Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân potx

Chuyên đề VI: Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân... PP đổi biến số... PP tích phân từng phần Lý huyết b a udvuv  vdu Dấu hiệu: Tích phân có dạng... 5.Tính thể tích khối trò

Chuyên đề VI:

Nguyên hàm-Tích phân, ứng dụng của tích phân

1 Tích phân

Lý huyết

- F x  là một nguyên hàm của hàm số y f x  liên tục trên đoạn a b;  Khi đó

b

b a a

f x dxF x F b F a

- Ghi nhớ các tính chất cộng, trừ tích phân và công thức tính các nguyên hàm của hàm số thường gặp

 k f x dx   k f x dx   , (k là hằng số)

 dxxC; dx2 1 C

x

x   



- Cách tính vi phân của hàm số y g x là: d g x    g x dx 

Ví dụ 1: Với u3x5, ta có

3 5 3 5 

dud x  x  dx 3dx

Với t  x21, ta có t2 x2 1

Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng), ta được

1

d t d x 

1

t dt x dx

   2 t dt 2 x dx tdtxdx

Ví dụ 2:

1

I  x  x dx

2

3x dx xdx 2dx

2

2 1

x

2

3

1 1

1

2 2

x

15 2



Có thể tính gộp: 2 2 

1

I  x  x dx

3 2

3

1

2 2

x

5 10 2

2



b)

4

0

J  x dx  

4

1 2 0

4

1 2 0

1

4

1 1 2

0

1

1

2

4 3 2 0

1

4 3 0

1

1

3

Nhận xét: Với đa số học sinh trung bình thì nên tính tích phân trên bằng phương pháp đổi biến t  2x1t2 2x1

Lấy vi phân hai vế (theo biến tương ứng) ta được

d t d x  tdt  dx tdtdx

Đổi cận: Với x 1 ta có t  2.0 1 1; với x 4 ta có t 3

Vậy

3

2

3

t

J t tdt t dt 

3  3  3

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2008, L2, KPB): Tính

1 0

I  x dx

Câu 2 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH):

Tính tích phân 2 2 

1

I  x  x dx

Đáp số: Câu 1: I 149; Câu 2: I 9

2 PP đổi biến số

Lý huyết

Một số dạng thường gặp:

 1 sin cos

b

a

I  f x xdx Đặt t sinx, ta có dt cosxdx

b

a

I  f x xdx Đặt t cosx, ta có dt  sinxdx

sin 1 sin

b

a

I   f t dt hoặc  

cos 1 cos

b

a

I    f t dt

 2 tan  2

cos

b

a

dx

x

 Đặt t  tanx, ta có 12

cos

x



tan 2 tan

b

a

I   f t dt

b

x x a

I  f e e dx Đặt t e x, ta có dt e dx x

Khi đó 3  

b

a

e

e

I   f t dt

 Tổng quát:

   

b

a

I  f u x  u x dx Đặt t u x , dt u x dx 

Ví dụ 1: Tính  

6

3





 Đặt t cosx, ta có dt dcosx sinxdx

 Đổi cận: Với

6

x 

 , ta có cos 3

t   

Với

3

x 

 , ta có cos 1

3 1

1 3

2 2

I   t dt   t dt

3 2 2

1 2

2

t t

 

2

2

Ghi chú: các em cũng có thể đặt t cosx1

Ví dụ 2: Tính

2 0

cos

3 sin

x

x









Ta viết lại

2 0

1 cos

3 sin

x







 Đặt t sinx, ta có dt dsinx  sinx.dxcosxdx

 Đổi cận: Với x 0, ta có t sin 00

Với

2

x 

 ta có sin 1

2

3 1

d t



   

3

Ghi chú: Với bài này có thể đặt t  3 sinx

Ta có dt d3 sin x  3 sin x dx cosxdx

 Đổi cận: x   0 t 3 sin 03

 Khi đó

4 3

dt J t

4

ln ln 4 ln 3 ln

3

t

Cách đặt này giúp lời giải gọn và phép tính tích phân dễ thực hiện hơn rất nhiều so với cách 1 Các em lưu ý nhé !

Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng ln

b

b a a

du

u

u 

 cần vận dụng vi phân để tính nhanh

Chẳng hạn dx d x m với mọi m là hằng số

1

m

  với mọi m, n là hằng số

Ví như, trong

1

dx

x 

 mẫu có dạng u x 1, nhưng tử chưa phải du do đó cần biến đổi để tử thành du: thay dx d x 1

d x dx



Ví dụ 3: Tính

ln 3

x x

e

e







Giải:

 Đặt t e x 1dt e x1dxe dx x

 Đổi cận: x0 t e0 1 1

ln 3

 Khi đó

4

4 1 1

2

dt

t

Chú ý: Ở đây đã sử dụng công thức dt 2 t C



Cách khác: Đặt t  e x 1 t2 e x 1

2tdt e dx x

Đổi cận: x0 t e0 1 1;

ln 3

x  t e    

Khi đó

2 1

2

tdt

t

    2 2 1  2

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN BTTH 2006):

Tính tích phân 2 

0

2sin 3 cos



Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN):

