ĐỊNH THỨC CẤP 4 & MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA ĐỊNH THỨC 1.. ij Trong thực hành, nếu được, chúng ta thường khai triển theo dòng hoặc cột sao cho dòng hoặc cột ấy có chứa nhiều số 0 n
Trang 1ĐỊNH THỨC CẤP 4 &
MỘT SỐ TÍNH CHẤT QUAN TRỌNG CỦA ĐỊNH THỨC
1 Định Thức Cấp 4
Xét ma trận vuông cấp 4 sau đây
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
A
Định thức của A được gọi là định thức cấp 4 và ký hiệu là
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44 det( )
Để tính định thức này, người ta thường dùng công thức khai triển theo dòng hoặc khai triển theo cột như sau
Khai triển theo dòng i :
Khai triển theo cột j :
( 1) j j j ( 1) j j j ( 1) j j j ( 1) j j j
trong đó D là định thức thu được từ ij A bằng cách xóa dòng i và xóa cột j (nghĩa là xóa dòng &
xóa cột chứa phần tử a ) Và để ý rằng ij D là định thức cấp 3 ij
Trong thực hành, nếu được, chúng ta thường khai triển theo dòng (hoặc cột) sao cho dòng (hoặc cột)
ấy có chứa nhiều số 0 nhất
Bài tập minh họa : Tính định thức
D
Hướng dẫn giải : Quan sát định thức đã cho, ta thấy cột 2 có chứa nhiều số 0 nhất Vì vậy, ta nên khai
triển theo cột 2
Khai triển theo cột 2, ta có :
Xóa dòng 1 và cột 2 của A Xóa dòng 4 và cột 2 của A
Trang 2Vậy : D ( 3) ( 12) ( 2) 9 18
2 Một Số Tính Chất Quan Trọng Của Định Thức
Tính chất 1 : Với ma trận A n n thì T
A A
Tính chất 2 : Nếu đổi chỗ hai dòng, ta có một định thức mới có giá trị ngược dấu với định thức cũ
Tính chất 3 : Nếu định thức có hai dòng giống nhau hoặc tỷ lệ nhau thì định thức có giá trị bằng 0
Tính chất 4 : Nếu nhân một số vào một dòng của định thức, ta có một định thức mới có giá trị bằng gấp lần định thức cũ
Tính chất 5 : Định thức của ma trận tam giác có giá trị bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính
Tính chất 6 : Nếu cộng thêm vào một dòng bởi k lần dòng khác, ta có một định thức mới có giá trị bằng định thức cũ
Tính chất 7 : Với các ma trận A n n và B n n thì A B A B
Chú ý :
Nhờ tính chất 1, nên các tính chất 2 đến tính chất 6 vẫn đúng nếu ta thay “dòng” bằng “cột"
Từ tính chất 4, ta có một hệ quả sau đây :
n n n
k A k A với k
Ví dụ 1 (tính chất 2) :
(đổi chỗ dòng 1 và dòng 3)
Ví dụ 2 (tính chất 3) :
2019 2020 2021
(vì dòng 1 và dòng 2 giống nhau)
1 2020 10
3 2022 30
(vì cột 1 và cột 3 tỷ lệ nhau)
Ví dụ 3 (tính chất 4) :
Ví dụ 4 (tính chất 4) : Với , , ta có
Trang 31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
Ví dụ 5 (hệ quả của tính chất 4) : Xét ma trận A3 3 có A Khi đó 2 3A ( 3)3 A 54
Ví dụ 6 (tính chất 5) :
1 2 3 4 24
Ví dụ 7 (tính chất 7) : Với A n n thì A A T A A T (do tính chất 7) Mà T
A A (do tính chất 1)
nên suy ra A A T A2
Một số bài tập minh họa :
Bài tập 1 : Tính
D
Ta có thể sử dụng tính chất 6 để tính định thức cấp bốn D bằng một định thức cấp 3 Cách thực hiện
như sau
Dùng tính chất 6 (dòng 2 trừ hai lần dòng 1, dòng 3 cộng bởi dòng 1, dòng 2 cộng bởi hai lần dòng 1) :
D
Khi đó, khai triển theo cột 1 thì ta có :
1 1
Bài tập 2 : Tính định thức
m D
m m
với m là tham số
Ta có thể sử dụng tính chất 6 để tính định thức cấp bốn D bằng một định thức cấp 3 Cách thực hiện
như sau
Dùng tính chất 6 (dòng 2 trừ dòng 1, dòng 3 trừ dòng 1, dòng 4 trừ dòng 1) :
Trang 41 1 1 0 1 0 0
D
Áp dụng tính chất 5 (định thức của ma trận tam giác), ta có :
3
( 1)
m
m m
m
( 1)
m
m m
Bài tập 3 : Tính định thức
1 1 1 2
D
b c c a a b
với , ,a b c
Ta có thể sử dụng một số tính chất của định thức để tính D Cách thực hiện như sau
Dùng tính chất 6 (cộng cột 2, cột 3 vào cột 1), ta có :
1 1 1
D
a b c c a a b
Ta thấy
1 1 1
a b c c a a b
có cột 1 tỷ lệ với cột 4, nên theo tính chất 3 thì :
1 1 0 1
a b c c a a b
Vậy : D với , ,0 a b c