Bài tập đại số tuyến tính phần 2

a Tìm ma trận của ánh xạ g đối vói các cơ sở chính tắc trong hai không gian.. Chú ý: Khi nói ma trận của tự đồng cấu f đối với một cơ sỏ Ị, ta hiểu rằng đó là ma trận của f đối với cờ s

Chương 5

M A T R Ậ N

Trong cuốn sách này ta kí hiệu tập hợp các ma trận kiểu (m, n) với

các thành phần trong trường K bởi Mat(m „,(K) Xin nhắc lại rằng trong

không gian vectơ R", cơ sở gồm các vectơ

Ẻ, =(1, 0, , 0 0),

Ẽ, =(0, Ì, 0, .,0),

gn = ( 0 , 0 , 0 , 1 )

8, = (0, 0, Ì, 0), số Ì đứng ở vị trí thứ ị, các số còn lại trong dấu

ngoặc đều bằng 0, được gọi là cơ sỏ chính tắc

an a12

a21 a2

2-V "mi

"m2-được gọi /à ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với hai cơ sở (e) nà (ộ

Có thể viết gọn các đẳng thức (1) như sau:

Mệnh đê Giả sử V, w là hai K - không gian uectơ và (è) = ị É ,, E Ị, ,

E „}, (ộ = ị ị,, %2>—< Ị, m) lẩn lượt íà cơ sở cố định của V và w Khi đó:

1) Môi ma trận kiêu ịm, n) xác định duy nhất một ánh xạ tuyến tính f:V->W;

trận của ánh xạ tuyến tính f đối vời hai cơ sở (Ề) và (ộ), là một song ánh

126

BÀI TẬP

359 Tìm ma trận của các ánh xạ tuyến tính sau đối vối các cơ sở chính tắc trong các không gian vectơ R3, R4:

a) f: R3 -> R4 xác định bởi: f(ẽ,) = (- 3, 4, 0, 5), f(Ẽ2) = (0, Ì, - 2, 1), f(ẽ3) = (0, 0, Ì, 2);

b) g: K3 -> K4 xác định bồi: g(ẽ,) = (0, 4, 0, 5), g(ẽ2) = (0, 0, 0, 1), g(ẽ3) = (0, Ì, 1,0)

360 Cho f, g thuộc HomR(R4, R3), có ma trận đối vối các cơ sở chính tắc của R" và R3 lần lượt là:

A =

0 - Ì 5 ì

0 - Ì -2 - Ì

b) Tìm ảnh của vectơ ã = (0, Ì, 3, - 2) qua ánh xạ f; qua ánh xạ g

362 Cho ánh xạ g: R4 -» R3, xác định bởi:

g(ai, a2, a3, a4) = (0, a, - a2, a, + a2)

a) Tìm ma trận của ánh xạ g đối vói các cơ sở chính tắc trong hai không gian

b) Tìm ma trận của g đối với cơ sở chính tắc của R4 và cơ sở gồm các vecto

a) Tìm toa độ của f(d ) biết rằng toa độ của á là (- 4, 2, 0)

b) Tìm một cơ sở của Kerf

c) Tìm một cơ sỏ của Imf

128

365 Trong R - không gian vectơ P2 gồm đa thức 0 và các đa thức bậc không lốn hơn 2, gọi (E) là cơ sở {Ì, X, X2}, f là tự đồng cấu có ma trận là

í 2 Ì 0

A = 0 2 Ì

1 0 2 a) Chứng minh rằng f là một tự đẳng cấu

b) Xác định ảnh của vectơ ã = 3x2 - X - 4

c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở © - {Ì, Ì - X, Ì - X + X2}

(Chú ý: Khi nói ma trận của tự đồng cấu f đối với một cơ sỏ (Ị), ta

hiểu rằng đó là ma trận của f đối với cờ sở (Ị) và chính cơ sở (Ị).)

