chương 3 thống kê

Hãy tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể  với độ tin cậy 1 cho trước?. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy đó với độ tin cậy 95% Giải Gọi  là

Chương III

THỐNG KÊ

§1 CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU

1.1 Khái niệm cơ bản

 Tổng thể: là tập hợp có các phần tử là đối tượng ta nghiên cứu

 Mẫu: là tập hợp gồm n phần tử được chọn từ tổng thể để nghiên cứu vấn

đề của tổng thể, n được gọi là kích thước mẫu

 Bảng số liệu

Khi khảo sát đám đông X ta thu thập số liệu của mẫu cỡ n: (X1, X2,…, Xn) và thường lập bảng số liệu theo các dạng sau:

Dạng 1: Liệt kê dưới dạng: (x1, x2,…, xn)

trong đó mỗi số liệu có thể lặp lại nhiều lần

Dạng 2: Lập bảng có dạng:

xi x1 x2 … xk

ni n1 n2 … nk

trong đó x1 < x2 < < xk và mỗi số liệu xi xuất hiện ni lần

Dạng 3: Lập bảng có dạng:

xi x1 – x2 x2 – x3 … xk – xk+1

ni n1 n2 … nk

trong đó x1 < x2 < < xk < xk+1 và mỗi nửa khoảng [xi; xi+1) (trừ cái cuối

cùng là đoạn [xk; xk+1]) chứa ni số liệu

Khi xử lý số liệu ta sẽ đưa số liệu về Dạng 2

Có thể đưa Dạng 1 về Dạng 2 bằng cách thống kê lại

Dạng 3 được đưa về Dạng 2 bằng cách thay các khoảng xi-xi+1 bằng giá

trị trung bình của hai đầu mút 1

2

i i i

x x

x   

1.2 Các tham số đặc trưng của mẫu

a Tỷ lệ mẫu

Định nghĩa Cho mẫu có kích thước n, trong đó có m phần tử có tính chất A, khi

đó tỷ lệ mẫu là một số được ký hiệu và xác định như sau:

m f n



b Trung bình mẫu - Phương sai mẫu

Định nghĩa Trung bình mẫu của mẫu (X1, X2,…, Xn) là một số được xác định như sau x n1 1 x n2 2 x n k k

x

n

  



Phương sai mẫu là một số không âm được xác định như sau:

2 2 2

ˆs x x

Trong đó

2 x n1 1 x n2 2 x n k k

x

n

 Với phương sai mẫu, ta còn có các số đặc trưng liên quan như phương sai mẫu hiệu chỉnh kí hiệu là 2

s , độ lệch mẫu được kí hiệu là ˆs , độ lệch mẫu hiệu chỉnh kí

hiệu là s và được xác định như sau:

2 ˆ2

1

n

n





2

s s

Ví dụ Điều tra về năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng, ta

thu được bảng số liệu sau:

Năng suất

(tạ/hecta)

41 44 45 46 48 52 54

Số ha 10 20 30 15 10 10 5

a) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh

b) Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ trở lên là những thửa ruộng có năng suất cao Tính tỷ lệ thửa ruộng có năng suất cao

c) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh của những thửa ruộng có năng suất cao

§2 ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ 2.1 Bài toán ước lượng tỷ lệ tổng thể

Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p Xét một mẫu có kích

thước n và tính được tỷ lệ mẫu là f Hãy tìm khoảng ước lượng của tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 1 cho trước?

Cách giải

Gọi p là tỷ lệ tổng thể, từ mẫu đã cho ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 1

Bước 1 Với độ tin cậy 1, ta tìm số t từ công thức:

1  2 ( ) t

Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị t cần tìm

Bước 2 Tính độ chính xác  của ước lượng theo công thức:

(1 )

f f t

n



Bước 3 Kết luận: Khoảng ước lượng của p có dạng:

f     p f 

Ví dụ 1 Để điều tra nhu cầu tiêu dùng sản phẩm A của một khu dân cư, người ta

theo dõi 100 hộ gia đình của khu dân cư này thì thấy có 60 hộ có nhu cầu Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu về sản phẩm A ở khu dân

cư này?