Tính tích phân ln 5 

ln 2

1

1

x

e







Gợi ý: Đặt t  e x1t2 e x1

Suy ra e x t21 và 2tdte dx x

Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Tính

2

2 0

sin 2

4 cos

x

x







Câu 4 (Đề TN 2007, Bổ túc): Tính

2 0

cos

1 sin

x

x







Câu 5 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN):

Tính tích phân 1 2 34

1

1



Đáp số : Câu 1: I 4; Câu 2: 26

3

I  ; Câu 3: ln4

3

I 

Câu 4: I ln 2; Câu 5: 32

15

I 

3 PP tích phân từng phần

Lý huyết

b a

udvuv  vdu

Dấu hiệu: Tích phân có dạng

 

b

a

I  f x xdx; 2  .cos

b

a

I  f x xdx; 3  

b

x a

I  f x e dx

Cách giải: Đặt u f x du f x dx

Còn dvsinxdx, ta có v cosx

cos

dv xdx, ta có vsinx

x

dve dx, ta có ve x

4 1 0



Giải:

 Đặt u2x 3 du2x3dx2dx

Với dv sinxdx, ta có v cosx

4 4

0





I      

4 0

2 cos xdx



 

2

I       x 

2

3



Nhận xét: Các em có thể tách

Sau đó tính

2 sinx xdx 2 xsinxdx



đặt ux

Và tính

4 0

3sinxdx 3 sinxdx 3cosx



Tính xong, cộng hai kết quả trên lại

2 2 0

I   x e dx

Giải:

 Đặt u 5 2xdu5 2 x dx  2dx

Với dv e dx x , ta có ve x

2 2 2

0 0

I   x e e  dx

2

2

0

I   e   e  e dx

2 2

0

1.e 5.1 2e x

5 2

 Vậy I2 3e27

Ghi nhớ: Trong tích phân từng phần, mặc dù có đổi biến nhưng chúng ta

không đổi cận

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Tính  

1 0

I  x e dx

Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH):

Tính tích phân  

2 0



Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tính  

1 0

I  x e dx

Đáp số: Câu 1: I  1 e ; Câu 2: I  3; Câu 3: I  3 e

4 Tính diện tích hình phẳng

Lý huyết

Dạng 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x , trục hoành và hai đường thẳng xa x; b ab

 

b

a

S  f x dx

Cách tính  

b

a

S  f x dx:

 Giải ph/trình : f x   0 tìm các nghiệm x x1; 2; ;x n thuộc đoạn a b;  (Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ)

 Phân tích

 

b

a

1

n

Trên mỗi khoảng a x; 1 , x x1; 2, ,x b n;  thì f x  có dấu xác định không thay đổi

1

n

S   f x dx   f x dx    f x dx

{Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân}

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx3x, trục hoành

và các đường thẳng x0;x2

Lời giải:

 Diện tích hình phẳng cần tìm bằng

2 3 0

S  x x dx

x  x  x x    x0;x 1

Trên đoạn 0;2, ta loại bỏ x  1

 Suy ra

S  x x dx x x dx

x x dx x x dx

2

Nhận xét: Các em nên dùng máy tính cầm tay để tính và kiểm tra đáp án nhé ! Nếu em nào có kỹ năng xét dấu, có thể lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị

tuyết đối của x3x trên đoạn 0;2

Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x  và

 

y g x

Cách giải:

 Giải ph/trình f x g x  tìm được các nghiệm x x1; 2; ,x n

(Giả sử x1x2  x n)

 Diện tích hình phẳng cần tìm    

1

n

x

x

S   f x g x dx Chia S thành tổng các tích phân trên các khoảng x x1; 2, x x2; 3,…,x n1;x n để tính bằng cách đưa dấu giá trị truyệt đối ra ngoài dấu tích phân

2

n

n

x x



2

n

n

x x



Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3x2 và y 0

Giải:

 Ph/trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho :x3x2 0

2

 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 1  3 2

0

0

S  x x  dx

1

S  x x dx    

12



Bài tập:

Câu 1 (Đề TN BTTH 2006):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx33x2, trục hoành và các đường thẳng x 2, x 1

Câu 2 (Đề TN 2006, KPB):

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ye x, y 2 và đường thẳng x 1

Gợi ý: Đề đã cho một cận là x 1

Để tìm cận còn lại ta giải ph/trình e  x 2 xlog 2e ln 2

Chú ý: ln 2 1

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm bằng

1

ln 2

2

x

S   e  dx Các em tự tính tiếp nhé !

Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường y x26x, y 0

5.Tính thể tích khối tròn xoay (khi quay quanh trục Ox)

Lý huyết

Dạng 1: Thể tích V của khối tròn xoay thu được khi cho hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng xa x; b ab quay quanh trục hoành

  2

b

a

V f x  dx

Ví dụ: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng  H giới hạn

bởi đồ thị hàm số ycosx , trục hoành và hai đường thẳng ;

x  x 

quanh trục hoành

Giải:

 Thể tích cần tìm bằng  

2

2 6

cos







2

1

2

6

1

sin 2







Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các

đường ysinx,y 0, 0,

2

Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành