Các phương pháp toán kinh tế phần 1

Hạng của hệ véc tơ Định nghĩa: số lượng các véc tơ tronghệ con độc lập tuyến tính cực đại củạ một hệ véc tơ, được gọi là hạng của hệ véc tơ ấy.. Định nghĩa 1 Tập hợp tất cả các véctơ n c

ĐẶNG VÀN THOAN

TOÁN KINH TẾ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

ĐẶNG VÀN THOAN

CÁC PHƯƠNG PHÁP TORN KINH TẾ

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 1998

thêm trong "giáo trình bài tập các phương pháp toán kinh tế" se xuất bản trong thời gian gàn đây.

Đối tượng phục vụ chính của giáo trình là sinh viên hệ đào tạo chính quy của Trường Đại học Thương mại, song nó vẫn có thể có ích cho những ai muốn tìm hiểu và vận dụng các phương pháp toán kinh tế trong nghiên cứu và hoạt động thực tiễn trong lĩnh vực quản

lý và kinh doanh.

Trong quá trình biên soạn, tác giả đã nhận được những ý kiên đóng góp quý báu của các đòng nghiệp ở bộ môn Toán Trường Đại học Thương mại Tác già cũng nhận được những góp ý và những gợi ý để giáo trình có chất lượng tốt hơn của PGS - Tiến sĩ Nguyễn Xuân Tấn (Viện toán học) và của PTS Nguyễn Xuân Viên (Học viện kỹ thuật quân sự) Tác giả chán thành cảm ơn tất cả những đóng góp chân tình dó Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót trong nội dung và cách diễn giải ở các chương, mục Tác giả mong nhận dược những ý kiến nhận xét của bạn đọc,

để tiếp tục hoàn thiện nội dung giáo trình trong những Tân xuất bản sau.

Hà Nội, tháng năm 1998

Tác gia

Ví dụ: là một véc tơ cột hai chiều, [-3, 5, -1, -4] là

một véctơ hàng bôn chiều

Các véc tợ mà sau này chúng ta thường nói tới, là các véc tơcột Để chỉ các véc tơ hàng, ta dùng chỉ số T (chuyển

vị) ghi ở góc trên bên phải, chẳng hạn AT = [-5, 4, 2, 6].Hai véc tơ n chiều X= [xx, x2, ,rXn]T vàY= [yx, y2, yn]Tđược gọi là bằng nhau nếu các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau, tức là

- Một véc tơ mà tất cả các thành phần của nó đều bằng

0, ta gọi là véc tơ không, ký hiệu 0T = [0, 0, , 0],

1.2 CÁC PHÉP TÍNH VÉC Tơ

1 Phép nhân véc tơ với một số thực

Ta gọi tích của một véc tơ n chiều A vởi một số thực

k là một véc tơ n chiều, ký hiệu là kA, mà các thành phầncủa nó là tích của sô k với các thành phần ứng của véc

tơ A Như vậy:

k.A = [kax, ka2, , kan]T

Nếu ta nhân véc tơ A với -1 ta nhận được véc tơ -A, làmột véc tơ mà toạ độ của nó sai khác về dấu so với toạ

độ của A Véc tơ -A gọi là véc tơ đối của véc tơ A

2 Tổng của hai véc tơ

Tổng của hai véc tơ n chiều AT = [ab a2, , an] và BT

= [bj, b2, bn] là một véc tơ n chiều, ký hiệu AT + BT

mà các thành phần của nó là tổng của các thành phầntương ứng của AT và BT Như vậy

AT + BT = [ai + b1( a2 + b2, , an + bn]

Chúng ta định nghĩa hiệu của hai véc tơ A và B như

là tổng của véc tơ A và véc tơ -B Như vậy

(t + k)A = tA + kA; k(A + B) = kA + kB

Vởi mỗi véc tơ A = [a1; a2, , an] đều tồn tại một véc

tơ đối -A = [-ax, -a2, , -an] để cho

A + (-A) = 0

3 Tích vô hướng của hai véc tơ

Ta gọi tích vô hướng của hai vềctơ n chiều X và Y làmột số thực, được xác định bỏi tổng các tích của các thànhphần tương ứng của X và Y, ký hiệu là (X,Y) hay X.Y

Như vậy nếu X = [xx, x2, , xn]T và Y = [yx, y2, , yn]Tthì (X,Y) = ỈVi

1 Tổ hợp tuyếi* tính của các véc tơ

Cho.m véc tơ n chiều Ax, A2, , Am khi đó véc tơ

A = kxAx +k2A2+ + kjjAnVởi kx, k2, , km là các sô thực, được gọi là tổ hợp tuyến

tính của m véc tơ đã cho hay A biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ Ax, A2, ,Am

Ví dụ- Cho Ax = [-2, 1, 0], A2 = [1, 3, 2], A3 = [4, -1, 1]

thì A = 2AX + 5A2 - 3Ag = [-11, 20, 7] là một tổ hợp tuyêh

tính của Ax, A2 và A3

- Tổ hợp tuyến tính được gọi là không âm nếu kj > 0

3 Điều kiện cần và đủ để hệ véc tơ Ax, A2, Aja phụ

thuộc tuyến tính là có ít nhất một véc tơ của hệ biểu diễn

tuyến tính qua các véc tơ còn lại

Thật vậy, nếu các véc tơ Ax, A2, , Anj phụ thuộc tuyến

tính thì hệ thức (1.1) xẩy ra với ít nhất một hệ số khác không, chẳng hạn kj * 0, khi‘đó từ (1.1) ta có

4 = - ^A!-^A2 -••• "k^-i" 1(^ + 1

tức là A¿ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại

Ngược lại nếu ít nhất một véc tơ của hệ, chẳng

hạn Ax biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại, nghĩa là:

Điều kiện cần và đủ để một hệ véc tơ độc lập tuyến

tính là bất kỳ véc tơ nào của hệ cũng không thể biểu diễn

tuyến tính qua những véc tơ còn lại

Từ định lý trên, ta dễ thấy nếu một trong các véc tơ

Ax, A2, Am là véc tơ không thì hệ là phụ thuộc tuyến

tính Chẳng hạn Ax = thì Ax có thể biểu diễn tuyến tính

qua các véc tơ còn lại

Ax = O.A2 + O.A3 + + O.Ajn

1.4 HẠNG CỦA HỆ VÉC Tơ

1 Định nghĩa hệ con độc lập tuyến tích cực đại

Cho một hệ véc tơ (có thể gồm một số hữu hạn hay vô hạn các véc tơ) Giả sử, hệ này có một hệ con gồm h véc

tơ độc lập tuyến tính sao cho nếu thêm vào đó bất kỳ một

véc tơ nào của hệ đã cho, ta đều được hệ (h + 1) véc tơphụ thuộc tuyến tính Khi đó ta nói hệ h véc tơ ấy là hệcon độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ đã cho

Ví dụ: Xét hệ gồm ba véc tơ: AT = [1, -2, 3],

BT = [4, 2, -1] và CT = [6, -2, 51

Ta thấy AT và BT là hai véc tơ độc lập tuyến tính, nhưnạ

c có thê biểu diễn tuyến tính qua hai véc tơ A và B : c

= 2A + BT, nên hệ con độc lập tụ^ến tính cực đại của hệ

ba véc tơ đã cho gồm hai véc tơ AT và BT

- Đối với một hệ véc tơ đã cho, mọi hệ con độc lập tuyếntính cực đại của nó có sô lượng véc tơ bằng nhau

2 Hạng của hệ véc tơ

Định nghĩa: số lượng các véc tơ tronghệ con độc lập tuyến

tính cực đại củạ một hệ véc tơ, được gọi là hạng của hệ

véc tơ ấy

Định lý: Nếu hạng của một hệ véc tơ bằng h thì mỗi

véc tơ của hệ đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến

tính của h véc tơ độc lập tuyến tính bất kỳ của hệ và cách biểu diễn đó là duy nhất

Chứng minh:

Phần một của định lý là hiển nhiên Thật vậy vì hệ véc

tơ có hạng bằng h, nên ta có thể chọn ra h véc tơ độc lập

tuyến tính A1; A2, , Ajj

Giả sử một véc tơ B khác của hệ không cóthể biểu diễn

tuyến tính qua h véc tơ trên Điều này có nghĩa (h + 1)véc tơ A1; A2, , Ah, B lập thành hệ con độc lập tuyến

tính - mâu thuẫn với giả thiết hạng của hệ véc tơ bằng

h, nên B phải là tổhợp tuyếntính của các véc tơA1( A2, ,

Ah Ta chứng minh tính duy nhất của biểu diễn Giả sử

B có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của A1;

A2, , Ah theo hai cách, tức là:

B = (XjAi + a2A2 + + ttjjAjj

B = ßjAi + ß2A2 + + ßhAh

Trừ hai phương trình cho nhau ta được

0 = (et} - ßi)Ar + ( a2 - ß2)A2 + + _ ßh)Ah

Vì A1; A2, Ah độc lập tuyến tính nên hệ thức trên chỉ xẩy ra khi tất cả các hệ số đều bằng 0, tức là:

«i = ßi> Vi = 1, 2, , hNhư vậy cách biểu diễn của B là duy nhất Từ định lýtrên ta có thể suy ra hai hệ quả quan trọng, chứng minhchúng nhường cho độc giả:

Hệ quả 1.

