nh nghắa khổng gian riảngsuy rởng cừa mởt tỹ ỗng cĐu tuyán tẵnh.. T¼m ma trên khÊ nghch C ma trên C1AC cõ dÔng chuân tưc Jordan.CƠu 5 Trang 4 DÃ thi số 4Thới gian: 120 phútCƠu 1a Chựng
Trang 11 Lîp CLC
· thi sè 1 Thíi gian: 120 phót C¥u 1
H¢y ành ngh¾a tü çng c§u lôy linh ành ngh¾a khæng gian ri¶ng suy rëng cõa mët tü çng c§u tuy¸n t½nh Chùng minh r¬ng vîi λ l gi¡ trà ri¶ng cõa f th¼ sè chi·u ¤i sè cõa λ b¬ng bëi nghi»m λ cõa a thùc
°c tr÷ng Pf(x)
C¥u 2
T¼m cì sð £nh v h¤t nh¥n cõa tü çng c§u R3 x¡c ành bði c¡c cæng thùc tåa ë sau:
a)
x01 = x1 − 2x2 + x3
x02 = x1 − 2x2 + x3
x03 = x1 − 2x2 + x3
b)
x01 = 3x1 + 2x2 + x3
x02 = 2x1 + 2x2 + x3
x03 = x1 + x2 + x3
C¥u 3
T½nh ành thùc cõa ma trªn A Khi det A 6= 0 h¢y t¼m A−1 Vîi
A = (aij) ∈ M at(n, R) ð â:
aij = b i 6= j
a i = j
C¥u 4
Cho E l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K v f ∈ End(E), Rankf =
1 , Dim E = n Chùng minh tçn t¤i λ ∈ K º f2 = λf, hìn núa n¸u
λ 6= 1 th¼ IdE − f l ¯ng c§u
C¥u 5
Gi£ sû B l ma trªn lôy linh A l ma trªn giao ho¡n vîi B Chùng minh r¬ng:
Trang 2· thi sè 2 Thíi gian: 120 phót C¥u 1
a) Chùng minh n¸u f l mët tü çng c§u cõa K-khæng gian v²ctì húu h¤n chi·u V v α1, α2, , αm l nhúng v²ctì ri¶ng ùng vîi nhúng gi¡ trà ri¶ng ph¥n bi»t tøng c°p λ1, λ2, , λm th¼ h» v²ctì α1, α2, , αm ëc lªp tuy¸n t½nh
b) ành ngh¾a tü çng c§u ch²o hâa ÷ñc Chùng minh r¬ng n¸u tü çng c§u f cõa K-khæng gian v²ctì húu h¤n chi·u V m f2 = f th¼ f ch²o hâa ÷ñc
C¥u 2
T¼m cì sð cõa £nh v h¤t nh¥n cõa c¡c tü çng c§u cõa R3 x¡c ành bði c¡c cæng thùc tåa ë sau:
a)
x01 = x1 + x2 + x3
x02 = x1 − x2 + x3
x03 = 3x1 − x2 + 3x3
b)
x01 = x1 + 2x3 − x3
x02 = x1 + 2x2 − x3
x03 = 2x1 + 4x2 + x3 C¥u 3
T½nh ành thùc cõa ma trªn A = (aij) ∈ M at(n, R) vîi aij = min(i, j) C¥u 4
Cho V l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K v f ∈ End(V ),Dim V =
n ≥ 1, Rank f = 1 Chùng minh r¬ng tçn t¤i λ ∈ K º f2 = λf, hìn núa n¸u λ 6= 1 th¼ Id − f l ¯ng c§u
C¥u 5
Gi£ sû V l khæng gian v²ctì phùc húu h¤n chi·u, f ∈ End(V ) m
câ sè nguy¶n d÷ìng n º fn = Id Chùng minh r¬ng trong V câ cì sð gçm nhúng v²ctì ri¶ng cõa f
Trang 3C¥u 1
Chùng minh r¬ng h¤ng cõa ma trªn A b¬ng c§p p cõa ma trªn vuæng con khæng suy bi¸n cõa A sao cho måi ma trªn vuæng con c§p p + 1 bao
nâ ·u suy bi¸n
C¥u 2
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + 2 = 0 3x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 = 0 6x1 + 8x2 + x3 + 5x4 + 7 = 0 3x1 + 5x2 + 3x3 + 7x4 + 5 = 0 C¥u 3
Gi£i ph÷ìng tr¼nh ma trªn sau (c¡c ma trªn vuæng c§p n)
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
X =
1 2 3 n
0 1 2 n − 1
0 0 1 n − 2
0 0 0 1
C¥u 4
Cho ma trªn thüc A =
1 0 0
0 0 4
1 −1 4
T¼m ma trªn kh£ nghàch C º
ma trªn C−1AC câ d¤ng chu©n tc Jordan
C¥u 5
Cho V l mët K-khæng gian v²ctì v f ∈ End(V ) Chùng minh r¬ng n¸u f2 = 0 v tçn t¤i h ∈ End(V ) º hf + fh = Id th¼ Ker f = Im f
i·u ng÷ñc l¤i câ óng khæng?