366 Giả sử f là một tự đồng cấu của không gian vectơ R3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc là

Ì 2 5 "Ị

0 2

Ì 0

a) Tìm vectơ ă sao cho f(ă) = 4ã

b) Chứng minh rằng tập hợp u - {á 6 R3 I f(ã) = 4â Ị là một không gian con của R3

a) Tìm vectơ ã sao cho f(ă) - ã

b) Chứng minh rằng tập hợp u = {ã e K3 I f( à) = ã } là một không gian con của R3

c) Tìm một cở sỏ của u

368 Giả sử f là một tự đồng cấu của không gian vectd R3 có ma trận đối với cơ sà chính tắc là

2 ì

a) Tìm số thực k sao cho tồn tại một vectơ ã * õ sao cho f(ã) = kõ

b) Với mỗi giá trị của k vừa tìm được hãy tìm một vectơ ã thoa mãn đẳng thức

f(S) = k à

369 Giả sử f e HomK(V, W) có ma trận đối vói hai cơ sở đã cho của V và w

là A Người ta gọi hạng của A là hạng của tự đồng cấu f Chứng minh rằng dimlmf = hạng(A) và dim Kerf = dimV - hạng(A)

A + B • ' 3-1 0 + 5 5 + 14'

,-2+6 7+13 4-8 ,

' 2 5 19 N ,4 20 - 4 , Với A = (a i i)( m, „, và B = (bịj)(m, „, ta có: - B = (- „,, A - B = (as - bịiV „,

Ví dụ 2: Cho A =

A - B :

B =

l i 5 -3 ì 4 - 9 15 '11-8 5 + 3 -3 + 12 4+7 -9-5

Quy tắc nhân ma trận với một số Muốn nhân một ma trận A với một sốk ta chỉ việc nhăn sốk với mọi thành phần của A

Mệnh đề Phép cộng ma trận và phép nhân một ma trận với một số thuộc trường K có các tính chất sau:

Nói gọn với phép cộng hai ma trận uà phép nhân một ma trận vài một số, Mat,„, JK> là một K - không gian vectơ

tích AB ta phải lấy mỗi thành phần a,j của dòng thứ í trong ma trận A

Điều này có thể được mô tà bởi sơ đồ sau:

Chú ý: 1) Theo định nghĩa, tích AB chỉ được xác định khi số cột cùa

ma trận A bằng sô dòng của ma trận B

2) Phép nhân ma trận không có tính giao hoán

sở của K - không gian vectơ V, T = (t,j) là ma trận chuyến từ cơ sỏ (E) sang

cơ sở (ị)

132

lần lượt là toa độ của một vectd ã đôi với hai cơ sở Thê thì

lần lượt là ma trận của hai ánh xạ tuyến tính f và g thuộc HomK(V Vỉ)

đôi vối hai cơ sở đã cho nào đó của V và w

a) Tìm ma trận của ánh xạ f - 2g

b) Tính hạng của ma trận vừa tìm được ở câu a)

375' lả Í Í l HOm,K(V' W) và A là ma trận của f đối vớ> hai Cd sở nào đô

cua V và w Chứng minh rằng:

a) f là một đon cấu khi và chỉ khi hạng(A) =

dimV-b) f là một toàn cấu khi và chỉ khi hạng(A) = dimW

136

0)

7 -Ì lần lượt là ma trận của hai ánh xạ tuyến tính f và g thuộc HomK(V, W) đối với hai cơ sở đã cho nào đó của V và w

a) Tìm ma trận của ánh xạ 2f - g

b) 2f - g có phải là một toàn cấu không?

c) Tìm toa độ của vectơ ã 6 V (đối với cơ sở đã cho) sao cho (2f - g)( ã)

có toa độ đối vối cơ sở đã cho là (5, 0, 1)

d) Tìm một cơ sở của Ker(2f- g)

a) f và g có phải là những đẳng cấu không?

7 ì

0 4J

380 Chứng minh rằng VỚI A và B là hai ma trận vuông cấp n AB - BA

không thê là ma trận đơn vị

382 Cho ma trận

( 2 - l ì

A =

l o 3)

Tìm tất cả các ma trận B sao cho AB = BA

383 Giả sử A và B là hai ma trận thoa mãn điều kiện AB = BA Chứng minh rằng:

385 Tìm các ma trận cấp hai A sao cho A2 = 0, ở đây 0 là ma trận không

386 Tìm tất cả các ma trận cấp hai A sao cho A2 = A Ma trận A thoa mãn

điều kiện À" = A, n là một số nguyên dương, được gọi là một ma trận

139

390 Chứng minh rằng nêu ma trận A thoa mãn điểu kiện A = A(*A) thì

Định nghĩa Ma trận A e MaựK) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại

AB = ì = BA

B được gọi là ma trận nghịch đảo của Ả, kí hiệu B=A~'

Định li Ma trận vuông A có nghịch đảo khi và chỉ khi \A\* 0

Ma trận mà định thức của nó khác 0 được gọi là ma trận không suy

biến Với khái niệm này có thể phát biểu định lí trên như sau:

Ma trận khả nghịch khi và chỉ khi nó không suy biến

140

3 1 5 3 l i 5 Tìm các phần bù đại số

(_ l)2 + 3( - l ) ( l l - 9 ) = 2

l i , Au = -3, A1 3 = -6, A2 1 = -15, A2 2 = 5, A2 3 = 8, A3, = -3, A32 - 1» A33 — 2

141

Thiết lập ma trận nghịch đảo

í l i 15 3 )

' l i -15 -3 ' À-' 1 -3 to en 1

1-6 ao 2 ,

2) Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sau đây trên một ma trận là những phép biến đổi

sơ cấp:

1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau;

2) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) vối cùng một số khác 0; 3) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) vái cùng một số rồi cộng vào thành phần cùng cột (dòng) trong một dòng (cột) khác

Ví dụ 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để tìm ma trận nghịch đào

Nhân dòng thứ nhất với - 3 rồi cộng vào dòng thứ ba:

Nhân dòng thứ ba với -— rồi cộng vào dòng thứ nhất, nhân dòng thứ

ba vôi — rồi cộng vào dòng thứ hai:

395 Chứng minh rằng nếu a và b là những số hữu tỉ không đồng thời bằng 0 thì

398

' 4 ứ

x = ' 4 1 N ,-6 - 3 , v6 3,

404 Chứng minh rằng nếu A là ma trận không suy biến thì CA)"' = '(A~')

405 Đối với mỗi ma trận sau hãy tìm các giá trị của X đề nó khả nghịch:

7 ì

0 -3

407 Giả sử f là một tự đồng cấu của R - không gian vectơ V với dimV = 3,

408 Giả sử V là một R - không gian vectơ n chiều, f là một tự đồng cấu

của V sao cho ỉ" = 0 và f "1 * 0 Hãy tìm tất cả các tự đồng cấu g sao cho gf = fg

§4 Sự THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH

KHI THAY ĐỔI c ơ sở - MA TRẬN ĐỒNG DẠNG

4.1 Sựthay dổi của ma trận của một ánh xạ tuyến tính khi thay đổi ca sà

Định lí A và B là hai ma trận của cùng một ánh xạ tuyến tính khi

và chỉ khi tồn tại hai ma trận không suy biên s và T sao cho

B = T-'AS

4.2 Ma trận đồng dạng

Định nghĩa Hai ma trận A và B được gọi là đồng dạng nêu có một

ma trận T sao cho B = T~ 'ÁT Kí hiệu A ~ B

Hê quả Hai ma trận đồng dạng khi và chỉ khi chúng là hai ma trận của cùng một tự đồng cấu

Tìm ma trận của f đối vối cơ sỏ (Ị) gồm các vectơ:

a) f + g đối với cơ sở (ị);

b) fg đối với cơ sở chính tắc

412 Giả sử f và g là hai tự đồng cấu của 1 - không gian vectơ R* có ma

trận đối với cơ sở (ị) gồm các vectơ: ị , = (3, -1) ị 2 = (2, 1) lần lượt là

' 4 -Ố r-2 9 s

Hãy tìm ma trận của f + g, g - f, fg, gí đối với cơ sở chính tắc

413 Giả sử tự đồng cấu f của R - không gian vectơ R2, có ma trận là

r 5 7

2 3

Định nghĩa 1 Giả sử V là một không gian vectơ, f:V —>v là một tự

đồng cấu Vectơ ã * 0 của V được gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại một sốk e K sao cho

f(ỏ) = k ã

Sốk được gọi là giá trị riêng của f ứng với uectơ riêng ã

Nếu Ả là ma trận của tự đồng cấu f thì giá trị riêng cùa f cũng được gọi là giá trị riêng của ma trận A

sở chính tắc (E) là

í 2 4 ì

A =

với ki, p = (Ì, -1) là vectơ riêng ứng với k2 Thật vậy, vì f(ẽ,) = 2 É, - Ễ,, f( Ễ2) = 4 Ễ, - 3 ẽ2, ã = 4 Ẽ, - Ẽ2 nên

£(õl) = «4ẽ1- Ễ2) = 4f(ẽ, )-í(ẽ2) = 4(2ẽ1 - ẽ j ) - 4 ẽ , +3ẽ2 =4ẽ, - ẽ j = ã =lã Tương tự, p = Ẽ, — ẽ2 Do đó:

f(P) = f(Ễ, - §2) = f(ẽ1)-f(ẽ2) = 2ẽ1 - ẽ2 -46, +3ẽ2 =-2(g, - Ẽ2) = -2ậ

Định nghĩa 2 Giả sử f: V -> V là một tự đổng cấu của không gian

vectơ V Không gian con w của V được gọi là một không gian con bất biên đôi với f nêu vói mọi ã € w ta đều có f( ã ì e w

Mệnh đê Giả sử V là một không gian vectơ, tập hợp gồm vectơ 0 và các vectơ riêng ứng với giá trị riêng k của tự đồng cấu f: V -> V là một không gian con bất biên của V và được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng k

thành một hệ veciơ độc lập tuyến tinh

5.2 Đa thức đặc trưng - Cách tim vectơ riêng

Định nghĩa Giả SỬA là ma trận của tự đồng cấu f

, - k a,2 a„

152

sở chính tắc là

T i 2 -2Ì

Ì 0 3

Ì 3 0 Tìm các giá trị riêng của f và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ riêng Tìm các không gian bất biến tương ứng của f

GIAI Giải phương trình

5 5 Cho c= 5 ta được một nghiệm riêng ã, = (6, - 7, 5)

6 7 Không gian bất biên gồm tất các các vectơ có dang ( —c,—-c, c)

5 5 -(6,-7, 5) Đó là không gian sinh bởi ã,

i

• Với k2= Ì, giải hệ

2x, -2x, =0

3x, - X, = 0

ta được nghiệm tổng quát (- 2c, c c)

Cho c = Ì, được một nghiệm riêng ã2 = (- 2, Ì, 1)

Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng c(- 2, Ì, 1) = I Vậy không gian bất biến này sinh bởi ã2

Với k3 = 3, giải hệ

154

-2x, + 2x2 - 2x3 = 0

X, - 3x2 + 3x3 = 0

X, + 3x2 - 3x3 = 0

ta được nghiệm tổng quát: (0, c, c)

Cho c = Ì ta có một vectơ riêng ứng với k3= 3 là ã3 = (0, Ì, 1) Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng (0, c, c) = c(0, Ì, 1)

= cã3 Vậy không gian bất biến này sinh bôi ă3

Vì ba vectơ riêng ã,, ă2, ã2 tương ứng vói ba giá trị riêng phân biệt nên theo định lí ở mục 5.1, thúng độc lập tuyến tính Vì dimR3 = 3 nên chúng tạo thành một co sở của R3

420 Tự đồng cấu f của R - không gian vectơ V có các giá trị riêng phân biệt là ki, k2 và hai vectơ riêng tương ứng là ã,, ã2

Hỏi ã, + ă2 có phải là vectơ riêng hay không?

421 Tìm các giá trị riêng và vối mỗi giá trị riêng hãy tìm không gian riêng tương ứng của tự đồng cấu có ma trận A:

423 Tìm giá trị riêng và- vectơ riêng của tự đồng cấu f trong mỗi trường hợp sau:

a) f: R2 -> R2 xác định bởi: f(a„ a2, = (3a, + a2, 8a, + a2);

b) f: R3 -> R3 xác định bởi: f(a„a2, a3) = (a2, 2a2 + 3a3, a, + 3a2 + 33):

c) f: R3 R3 xác định bồi: f(a„ a2, a3) = (2at + a3, a, + 2a2 + a3, 3a,); d) f: R3 -» R3 xác định bởi: f(aj, a2, aa) = (3a! + a2, a, + a2, - 2a l + a2+3a3)

424 Chứng minh rằng nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì hai

ma trận AB và BA có cùng đa thức đặc trưng

425 Giả sử ã là vectơ riêng của tự đồng cấu f của R - không gian vectđ V Chứng minh rằng:

a) ã cũng là một vectơ riêng của kí, với k là một số thực bất kì;

b) ã cũng là một vectơ riêng của p4, với m là một số nguyên dương bất kì;

c) á cũng là một vectơ riêng của kmp + km _ ,f" ~1 + + k,f + k0id, id

là tự đồng cấu đồng nhất

426 Giả sỏ A là một ma trận vuông cấp n Có bao"nhiêu ma trận cấp n có cùng những giá trị riêng như A? Hãy chỉ ra một tập hợp những ma trận như thế

429 Giả sử A là ma trận vuông cấp n không suy biến và ki, k2, , k là các giá trị riêng của nó Hãy tìm các giá trị riêng của À"'