Ta loại ra từ hệ véc tơ đã cho một véc tơ là tổ hợptuyến tính của các véc tơ còn lại thì hạng của hệ khôngthay đổi

Hệ quả 2'.

Ta đưa vào hệ véc tơ đã cho một véc tơ là tổ hợp tuyến

tính của các véc tơ của hệ thì hạng của hệ không thay đổi

1.5 CÁC KHÔNG GIAN VÉC Tơ

1 Định nghĩa 1

Tập hợp tất cả các véctơ n chiều vởi hai phép tính cộng

và nhân véc tơ với một số đã nêu 1.2, được gọi là mộtkhông gian véc tơ n chiều trên trưòng số thực (còn gọi là

không gian tuyến tính n chiều), ký hiệu Rn Như vậy, nếu

X G Rn, Y G Rn và a là một số thực thì:

X + Y Rn, aX G RnKhông gian véc tơ Rn có hạng hằng bằng n:

Từ hình học giải tích chúng ta biết rằng: Khoảng cách

từ điểm A = [a17 a2J đến gốc toạ độ được cho bỏi biểu thức

+ a2 Sau khi đưa vào khái niệm tích vô hưởng thì

biểu thức trên có thể viết dưới dạng >/(A,A) Chúng tagọi số này là chuẩn (hay độ dài) của véc tơ A và ký hiệu

là |A|

Khoảng cách giữa hai điểm A = [ab 2] và B = [bp b2]

ký hiệu là p(A, B) được cho bởi biểu thức:

^(ai - bi)2 + (a2 - b2)2

Khoảng cách đó có thể viết dưới dạng tích vô hướng

p(A, B) = V(A-B,A-B)Khái niệm nêu trên về khoảng cách có các tính chất sau:

Nếu chúng ta đưa vào không gian véc tơ khái niệm độdài của véc tơ theo nghĩa trên, thì ta sẽ có khái niệm chặt

hơn - không gian ơ-cờ-lít Tổng quát chúngtađưavàokhônggian véc tơ Rn khái niệm chuẩn bằng cách định nghĩa tích

vô hướng và ta gọi |AI = >/(A,A) là chuẩn (hay độ dài)của véc tơ A và |A - B I gọi là khoảng cách giữa véc tơ

A và B

2 Định nghĩa

Nếu trong không gian véc tơ n chiều ta định nghĩa tích

vô hướng thì sẽ nhận được không gian ơ-cờ-lít n chiều, ký hiệu là En

Dễ dàng thấy rằng tập hợp tất cả các véc tơ n chiều

đã được định nghĩa ỏ 1.1 tạo nên một không gian ơ-cờ-lít

phần còn lại bằng 0 Các véc tơ này lập thành hệ n véc

tơ độc lập tuyến tính (đọc giả tự chúng minh) Một véc tơ

n chiều bất kỳ đều có thể biểu diễn tuyến tính qua n véc

tơ đơn vị vì

*1 a2

- a]Ex + a2E2 + + anEn

Vì khi thêm vào các véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì

hạng của hệ không thay đổi, từ đó suy ra hệ tất cả các

véc tơ n chiều có hạngbằng n và như vậy khônggian tươngứng là n chiều

Việc xác định cơ sỏ trong không gian ơ-cờ-lít ứng với

việc thiết lập hệ toạ độ trực giao (tức là thiết lập các trục

toạ độ và các độ dài đơn vị)

Việc chuyển từ một cơ sở này sang một cơ sở khác ứng

với việc thay đổi hệ toạ độ ở phần sau (mục 1.13), chúng

ta sẽ nghiên cứu việc xác định toạ độ của véc tơ trong một

cơ sở bất kỳ

Nếu chúng ta chọn trong En một hệ véc tơ xác định vàlập tất cả các tổ hợp tuyến tính của chúng thì chúng ta

cũng nhận được một không gian ơ cờ lít Điều này là hiểnnhiên vì các véc tơ tạo nên như vậy là đóng đối với phép cộng và phép nhân véc tơ với một số, tức là tổng của hai

tổ hợp tuyến tính hoặc bội bất kỳ của tổ hợp tuyến tínhcũng là những tổ hợp tuyến tính của các véc tơ này Cácđòi hổi khác của không gian ơ cờ lít cũng thoả mãn yìchúng là các phần tử của En