Trang 4D· thi sè 4 Thíi gian: 120 phót C¥u 1
a) Chùng minh r¬ng n¸u f : V → V l tü çng c§u tuy¸n t½nh cõa khæng gian v²ctì húu h¤n chi·u V th¼ Dim V = Dim (Kerf) + Dim (Imf )
b) ành ngh¾a tü çng c§u ch²o hâa ÷ñc Chùng minh n¸u tü çng c§u f cõa K-khæng gian v²ctì húu h¤n chi·u V thäa m¢n f2 = f th¼ f ch²o hâa ÷ñc
C¥u 2
Cho V l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K, Dim V = n v f ∈ End(V ) Chùng minh r¬ng câ ¡nh x¤ g ∈ End(V ) º fgf = f
C¥u 3
Gi£i v bi»n luªn h» ph÷ìng tr¼nh:
2x1 − 5x2 + x3 + 2x4 = 0 5x1 − 9x2 + 2x3 + 7x4 = 0 3x1 − 7x2 + x3 − 4x4 = 0 4x1 + 6x2 + x3 − λx4 = 0 C¥u 4
Cho ma trªn vuæng A c§p n câ d¤ng sau: c¡c ph¦n tû tr¶n ÷íng ch²o ch½nh b¬ng ab, c¡c ph¦n tû ngay s¡t ÷íng ch²o ch½nh b¬ng 1, cán c¡c ph¦n tû kh¡c b¬ng 0
a) Chùng minh Det A = Pn
i=0
akbn−k b) T¼m gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn d¤ng tr¶n khi a = 1, b = −1
Trang 5C¥u 1
a) N¶u c¡c kh¡i ni»m: tü çng c§u lôy linh, tü çng c§u ch²o hâa
÷ñc, khæng gian ri¶ng v khæng gian ri¶ng suy rëng cõa mët tü çng c¦u tuy¸n t½nh
b) Chùng minh måi tü çng c§u cõa khæng gian v²ctì thüc n chi·u (n > 0) ·u câ khæng gian con b§t bi¸n mët ho°c hai chi·u
C¥u 2
Cho ma trªn vuæng A c§p n Chùng minh tçn t¤i ma trªn vuæng B c§p n º ABA = A Ma trªn B l duy nh§t khi v ch¿ khi A kh£ nghàch C¥u 3
Cho V l khæng gian v²c tì húu h¤n chi·u Gi£ sû E, F l hai khæng gian con thüc sü cõa V v Dim E = Dim F Chùng minh câ khæng gian con cõa V l ph¦n bò chung cõa c£ E v F
C¥u 4
Gi£i v bi»n luªn h» ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tr÷íng sè thüc ( tham sè
a, λ)
λx + y + x + t = a3
x + λy + z + t = a2
x + y + λz + t = a2
x + y + z + λt = 1 C¥u 5
Cho ma trªn A ∈ Mat(3, R), A 6= 0, A2 = 0
Gåi V = M ∈ Mat(3, R) : AN + MA = 0 T¼m sè chi·u cõa khæng gian v²ctì V
Trang 62 Lîp ch½nh quy
· thi sè 6 Thíi gian: 120 phót C¥u 1
Cho n l sè nguy¶n d÷ìng
a) Chùng minh r¬ng tªp c¡c ma trªn vuæng c§p n vîi ph²p cëng hai
ma trªn v nh¥n mët ma trªn vîi mët sè thüc lªp th nh mët khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng sè thüc K½ hi»u R-khæng gian v²ctì n y l Mat(n) H¢y ch¿ ra mët cì sð v t½nh sè chi·u cõa Mat(n)
b) Gåi S(n) l tªp t§t c£ c¡c ma trªn A = (aij) ∈ M at(n) sao cho A