Giải

Goi p là tỷ lệ hộ gia đình có nhu cầu về sản phẩm A ở khu dân cư, ta sẽ ước lượng

p với độ tin cậy 95%

0,6 100

m

f

n

Từ độ tin cậy 1  0,95 t 1,96

Độ chính xác của ước lượng (1 ) 1,96 0,6(1 0,6)

100

f f t

n



Vậy tỉ lệ hộ gia đình có nhu cầu sử dụng sản phẩm A ở khu dân cư này nằm trong khoảng 50,4% đến 69,6% với độ tin cậy 95%

Ví dụ 2 Điều tra về tỉ lệ phế phẩm của một kho hàng, người ta kiểm tra ngẫu

nhiên 100 sản phẩm của kho hàng đó thì thấy có 20 phế phẩm Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm của kho hàng đó?

HD (tương tự bài trên)

Ví dụ 3 Điều tra về số cá trong hồ, người ta bắt từ hồ lên 300 con đánh dấu rồi thả

lại vào hồ Sau đó người ta bắt lên 500 con thì thấy có 80 con bị đánh dấu Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng số cá có trong hồ?

Giải

Gọi n là số các trong hồ và p là tỉ lệ các bị đánh dấu trong hồ thì

300

p

N

Ta sẽ tìm khoảng ước lượng p với độ tin cậy 90%

Với độ tin cậy đã cho ta có: ( )t  0, 45  t 1, 65

Theo giả thiết của bài toán ta có một mẫu với n 500 và f 0,16 nên độ chính xác của ước lượng là

0,16.0,84

1, 65 0, 0271

500

Suy ra f   0,16 0, 0271 0,1329;   f   0,16 0, 0271 0,1871  

Do đó 0,1329 300 0,1871 300 300

0,1329 0,1871

N

Vậy với độ tin cậy 90%, ta có thể dự đoán số cá trong hồ từ 1600 đến 2257 con

2.2 Bài toán ước lượng trung bình tổng thể

Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể  Xét một mẫu có kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là ,x s Hãy tìm

khoảng ước lượng của trung bình tổng thể  với độ tin cậy 1 cho trước?

Cách giải

Bước 1 Với độ tin cậy 1, ta tìm số t theo một trong hai trường hợp sau:

TH1 Nếu n30 thì t được xác định theo công thức:

1  2 ( ) t Tra bảng phụ lục số 2, ta được giá trị t cần tìm

TH2 Nếu n30 thì t được xác định theo công thức:

( )

t t k

Trong đó k = n – 1 và  được suy ra từ độ tin cậy 1 Tra bảng phụ lục 5 ta

được t cần tìm

Bước 2 Tính độ chính xác  của ước lượng theo công thức:

s t n



 

Bước 3 Kết luận: Khoảng ước lượng của  có dạng:

x     x 

Ví dụ 1 Cân thử 100 sản phẩm của một nhà máy, ta có trọng lượng trung bình là

500g, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là s = 150g Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy đó với độ tin cậy 95%

Giải

Gọi  là trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy, ta sẽ ước lượng

 với độ tin cậy 95%

Ta có x 500, s150, n10030

Từ độ tin cậy 1  0,95 t 1,96

Độ chính xác của ước lượng là 1,96 150

100

s t n



   Vậy trọng lượng trung bình của một sản phẩm của nhà máy nằm trong khoảng (497,06g; 502,94g) với độ tin cậy 95%

Ví dụ 2 Để xác định trọng lượng trung bình của các bao bột mì bán ở một cửa

hàng Cân thử 25 bao bột mì của cửa hàng đó ta được trọng lượng trung bình là 49,2kg, độ lệch hiệu chỉnh của các bao bột mì là 0,5kg Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các bao bột mì của cửa hàng đó với độ tin cậy 95%