Một không gian được tạo nên như vậy là một bộ phậncủa En và gọi là không gian con của En

Ví dụ về không gian con: Tập hợp tất cả các tổ hợp

tuyến tính của hai véc tơ đơn vị n chiều tạo nên không

gian con của En Mỗi mặt phẳng là một không gian con 2 chiều của không gian 3 chiều,

1.6 MA TRẬN

1 Định nghĩa 1

- Ta gọị một bảng gồm m.n số thực, được sắp xếp thành

m hàng và n cột la một ma trận cấp m.n, ký hiệu là AmnMỗi sô nằm trong cấu thành của ma trận gọi là một

phần tử của ma trận Phần tử nằm ố hàng i cột j của ma

trận A ký hiệu là aịj Như vậy ma trận A cấp m.n có dạng:

all a12 • ■ • aln a21 a22 • • • a2n

aml am2 ■ ■ • amn _

Thường để chọn gọn khi viết ma trận ta chỉ cần ghi

phần tử tổng quát và cấp của nó:

A - [a ij] m n

Cần nhấn mạnh rằng ma trận là một bảng được sắp

xếp của các phần tử, còn bản thân m.n số thực chưa xác định một ma trận Ma trận được xác định khi biết thứ tựcủa các phần tử trong cấc hàng và các cột Từ đây ta suy

ra khái niệm bằng nhau của ma trận

2 Định nghĩa 2:

Hai ma trận A và B bằng nhaú (ký hiệu A = B) khi vàchỉ khi hai-ma trận cùng cấp và các phần tử tương ứngcủa chúng bằng nhau

aln a2n ■ • • amn

Một Số dạng đặc biệt của ma trận đóng vai trò quan

trọng trong các ứng dụng của ma trận:

Ma trận A có Số hàng bằng Số cột, tức là m = n thì

ta gọi A là ma trận vuông cấp n

- Ma trận vuông mà tất cả các phần tử nằmngoài đưòng chéo chính đều bằng 0, tức là ma trận có dạng:

an 0 0

0 a22 0

0 0 ann

Gọi là ma trận đưòng chéo

- Ma trận chéo mà tất cả các phần tử nằm trên đưòng

chéo chính đều bằng một, gọi là ma trận đơn vị, thường

ký hiệu là I (hay E) Đôi khi ta dùng chỉ số để chỉ cấp

Khi giải cầc phương trình tuyến tính, các ma trận tamgiác có vai trò quan trọng Đó là các ma trận vuông màtất cả các phần tử nằm phía trên đường chéo chính hoặc phía dưới nó đều bằng không

Chẳng hạn ma trận tam giác (dưới) có dạng:

\all 0

a21 a22 a31 a32 a41 a42

Việc tách (phân chia) ma trận đã cho thành ma trận

khối có thể tiên hành theo nhiều cách khác nhau tuỳ thuộc

vào mục đích của việc sử dụng Chẳng hạn đối với ma trận

A cho dưới đây, ta có một trong các cách tách như sau:

all a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45

ở đây A được tách thành bốn ma trận khối

Nêu chúng ta ký hiệu các ma trận khối bởi An, A12, A21,A22 thì ma trận A có thể viết dưới dạng:

A _ An A12

Aỉi a22

Việc tách ma trận thành các ma trận khối là rất thuận

lợi vì với một số phép tính về mặt hình thức ta xem chúng

như các phần tử của ma trận Đặc biệt mỗi hàng của ma

trận A =1 aịj m n tacoinhư mộtmatrậnhàng(véc tơ hàng)

và toàn bộ ma trận A có thể xem như tạo nên từ các véc tơ

hàng, tức l'à:

ở đây a = [a^, i2, ,ain] , (i = 1,2, ,m)

Tương tự ma trận A có thể xem như tạo nên bỏi các véc

tơ cột, tức là:

A = [A1; A2, An ]

aij a2j

amj

Tương tự với việc tách ma trận thành các ma trận conbởi các đường nằm ngang và thẳng đứng, ta cũng có thể

gộp các ma trận bằng cáchgắn một số ma trận vởi số lượng

thích hợp các hàngvà các cột trong một ma trận duy nhất

1.8 CÁC PHÉP TÍNH MA TRẬN

1 Tổng (hiệu) của hai ma trận

Tổng (hiệu) của hai ma trận A và B cùng cấp m.n là

ma trận cấp m.n mà các phần tử của nó là tổng (hiệu) các phẩn tử tương ứng của A và B tức là:

all a12 • • aln b11 b12 bln

a21 a22 • • ■ a2n + 'D21 b22 • • ■ b2n

aml am2 ■ • amn _ aml bm2 • • • bmn

a11 ± bn a12 ± t>!2 • • • aln i bln

a21± ^21 a22 ± ^22 • • • a2n ± ^2n

aml — bjni am2 ± ^m2 • • amn ± ^mn

2 Tích của ma trận với một hằng sô

Ta gọi tích của ma trận A cấp m.n với một hằng số k

là ma trận cấp m.n, ký hiệu là kA mà các phần tử của

nó là các phần tử tương ứng của A được nhân lên với k.

Như vậy:

au a12 • • • aln k.an k.a12 • k.aln

k a21 a22 • • • a2n

k.a21 k.a22 • k.a2n

_ aml am2 • • • amn _ k-a«! k-am2 • • k-a^

tích giữa các phần tử nằm à hàng i của ma trận A vởi cácphần tử tương ứng nằm ở cột của ma trận B Nói cách

khác phần tử Cjj của tích A.B là tích vô hướng giữa hàng

i của ma trận A và cột j của ma trận B Như vậy nếu:

aii bii X aii bi2 • • • Zj aii bip

ỉ

a2i bji

ẳ a2j bi2 • ẳ a2i bịp

ỉ

ami bịi ỉ ami bi2 • • • ỉ ami bịp

Đối vối phép nhân ma trận vẫn có tính chất kết hợp

và phân bố khi các má trận tham gia phép tính thoả mãn

điều kiện nhân được:

Nếu A cấp m.n, B cấp n.p, c cấp p.q thì

A.(B.C) = (A.B) cNếu A cấp m.n, B cấp m.n, c cấp n.p thì

(A + B) c = A.c + B.c

Phép nhân ma trận không có tính chất giao hoán, tức

là nói chung không xẩy ra đảng thức:

A.B = B.A

Như vậy trongphép nhân thứ tự của các nhân tử không

được thay đổi cho nhau vì theo định nghĩa của phép nhân,

ma trận A nhân được với B chưa hẳn B đã nhân được vởiA; ngay trong trường hợp nhân được thì kết quả nói chung

khác nhau

Ngoài ra còn một trường hợp đặc biệt là với một ma trận

A cấp m.n bao giờ cũng tồn tại hai ma trận đơnvị thích hợpsao cho

EmA = A = A.En, tuy nhiên đây không phải là tính chất

giao hoán vì hai ma trận Em và En không cùng cấp.Chúng ta cần phân biệt nhân bên phải hay nhân bêntrái đối vởi phép nhân ma trận

2 6

4 0

Ta tính A.B theo hệ thức

Au A^ Bu B]2 Au Bu + A]2 Ba Au Bj2 + A]2 Ba

là những ma

Vì A12 là ma trận đơn vị và A22

trận không, nên ta nhận được:

Việc tách hai ma trận phải được thực hiện sao cho việc

nhân các ma trận con tương ứng là thực hiện được Như

vậy việc tách các cột của ma trận bên trái tương ứng vớicách tách các hàng của ma trận bên phải

Ví dụ 1.5. Một xí nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm từ bốn loại nguyên liệu Định mức tiêu thụ nguyên liệu đốivởi từng loại sản phẩm được cho ở bảng 1.1

Yêu cầu tiêu thụ tổng cộng đối với từng loại nguyên liệu được cho bồi tích

504015

25

802050

117504750

Nếu ta biết giá của từng loại nguyên liệu trong ví dụ

trên, chẳng hạn là 20, 10, 50 và 40 nghìn đồng/ kg thì

chi phí nguyên liệu đối với một đơn vị sản phẩm mỗi loại

được tính như sau:

1.9 HẠNG CỨA MA TRÄN

ở mục 1.4 ta đã đưa ra khái niệm hạng của một hệ

véc tơ là số cực đại các véc tơ độc lập tuyến tính có thể

chọn trong hệ đã cho Vì các hàng của ma trận hoặc các

cột của ma trận tạo nên một hệ véc tơ, vì vậy ta có thể

nói đến hạng của hệ véc tơ hàng và hạng của hệ véc tơ

cột của một ma trận Chúng ta sẽ chứng minh hạng của

một hệ véc tơ hàng và hạng của hệ véc tơ cột của một matrận là bằng nhau và để cho đơn giản ta nói đó là hạng của ma trận