l ma trªn èi xùng Chùng minh r¬ng S(n) l R-khæng gian v²ctì con cõa Mat(n) H¢y ch¿ ra mët cì sð v t½nh sè chi·u cõa S(n) H¢y mæ t£
cö thº ph¦n bò ¤i sè cõa S(n) trong Mat(n)
c) Gi£ sû V l mët khæng gian v²ctì n chi·u Gåi End(V ) l R-khæng gian v²ctì c¡c tü çng c§u cõa V Chùng minh r¬ng Mat(n) ¯ng c§u vîi End(V )
C¥u 2 Cho ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3
→ R3 cho bði c¡c cæng thùc sau:
f (x1, x2, x3) = (4x1 − 5x2 + 2x3, 5x1 − 7x2 + 3x3, 6x1 − 9x2 + 4x3) a) T¼m cì sð cõa £nh v cõa h¤t nh¥n cõa f
b) T¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng v khæng gian ri¶ng cõa f
C¥u 3
Gi£i v bi»n luªn h» ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tr÷íng sè thüc:
2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 8 11x1 + 7x2 + 2x3 + x4 = 16
−16x1 − 23x2 + 11x3 + 19x4 = 18
−x1 − 22x2 + 23x3 + λx4 = 40 Khi λ = 3 h¢y t¼m nghi»m têng qu¡t cõa h» tr¶n
Trang 7C¥u 1
a) N¶u ành ngh¾a cõa khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K
b) K½ hi»u Pn l tªp c¡c a thùc mët bi¸n h» sè thüc câ bªc nhä hìn hay b¬ng n Chùng minh r¬ng Pn còng vîi ph²p nh¥n mët sè thüc vîi mët a thùc v ph²p cëng hai a thùc l m th nh mët khæng gian v²ctì tr¶n R
c) H¢y ch¿ ra mët cì sð v t½nh sè chi·u cõa R-khæng gian v²ctì Pn d) Chùng minh r¬ng ph²p l§y ¤o h m bªc nh§t d : Pn → Pn l mët
¡nh x¤ R-tuy¸n t½nh H¢y vi¸t ma trªn cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh d trong
cì sð ¢ ch¿ ra ð c¥u c)
C¥u 2
Gi£ sû ¡nh x¤ tuy¸n t½nh f : R3
→ R3 cho bði cæng thùc sau:
f (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 − x3, 4x1 + 3x2 − 5x3, 2x1 − 2x2 + 7x3)
H¢y t¼m cì sð cõa £nh v cõa h¤t nh¥n cõa f
C¥u 3
T¼m gi¡ trà ri¶ng v v²ctì ri¶ng cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh:
x01 = x1 + x2 + x3
x02 = −x3
x03 = x2 Tr¶n c¡c tr÷íng ¢ ch¿ ra sau ¥y:
a) Tr¶n tr÷íng sè thüc
b) Tr¶n tr÷íng sè phùc
C¥u 4
Gi£i v bi»n luªn h» ph÷ìng tr¼nh sau tr¶n tr÷íng sè thüc theo tham
sè λ:
λx + y + z = 1
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ2
Trang 8· thi sè 8 Thíi gian: 120 phót C¥u 1
Trong khæng gian v²c tì R3 vîi cì sð ch½nh tc (−→e1, −→e
2, −→e
3), cho tü
çng c§u f : R3
→ R3 câ biºu thùc tåa ë:
x01 = x1 + 2x2 + 3x3
x02 = 2x1 + 2x2 + 4x3
x03 = x1 + x2 + 2x3 a) T¼m Rank f
b) T¼m cì sð cõa Ker f v Im f
C¥u 2
Cho ma trªn vuæng c§p n: An =
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
C¡c ph¦n tû n¬m tr¶n ÷íng ch²o ch½nh b¬ng 0, c¡c ph¦n tû kh¡c b¬ng 1
a) T½nh Det An
b) T¼m ma trªn nghàch £o cõa An
C¥u 3
Gi£i v bi»n luªn h» ph÷ìng tr¼nh:
λx − y − z = 1
−x + λy − z = λ
−x − y + λz = λ2
C¥u 4
Chùng minh r¬ng n¸u sè phùc z thäa m¢n: z + 1
z m = 2 cos α th¼
zm + z1m = 2 cos mα
Trang 9· thi sè 9 Thíi gian: 120 phót C¥u 1
Ph¡t biºu v chùng minh ành l½ v· sè chi·u cõa c¡c khæng gian v²ctì con cõa khæng gian húu h¤n chi·u
C¥u 2
Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh sau:
x − y + 2z + 2u + v = 3 2x + y + 5z + 2u + 2v = 6
−x + 4y − 6u + v = −3
−2x − 4y − 4z − u + v = −3 2x + 4y + 4z + 7u − v = 9
C¥u 3
Cho P2 l khæng gian v²ctì c¡c a thùc h» sè tr¶n tr÷íng K(R, C), bªc nhä hìn ho°c b¬ng 2 vîi cì sð (1, x, x2)
a) Chùng minh ¡nh x¤ sau l ¡nh x¤ tuy¸n t½nh cõa P2 : f : P2 → P2
f (a + bx + cx2) = a + (a + b)x + (2a − 3b)x2 b) T¼m ma trªn cõa f trong cì sð tr¶n
c) T¼m mët cì sð cõa Ker f, Im f
d) Häi f câ ch²o hâa ÷ñc khæng N¸u ÷ñc h¢y ch²o hâa nâ
C¥u 4
Trong khæng gian v²c tì R4 vîi cì sð ch½nh tc cho biºu thùc tåa ë cõa d¤ng to n ph÷ìng: H(α) = xy − 2yt vîi α = (x, y, z, t)
a) Sû döng ph÷ìng ph¡p Lagrange, h¢y ÷a biºu thùc tåa ë cõa H v· d¤ng ch½nh tc Vi¸t cæng thùc tåa ë cõa ph²p bi¸n êi cì sð ch½nh tc sang cì sð mîi, trong â H câ d¤ng ch½nh tc
b) H l d¤ng to n ph÷ìng: X¡c ành d÷ìng? X¡c ành ¥m? Khæng l
Trang 10· thi sè 10 Thíi gian: 120 phót C¥u 1
ành ngh¾a v²ctì ri¶ng, gi¡ trà ri¶ng, khæng gian ri¶ng cõa mët tü
çng c§u tuy¸n t½nh, tü çng c§u ch²o hâa ÷ñc Chùng minh r¬ng n¸u
f l mët tü çng c§u cõa K-khæng gian v²ctì V v −→α1, −→α
2, , −α→
m th¼ nhúng v²ctì ri¶ng cõa f theo thù tü ùng vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng ph¥n bi»t
tøng c°p λ1, λ2, , λm th¼ h» v²ctì (−→α1, −→α
2, , −α→
m) ëc lªp tuy¸n t½nh
C¥u 2
T½nh h¤ng cõa h» v²ctì sau trong R4 (x²t vîi cì sð ch½nh tc): −→α1 =
(2, 1, 3, −1); −→α
2 = (2, 2, 6, −2); −→α
3 = (6, 3, −9, 3); −→α
4 = (1, 1, 1, 1); −→α
5 = (2, 1, 5, 1) Tø â suy ra mët cì sð v sè chi·u cõa khæng gian con sinh
bði h» v²ctì tr¶n
C¥u 3
Trong R3 vîi cì sð ch½nh tc, cho tü çng c§u f câ ma trªn