Giải

Gọi  là trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng, ta sẽ ước lượng

 với độ tin cậy 95%

Ta có x 49, 2, s0,5, n2530

Từ độ tin cậy 1  0,95 t t k( ) t0,05(24) 2,0639

Độ chính xác của ước lượng là 2,0639 0,5

25

s t n



   Vậy trọng lượng trung bình của một bao bột mì của cửa hàng nằm trong khoảng (48,9361kg; 49,4036kg) với độ tin cậy 95%

Ví dụ 3 Điều tra về năng suất lúa trên diện tích 100 hecta trồng lúa của một vùng,

ta thu được bảng số liệu sau:

Năng suất

(tạ/hecta)

41 44 45 46 48 52 54

Số ha 10 20 30 15 10 10 5

a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của vùng trên với độ tin cậy 99%? b) Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ trở lên là những thửa ruộng có năng suất cao Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng tỷ lệ thửa ruộng có năng suất cao? c) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của những thửa ruộng có năng suất cao với độ tin cậy 97%?

Ví dụ 4 Nghiên cứu về khối lượng mũ cao su thu được mỗi ngày trong năm đầu

khai thác, người ta theo dõi trên một số cây và có kết quả trong bảng sau

Khối lượng

mũ (g)

205 215 225 235 245 255 265

Số cây 2 8 14 30 25 12 9

a) Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu được mỗi ngày với độ tin cậy 99%

b) Người ta gọi những cây cao su có khối lượng mũ thu được mỗi ngày dưới 235g là cây loại II Hãy ước lượng khối lượng mũ cao su trung bình thu được mỗi ngày của những cây loại II với độ tin cậy 98%

2.3 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng tỷ lệ

Bài toán Cho mẫu có kích thước n và tỷ lệ mẫu f Hãy tìm độ tin cậy của phép

ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ chính xác  cho trước

Cách giải

(1 )

    

 Với độ chính xác  và mẫu đã cho, ta tính được t Tra bảng phụ lục 2 ta tìm được ( )t Từ đó ta suy ra độ tin cậy cuả ước lượng bằng công thức

1   2 ( ) t

2.4 Bài toán xác định độ tin cậy trong ước lượng trung bình

Bài toán Cho mẫu có kích thước n và độ lệch mẫu hiệu chinh s Hãy tìm độ

tin cậy của phép ước lượng trung bình tổng thể  với độ chính xác  cho trước

Cách giải

s n

   

Với độ chính xác  và mẫu đã cho, ta tính được t Từ đó ta tìm được độ tin cậy của phép ước lượng  theo một trong hai trường hợp sau

1 Nếu n 30 thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:

1   2 ( ) t

2 Nếu n 30 thì độ tin cậy của ước lượng được tính bằng công thức:

( 1)

t t n  Tra bảng phụ lục 5 ta được  từ đó suy ra 1 cần tìm

Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng tỷ lệ

Bài toán Cho mẫu có tỷ lệ mẫu f Hãy tìm kích thước mẫu (ở đây kích thước

mẫu khá lớn) để có phép ước lượng tỷ lệ tổng thể p với độ tin cậy 1 và độ chính xác  cho trước

Cách giải

Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng p với độ tin cậy 1 và độ chính xác 

Khi đó N được tính theo công thức:

2 2

(1 )

1

f f

N t





Trong đó t được suy từ độ tin cậy 1 bằng công thức: 1  2 ( ) t

Bài toán xác định kích thước mẫu trong ước lượng trung bình

Bài toán Cho mẫu có phương sai mẫu hiệu chỉnh là s2 Hãy tìm kích thước mẫu (ở đây kích thước mẫu khá lớn) để có phép ước lượng trung bình tổng thể

 với độ tin cậy 1 và độ chính xác  cho trước

Cách giải

Nếu gọi N là kich thước mẫu để có phép ước lượng  với độ tin cậy 1 và

độ chính xác  Khi đó N được tính theo công thức:

2 2

2 1

s

N t



Trong đó t được suy từ độ tin cậy 1 bằng công thức: 1  2 ( ) t

§3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 3.1 Bài toán kiểm định giả thiết về tỷ lệ tổng thể

Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến tỷ lệ tổng thể p

0

H p p H p:  p0

Xét một mẫu có kích thước n và tính được tỷ lệ mẫu là f Hãy kiểm định giả thiết

H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải

Bước 1 Tính tiêu chuẩn t bằng công thức:

0

0(1 0)

n

t f p

 



Bước 2 Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính được giá trị tới hạn t từ công thức:

1  2 ( ) t

Bước 3 Quy tắc quyết định:

1 Nếu tt thì ta đưa ra quyết định: Chấp nhận H

2 Nếu t t thì ta đưa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H

Chú ý Nếu giả thiết đối của H là H p:  p0 hay H p:  p0 thì giá trị tới hạn của kiểm định là t2

Ví dụ Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy trước đây là 5% Năm nay nhà máy áp

dụng một số biện pháp kĩ thuật mới nhằm làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy

Để đánh giá hiệu quả của biện pháp kĩ thuật mới, người ta kiểm tra ngẫu nhiên

1000 sản phẩm thì thấy có 30 phế phẩm

a) Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho biết các biện pháp kĩ thuật mới có thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không?

b) Nếu nhà máy cho rằng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện pháp kĩ thuật mới là 2% thì có thể chấp nhận hay không? Biết rằng mức ý nghĩa của kiểm định này là 2%?

Giải

Gọi p là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện pháp kĩ thuật mới

Để có thể kết luận các biện pháp kĩ thuật mới có thực sự làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không ta đặt giả thiết cho p là:

: 0, 05

H p ; H p:  0, 05

Ta có mẫu với kích thước n = 1000 và tỉ lệ mẫu 30 0, 03

1000

f   , nên tiêu chuẩn

kiểm định t là: 0, 03 0, 05 1000 2,9

0, 05(1 0, 05)

Với mức ý nghĩa   0, 05 nên ta có giá trị tới hạn t2 là:

2 ( t) 1 0,1   (t)  0, 45 t  1, 65

Do tt2 nên ta đưa ra quyết định: Bác bỏ giả thiết H, chấp nhận H

Kết luận Có cơ sở để nói rằng các biện pháp kĩ thuật mới đã thực sự làm giảm tỉ

lệ phế phẩm cho nhà máy

b) Để trả lời câu hỏi có thể chấp nhận tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện pháp kĩ thuật mới là 2% hay không ta đặt giả thiết cho p là:

: 0, 02

H p ; H p:  0, 02 Với mẫu đã cho ta tính được tiêu chuẩn kiểm định t là:

1000

0, 03 0, 02 2, 26

0, 02(1 0, 02)

 Với mức ý nghĩa   0, 05 ta có giá trị tới hạn t là:

2 ( ) 1 0, 02 t   ( )t  0, 49  t 2,33

Do tt nên ta đưa ra quyết định: Chấp nhận giả thiết H

Kết luận Phát biểu của nhà máy cho rằng tỉ lệ phế phẩm của nhà máy sau khi áp dụng các biện pháp kĩ thuật mới là 2% có thể chấp nhận được

2.2 Bài toán kiểm định giả thiết về trung bình tổng thể

Bài toán Trên tổng thể ta quan tâm đến trung bình tổng thể 

0

H   H:  0 Xét một mẫu có kích thước n và tính được trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh là ,x s Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải

Bước 1 Tính tiêu chuẩn t bằng công thức:

n

t x

s



 

Bước 2 Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính được giá trị tới hạn t theo một trong hai trường hợp sau:

TH1 Nếu n30 thì t được xác định theo công thức:

1  2 ( ) t

TH2 Nếu n30 thì t được xác định theo công thức:

( )

t t k

Trong đó k = n – 1

Bước 3 Quy tắc quyết định:

1 Nếu tt thì ta đưa ra quyết định: Chấp nhận H

2 Nếu tt thì ta đưa ra quyết định: Bác bỏ H, chấp nhận H

Chú ý Nếu giả thiết đối của H là H:  0 hay H:  0 thì giá trị tới hạn của kiểm định là t2

Ví dụ 1 Một công ty cho rằng sản phẩm A của họ chiếm được 50% thị phần sử

dụng sản phẩm A tại địa phương B Một cuộc điều tra ngẫu nhiên trên 500 người tại địa phương B cho thấy có 225 người sử dụng sản phẩm A Hãy cho nhận xét về nhận định của công ty đó với mức ý nghĩa 5%?