Giả sử ma trận A cấp m.n có hạng của hệ véc tơ cột

bằng s và hạng của hệ véc tơ hàng bằng r Khi đó ta có

thể chọn trong ma trận A s cột độc lập tuyến tính Không

giảm tính tổng quát ta giả sử s cột đầu tiên của ma trận

A lập thành hệ độc lập tuyến tính Từ s cột này ta lập

ma trận

Ai = [Aị, A2, As1 cấp m.sKhi đó tất cả* các cột của ma trận A đều có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của s cột này Một cách

tổng quát có thể viết

Aj = Aibj, (j= 1,2, ,n)

ở đây bj là véc tơ cột s chiều:

Việc phân tích ma trận A thành tích AịAq chứng tỏ mỗi

hàng của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp

tuyến tính của s hàng của ma trận Ạ2- Vì theo giả thiết

trong ma trận A có thể chọn tối đa r hàng độc lập tuyến tính nên

r < sToàn bộ lập luận trên đuỢc lặp lại Nếu chúng ta biểu

diễn mỗi hàng của ma trận A dưới dạng tổ hợp tuyến

tính của r hàng độc lập tuyến tính cực đại, chúng ta sẽ

đi tới kết luận

s < r

Từ đó suy ra rằng r = s

Nghĩa là hạng của hệ véc tơ hàng và hạng của hệ véc

tơ cột của ma trận A là bằng nhau Và ta gọi đó là hạng

của ma trận A

Vậy: Hạng của ma trận A bằng sô cực đại các véc tơhàng độc lập tuyến tính hay số cực đại các véc tơ cột độc

lập tuyến tính trong ma trận A

Từ chứng minh trên ta suy ra rằng: hạng của ma trận

cấp m.n nhỏ hơn hoặc bàng số nhỏ nhất trong hai sô m

và n

Một ma trận vuông cấp n có hạng bằng n (tức là bằng

số hàng hoặc sô cột) được gọi là không suy biến

Nếu hạng của ma trận vuông cấp n nhỏ hơn n, ta gọima- trận đó là suy biến

1.10 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông không suy biến

Má trận nghịch đảo của ma trận A là một ma trận màtích của nó với ma trận A cho ta ma trận đơn vị

Do tính không giao hoán của phép nhân ma trận nên

một câu hỏi được đặt ra liệu có tồn tại hai ma trận nghịchđảo của ma trận A, trong đó X là ma trận nghịch đảo phải xác định bởi phương trình

AX = E (1)

và Y là ma trận nghịch đảo trái xác định từ phương trình

YA = E (2)

Dễ dàng chứng minh được hai ma trận nghịch đảo tiên

là bằng nhau Ta nhân phương trình thứ nhất về bên trái

với ma trận Y ta nhận được:

YAX = YE = YTươngtự nhân phương trình (2) về bên phải với ma trận

X ta nhận được

từ đó suy ra

YAX = EX = X

Y = X ■

tức là đổỉ với ma trận A tồn tại chỉ một ma trận nghịch

đảo, chúng ta sẽ ký hiệu là A’1 Đối với cặp ma trận A và

A’ phép nhân có tính chất giao hoán

là một ma trận đường chéo cùng cấp, các phần tử trên đưòng

chéo bằng nghịch đảo của các 'phần tương ứng trên đường chéo của ma trận ban đầu, tức là nếu’

1.11 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình với n ẩn có dạng:

au xx + a12x2 + • • + aln Xn - bl

a21 X1 + a22 x2 + • • + a2n Xn = b2

aml X1 + am2 x2 + ■ + amn xn - bm

véc tơ ẩn số của hệ phương trình ,

- Một hệ có một nghiệm duy nhất gọi là hệ xác định.

- Một hệ có hơn một nghiệm (sẽ có vô số nghiệm) gọi

là hệ vô định

- Một hệ không có nghiệm gọi là hệ vô nghiệm.

- Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương với nhau nếu mọi nghiệm của hệ này cũng

là nghiệm của hệ kia và ngược lại hoặc hai hệ đềukhông tương thích?

2 Các phép biên đổi sơ cấp trên hệ phương trình tuyến tính

Ba phép biến đổi dưới đây được gọi là các phép biến

đổi sơ cấp trên hệ thống phương trình tuyến tính:

a Đổi chỗ hai phương trình của hệ cho nhau

b Nhân hai vế của phương trình của hệ với cùng một

số khác không

c Cộng vào hai vế củà một phương trình hai vế tươngứng của một phương trình khác sau khi đã nhân

với một số

Ta dễ dàng có thể chứng minh được: Các phép biến đổi

sơ cấp biến hệ phương trình đã chò thành hệ phương trình

tương đương

Đối với một hệ phươữg trình tuyến tính ta quan tâmtới hai câu hqi sau:

1 Khi nào hệ có nghiệm và có bao nhiêu nghiệm?

2 Tìm nghiệm của hệ như thế nào?

Đầu tiên chúng ta nghiên cứu câu hỏi thứ hai: phươngpháp thực hành để giải hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp khử dần các ẩn:

Sử dụng phép biến đổi sơ cấp đối với hệ phương trình

đã cho, ta lần lượt loại ẩn Xi ra khỏi mọi phương trình

kểtừ phương trình thứ hai trâ đi nếu hệ số an khác không

Sau đó loại ẩn 2 ra khỏi mọi phương trình, trừ phương

trình thứ hai, nếu hệ số của x2 khác không Quá trình

tiếp tục chừng nào còn có thể Bằng cách như vậy, ta

chuyển hệ phương trình đã cho về hệ phương trình tương đương với nó Đối với hệ phương trình mới này, ta dễ dàng

có thể chỉ ra hệ vô nghiệm, hệ có một nghiệm duy nhất

hay hệ có vô số nghiệm tuỳ thuộc vào các trưòng hợp cụ

thể của hệ được xét

Trong tính toán thực hành, để thực hiện phương pháp

khử dần, ta chỉ cần viết ma trận mỏ rộng [A I b], sau đó thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các hàng của matrận biến đổi, sao cho các phần tử nằm ngoài đường chéo đều trỏ nên bằng 0

thứ ba ta được ma trận thứ ba ở ma trận thứ ba, ta lấy

hàng ba cộng vào hàng thứ nhất, lấy hàng thứ ba nhân

vởi -1 rồi cộng vào hàng thứ hai, chia hàng thứ ba cho 2,

ta nhận được ma trận thứ tư, ứng với hệ

= 5

= 4

= 2Như vậy hệ có một nghiệm duy nhất XT = (5, 4, 2)

Ví dụ 1.7. Giải hệ phương trình

xx + 3x2 + 4x3 = 252xx + 9x2 +14x3 = 74

X! + 6x2 + 10x3 = 36Lập ma trận mở rộng và thực hiện các phép biến đổi

sơ cấp trên các hàng của ma trận

p

Lây hàng một của ma trận đầu nhân với -2 rồi cộng

vào hàng hai, lấy hàng một nhân với -1 rồi cộng vào hàng

ba, ta được ma trận thứ hai Trong ma trận thứ hai, ta

lấy hàng hai nhân với -1 rồi cộng vào hàng một và ba,

sau đó chia hàng hai cho 3 ta được ma trận thứ ba, ứngvới hệ:

-2x3 = 1+ 2x3 = 8

0 = -13

Hệ này vô nghiệm, nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 1.8 Giải hệ phương trình

X! + 3x2 + 4x3 = 38

' 2xỵ + 9x2 + 14x3 = 74

xx + 6x2 + 10x3 = 36

Lập ma trận mỏ rộng và thực hiện các phép biến đổi

sơ cấp trên các hàng của ma trận như sau:

—

2 9 14 74 -> 0 3 6 -2 —> 0 12 -^3

1 6 10 36 0 3 6 -2-, 0 0 0 0

ở ma trận thứ nhất, ta nhân hàng thứ nhất với -2, với

-1 rồi cộng vào hàng thứ hai, thứ ba, ta nhận được ma

trận thứ hai ở ma trận thứ hai, ta lấy hàng hai nhân

với -1 rồi cộng vào hàng một và ba sau đó lấy hàng haichia cho 3, ta nhận được ma trận thứ ba, ứng với hệ

Từ các phương trình trên ta chuyển x4, x5 sang vế phải

làm ẩn tự do, chúng ta nhận được

xx = 5 + 2x4 - 10x5x2 = 4 - 2x4 + 4x5

x3 = 2 - x4 - 2x5gán cho x4, x5 các giá trị tuỳ ý, chúng ta sẽ nhận được vô

sô nghiệm của hệ

Nghiệm tổng quát của hệ:

XT = [5+2x4-10x5, 4-2x4+4x5, 2-x4-2x5; x4; X5J, Vx4, Vx5

Chú ý: Phương pháp khử dần các ẩn không nhất thiết

phải bắt đầu từ ẩn Xi và cũng không nhất thiết với ba ẩn

đầu tiên như các ví dự xét ỏ trên

Trong các ví dụ đã xét chúng ta thấy rằng đối vởi một

hệ phương trình tuyến tính có thể vô nghiệm, có thể có

một nghiệm duy nhất hoặc có thể có vô số nghiệm, ở phần

sau ta sẽ thấy trong chứng minh đối với một hệ phươngtrình tuyến tính tổng quát, cũng chỉ xẩy ra một trong ba

khả năng đã nói ở trên

Nếu kết quả cuối cùng của phương pháp khử dần sau

khi đã loặi đi các phương trình thừa nếu có, ta chuyển hệ

đã cho về hệ tương đương gồm h phương trình độc lập, (h

véctơ hàng tương ứng là độc lập tuyến tính), h < n Trong

hệ này có h ẩn (được gọi là các ẩn cơ sỏ) có thể biểu diễn qua (n - h) ẩn còn lại - gọi là các ẩn ngoài (hay phi) cơ

sở Dạng như vậy của một hệ phương trình tuyến tính được

gọi là dạng chính tắc của hệ Trong dạng này mỗi phươngtrình của hệ chứa một và chỉ một ẩn cơ sở Khi đã chuyển một hệ phương trình về dạng chính tắc thì xem như hệ

đã được giải Đối với các biến phi cơ sỏ ta có thể gán cho

chúng những giá trị tuỳ ý và từ đó ta xác định được cácgiá trị tương ứng của các biến cơ sỏ

Vì hệ có (n - h) biến có thể nhận giá trị tuỳ ý, nên tanói hệ phương trình tương ứng có (n - h) bậc tự do

- Nếu gán cho các biến phi cơ sỗ các giá trị bằng không,

ta sẽ nhận được một nghiệm của hệ Nghiệm này được gọi

là nghiệm cơ sỏ Trong nghiệm cơ sỏ không có quá h ẩn(số phương trình độc lập tuyến tính) nhậngiátrị khác không

và ít nhất (n - h) ẩn nhận giá trị không

Nói cách khác nếu trong hệ chính tắc, các số hạng ỏ vế phải đều khác không thì trong nghiệm cơ sở tương ứng cóđúng (n -h) ẩn nhận giá trị không và đúng h ẩn nhận giá

trị khác không (nghiệm không suy biến) Ngược lại nếu một haymột số sô hạng ở vếphải bằng không, thì trong nghiệm

cơ sở tương ứng sẽ có một hay một số ẩn cơ sở nhận giátrị bằng không, tức là sô ẩn với giá trị khác không sẽ nhỏ hơn h (nghiệm suy biến)

Một hệ phương trình có thể có nhiều nghiêm cơ sở Số nghiệm cơ sỏ bằng sô các cách có thể chuyển hệ vê dạng

chính tắc, vậy sô' các nghiệm cơ sở không vượt quá sô các cách chọn h ẩn từ n ẩn, tức là không vượt quá

1.12 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Ta viết hệ phương trình dưới dạng ma trận

hoặc gọn hơn

Rõ ràng việcgiải hệ phương trìnhtuyến tính tương đươngvới việc biểu diễn véctơ b dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véctơ hệ sô của các ẩn

Giả sử hạng của ma trận các hệ*sô' bằng h Chúng ta

gắn vào ma trận này cột hệ sô ở vê phải, ta sẽ nhận được

ma trận mở rộng A = [A I b] Khi thêm vào một cột hiển

nhiên hạng của ma trận không thể giảm

Hạng của ma trận mở rộng sẽ bằng hạng của ma trận

A nếu véctơ gắn thêm vào là tổ hợp tuyến tính của các

véctơ hệ sô, hoặc tăng lên một nếu véctơ gắn thêm vào không có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của

các véctơ hệ số Từ đây chúng ta trực tiếp suy ra định lý

về điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm nếu ma trận các

hệ sô và ma trận mỏ rộng có hạng bằng nhau Hệ vô nghiệm

nếu hạng của ma trận mở rộng lởn hơn hạng của ma trận

các hệ số.

Nếu hệ phương trình có nghiệm, câu hỏi đặt ra là có

bao nhiêu nghiêm Để trả lời câu hỏi này chúng ta giả sửrằng ma trận các hệ số A và ma trận mở rộng [A I b]

của hệ phương trình Ax = b có cùng hạng bằng h, và như

vậy hệ có nghiệm Bằng cách đánh số lại các ẩn để h cộtđầu tiên tạo nên hệ độc lập tuyến tính Vì theo giả thiếtthì tất cả các cột của ma trận A và véctơ â vế phải có thể

biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của h cột đầu tiên

của ma trận A một cách duy nhất, nên ta có thể viết:

A — [A1; A2, ,Ah].[e1, e2, eh, ejj +1, , e J (1.5)

b = [Aj, A2, ,Ah].C

hoặc gọn hơn

A = Ạj [Ih I D]