−3 −7 −7
X²t h» v²ctì −→α1 = (1, −1, 1); −→α
2 = (1, 2, 0); −→α
3 = (0, 0, 1) a) Chùng minh h» −→α = (−→α
1, −→α
2, −→α
3) l mët cì sð cõa R3 b) T¼m ma trªn cõa f trong cì sð α
c) T¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng v khæng gian ri¶ng cõa f
C¥u 4
Cho ma trªn vuæng A (c§p n) thäa m¢n: A2 − 3A + In = 0 Chùng
minh r¬ng A kh£ nghàch v t½nh A−1 (theo A)
Trang 11C¥u 1
ành ngh¾a khæng gian v²ctì con, têng cõa mët hå khæng gian v²ctì con cõa mët K-khæng gian v²ctì V Chùng minh ành lþ sau: "Gi£ sû
W v Z l hai khæng gian v²ctì con cõa K-khæng gian v²ctì húu h¤n chi·u V Khi â Dim W + Dim Z = Dim (W + Z) + Dim (W ∩ Z)” C¥u 2
T¼m mët cì sð v chi·u cõa khæng gian v²ctì con sinh bði c¡c v²ctì sau trong R4 (x²t vîi cì sð ch½nh tc): −→α1 = (1, 0, 0, −1), −→α
2 = (2, 1, 1, 0), −→α
3 = (1, 1, 1, 1), −→α
4 = (0, 1, 2, 3) C¥u 3
Cho tü çng c§u f cõa R3 cho bði cæng thùc tåa ë sau trong cì sð ch½nh tc cõa R3:
f (x1, x2, x3) = (4x1 − 5x2 + 2x3, 5x2 − 7x2 + 3x3, 6x2 − 9x2 + 4x3) a) Vi¸t ma trªn cõa f
b) T¼m mët cì sð £nh v h¤t nh¥n cõa f
c) T¼m c¡c gi¡ trà ri¶ng v khæng gian ri¶ng cõa f
C¥u 4
Cho f l tü çng c§u cõa khæng gian v²ctì húu h¤n chi·u V thäa m¢n: f2 = Id
a) Chùng minh r¬ng: V = Ker (f − Id) ⊕ Ker (f + Id)
b)Chùng minh r¬ng f l ch²o hâa ÷ñc v vi¸t ma trªn d¤ng ch²o cõa f trong mët cì sð th½ch hñp cõa V
Trang 124 Thi tuyºn lîp CLC
· thi sè 12 Thíi gian: 180 phót C¥u 1
Cho ma trªn A =
1 1 −1 −1
1 −1 1 1
1 −1 −1 0
a) T½nh Det A
b) T¼m ma trªn nghàch £o cõa A−1
C¥u 2
T½nh ành thùc D =
a1 a2 a3 a4
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
C¥u 3
Chùng minh n¸u ma trªn A ∈ Mat(3, R) v T r(A) = T r(A2) =
T r(A3) = 0 th¼ A2 = 0
C¥u 4
Cho V l khæng gian v²ctì tr¶n tr÷íng K F ÷ñc gåi l khæng gian con thüc sü cõa V n¸u F l khæng gian v²ctì con cõa V v F 6= V a) Häi V câ b¬ng hñp cõa hai khæng gian con thüc sü cõa nâ khæng? b) N¸u tr÷íngK l væ h¤n, häi V câ b¬ng hñp mët sè húu h¤n khæng gian con thüc sü cõa nâ hay khæng?
C¥u 5
Cho V l K-khæng gian v²ctì, Dim V = n > 0 Chùng minh r¬ng tçn t¤i f ∈ End(V ) sao cho Ker f = Im f khi v ch¿ khi n ch®n
C¥u 6
Gi£ sû f ∈ End(V ) ch²o hâa ÷ñc, Dim V = n v L l khæng gian con cõa V b§t bi¸n qua ¡nh x¤ f Chùng minh r¬ng ¡nh x¤ h¤n ch¸