430 Giả sử ỉ là một tự đồng cấu của không gian vectd R3 có các vecttì riêng

là ũ, = (Ì, 0, 3), d2 = (2, Ì, 0), ÕỊ, = (0, Ì, 1)

lần lượt ứng với các giá trị riêng ki = Ì, k2 = - Ì, k3 = 2

Hãy tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc

§6 CHÉO HOA MA TRẬN 6.1 Các định nghĩa

được gọi là ma trận chéo

Định nghĩa Một ma trận vuông được gọi là chéo hoa được nếu nó

6.2 Điểu kiện để một ma trận chéo hoá được

Định lí Một ma trận vuông chéo hoa được khi và chỉ khi nó là ma trận của một tự đồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không gian

Hệ quả Nếu A là ma trận vuông cấp n mà đa thức đặc trưng |A - kl|

có n nghiệm phân biệt thìA chéo hoa được

Ví dụ 2: Cho ma trận

( Ì 2 -2\

A = Ì 0

Ì 3 a) Chéo hoa ma trận

b) Giả sử ma trận chéo vừa tìm được là B Hãy tìm ma trận T để

B = T'AT

GIẢI

a) ở ví dụ mục 5.2, coi A như ma trận của tự đồng cấu f của R3 đối vái

cở sở chính tắc thì f có ba giá trị riêng phân biệt là: ki = - 3, k2 = Ì, k3 = 3 Các vectơ riêng tương ứng: ã! = (6, - 7, 5), ă2 = (- 2, Ì, 1), ã3 = (0, Ì, 1) lập thành một cơ sở của R3 Theo định lí

A ~ B :

0 1 0

0 0 3 b) Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của R3 sang cơ sở {oe!,

2 0^

Ì Ì

Ì Ì Theo định lí 4.1, B = T1 ÁT

434 Giả sử f là tự đồng cấu của R - không gian vectơ V, có ma trận A Hãy tìm một cơ sỏ của V để ma trận của f đối với cờ sỏ ấy là một ma trận chéo:

0 2 0 3 v3 0 0 ;

§7 MA TRẬN GIOÓCĐẢNG 7.1 Đồng cấu lũy linh

Định nghĩa Tự đồng cấu Ị của K - không gian vectơ V được gọi là

một đồng cấu lũy linh nếu có một số tự nhiên n sao cho f = 0 Nếu q là một

Định nghĩa Một hệ vectơ có dạng {ã, f(ã), f{&), f ' '(ã)) của

không gian vectơ V được gọi là một hệ xyclíc nếu f(ã)= 0

Một không gian con của V có một cơ sở xyclíc được gọi là một không gian con xyclíc đôi với Ị

Định lí Nếu f là một tự đồng cấu lũy linh của không gian vectơhữu hạn chiều V thì V là tông trực tiếp của những không gian con xyclú đôi với f

7.2 Ma trận Gioócđăng (hay ma trận dạng chuẩn tắc Gioócđăng)

Định nghĩa Ma trận vuông A được gọi là ma trận Gioócđăng hay

ma trận dạng chuân tắc Gioócđăng nêu nó có dạng

Nếu A là ma trận của tự đồng cấu Ị đối với một cơ sở nào đó và có một

cơ sở để ma trận của f là ma trận B có dạng chuẩn tắc Gioócđăng thì ta nói

A đưa được về dạng chuẩn tắc Gioócđăng và B được gọi là dạng chuẩn tắc Gioócđăng của A

a) Tập con w = {ả e V / (f - k0 id)p(ã) = 0 , với một p nào đó} là một không gian con của v,ybất biến và xyclíc đối vói f

b) ỉ — k0.id là một tự/đồng cấu lũy linh của w, ở đây id là đồng cấu đồng nhất và dimW Ỷ m

440 Chứng minh rằng nâu đa thức đặc trưng của một ma trận vuông cấp

n có n nghiệm thực

chuẩn tắc Gioócđăn (kể cả số bội) thì ma trận ấy đưa được vê dạng

441 Đưa các ma trận sau về dạng chuẩn tắc Gioócđăng

Chương 6

D Ạ N G S O N G T U Y Ê N T Í N H

D Ạ N G T O À N P H Ư Ơ N G

§1 DẠNG TUYÊN TÍNH VÀ DẠNG SONG TUYÊN TÍNH

Trong chương này chúng ta chỉ xét các không gian vectd trên trường

số thực R

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa Giả sửv là Ẽ- không gian vectơ

1) Ảnh xạ f:V -> R được gọi là một dạng tuyến tính trên V nếu

3) Dạng song tuyến tinh (Ị) được gọi là đối xứng nếu

cp(á, P) = cp(P, ã), Vôi, PeV

165