Ví dụ 2 Trọng lượng của sản phẩm A theo quy định là 6kg Sau khi sản xuất,

người ta cân thử 121 sản phẩm trong số sản phẩm sản xuất thì thấy trọng lượng trung bình là 5,975kg và độ lệch chuẩn là 0,5kg Với mức ý nghĩa 5% thì tình hình sản xuất sản phẩm A có bình thường không?

Ví dụ 3 (CHKT2000) Trong kho để rất nhiều sản phẩm của xí nghiệp A Lấy

ngẫu nhiên 100 sản phẩm đem cân được kết quả sau:

Trọng lượng (g) Số SP

a) Giả sử sau đợt kiểm tra, người ta áp dụng một cải tiến làm cho trọng lượng trung bình của sản phẩm là 1000g Cho kết luận về hiệu quả cải tiến với mức ý nghĩa 6%

b) Các sản phẩm có trọng lượng trên 1050g là sản phẩm loại một Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một với độ tin cậy 98%

c) Nếu muốn ước lượng tỷ lệ sản phẩm loại một với độ tin cậy 80% và độ chính xác 3% thì cần điều tra thêm bao nhiêu sản phẩm nửa ?

d) Giả sử trong kho có để lẩn 1000 sản phẩm của xí nghiệp B và trong 100 sản phẩm lấy ra từ kho có 29 sản phẩm của xí nghiệp B Hãy ước lượng số sản phẩm của xí nghiệp A trong kho với độ tin cậy 82%

Giải

a) Gọi  là trọng lượng trung bình của sản phẩm trước khi cải tiến

: 1000

H  ; H:1000

Ta có: n = 100, x  980, s = 79,3g,  0, 06 nên ta tính được

2

2,56 1,56

t t   , suy ra bác bỏ H

Kết luận: Cải tiến có tác dụng làm tăng trọng lượng của sản phẩm

b) Gọi 1 là trọng lượng trung bình của sản phẩm loại một

Ta có: n1 = 20, x1 1100, s1 = 25,6495, 1 1  0,98 nên 114,5622

Suy ra: 1 (1085, 4378;1114,5622)

c) f 0, 2, 12 0,80, 2  0, 03 suy ra n2 = 292

KL: Cần điều tra thêm 192 sản phẩm nữa

d) Gọi N là số sản phẩm có trong kho và p là tỷ lệ sản phẩm của xí nghiệp B trong kho thì p 1000

N

 Ta sẽ ước lượng p với độ tin cậy 1  0,82

Ta có: n = 100, f = 0,29, suy ra   0, 0608

Do đó: 0, 2292 p 1000 0,3508 2851 N 4364

N

KL: Số sản phẩm của xí nghiệp A trong kho trong khoảng từ 1851 đến 3364 sản phẩm

Vi dụ (ĐHKT2005) Khảo sát về thu nhập (triệu đồng/năm) của một số người ở

một công ty, người ta thu được bảng số liệu sau:

Thu nhập 8-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-24 24-30

a) Những người có mức thu nhập trên 20 triệu đồng/năm là những người có thu nhập cao Hãy ước lượng số người có thu nhập cao ở công ty này với độ tin cậy 98% biết tổng số người làm việc ở công ty là 2000 người

b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người là 1,3 triệu đồng/tháng thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 3%

c) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng thu nhập trung bình của một người

ở công ty với độ chính xác 600.000 đồng/năm thì độ tin cậy của ước lượng này là bao nhiêu ?