công thức b 2 b ( )2
Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: x= f y( ) ;
0
x= ; y a y b a b= ; = ;( < ) xung quanh trục Oy ”.
PP giải: Ta áp dụng công thức b 2 b ( )2
3
a) Tính diện tích hình phẳng D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy của hình giới hạn bởi
2
x
3) Cho hình phẳng ( )D giới hạn bởi ( )P y: 2 =8x và đường thẳng x=2 Tính thể tích khối tròn xoay khi lần lượt quay hình phẳng ( )D quanh trục Ox và trục Oy
Trang 10BÀI TOÁN II: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường:
( )
y= f x ; y g x= ( ) ; x a x b a b= ; = ;( < ) xung quanh trục Ox ”.
PP giải: Ta áp dụng công thức b 2( ) 2( )
Ox a
1) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các đường:
y= −x y x= + Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này.
BÀI TẬP
1) ĐHXDHN -97: Tính V biết: Ox D={ y x= ln ,x y=0,x=1,x e= }
2) CĐSPBTre - KA – 2002: Cho D là miền giới hạn bởi đồ thị 2 ; 0; 0;
4
a) Tính diện tích miền phẳng D
b) Cho D quay quanh Ox , tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành.
3) ĐHHH -99: Tính V biết: Ox
3
2 , 3
x
2
5) ĐHKTQD -98: Tính V biết: Ox D={x2+ − =y 5 0;x y+ − =3 0}
6) ĐHLHN – 96: Tính V biết: Ox D={y=2 ;x y2 =2x+4}
7) ĐHQGHN – 99B: Tính V biết: Ox D={y x= 2−4x+6;y= − −x2 2x+6}
8) ĐHNN1 HN -98: Tính V biết: Ox D={y x y= 2; = x}
9) HVNH TPHCM – 99: Tính V biết: Ox D={y x= ln 1( +x2);y=0;x=1}
10)CĐCNHN 2003: Tính V biết: Oy D y e y x; 1;y 0;x 0
e
- -NHỊ THỨC NIUTON
*) Công thức: ( )
n k n k k k k n k
n n
n n
d) Số hạng thứ k+1 là 1
k n k k
T+ =C a b−
*) Khai triển thường dùng: ( )
0 1
n
n k
=
0
n
n k
=
C −C +C − + − C =
Trang 111
x
= +
, hãy tìm hệ số của
31
x 2) Hãy tìm trong khai triển nhị thức
18 3
3
1
x x
số hạng độc lập đối với x
3) ĐHQGHN – 2000B : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
17 3 4
3 2
1
x x
+
4) ĐH – CĐ _KD: 2004: Tìm các số hạng không chứa x tronh khai triển của
7 3
4
1
x x
5) ĐHCĐ – 2003 A: Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức của 5
3
x x
6) ĐHCĐ – 2002A: Trong khai triển nhị thức 2 21 23
n x
x− −
+
5
C = C và số hạng thứ tư bằng
20n Hãy tìm n và x
7) Trong khai triển nhị thức (x x x3 + −28 15)n , hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x , biết rằng
8) Hãy tìm n trong khai triển
2 1 4 2
n
−
+
, biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo thứ tự đó
lập thành một cấp số cộng.
9) Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhị thức 2 3
n
x
x
+
số hạng thứ 7
10) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển
12 3 3
x x
−
11) Tính hệ số của x y25 10 trong khai triển ( 3 )15
x +xy
a) Hãy tính hệ số a1000
b) Tính tổng T = + + +a0 a1 a2005 và S a= +1 2a2+3a3+ + 2005a2005
P x = +x + +x + + +x có dạng khai triển là
P x = +a a x a x+ + +a x Hãy tính hệ số a 9
P x = + +x +x + +x + + +x có dạng khai triển là
P x = +a a x a x+ + +a x Hãy tính hệ số a 15
tìm hệ số a 5
1+ + +x x x = +a a x a x+ + + a x
