Bài giảng cơ lượng tử chương 1 các phương pháp toán nâng cao cho cơ lượng tử

Tổ hợp tuyến tínhe a e a e a Tổ hợp tuyến tính: của một tập hợp Z các vector : được ký hiệu là: số chiều không gian là số vector trong tập Z Một vector gọi là độc lập tuyến tính v

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO

   Ch ươ ng m t:  CÁC PH ộ ƯƠ NG PHÁP TOÁN 

NÂNG CAO CHO C  L Ơ ƯỢ NG T Ử

  Ch ươ ng hai: PH ƯƠ NG TRÌNH 

SCHRODINGER CHO CÁC NGUYÊN T   Ử

Đ N Gi N  Ơ Ả

   Ch ươ ng ba : NHI U LO N D NG – Suy Bi n Ễ Ạ Ừ ế

   Ch ươ ng b n: CÁC  NG D NG C A NHI U  ố Ứ Ụ Ủ Ễ

L0 N Ạ

        Ch ươ ng m t:  ộ CÁC PH ƯƠ NG PHÁP 

TOÁN NÂNG CAO  CHO C  L Ơ ƯỢ NG T Ử

1.    Ôn t p Đ i s  tuy n tính    ậ ạ ố ế

2.  Bi n đ i tuy n tính và  ế ổ ế Matrix bi n đ i   ế ổ

3.  Gi i thích khái quát v  tính th ng kê ả ề ố

4.  Nguyên lý b t đ nh ấ ị

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ NÂNG CAO

PhD D.H.Đẩu 5

1 Ôn tập: Đại số tuyến tính

1.1 Không gian vector: là một tập hợp các vector được

, ,

(

1 i

; ia a

a );

, c , b , a

3 2

1

3 2

1

e)i35(e

)4i

(e

)i2(

e)i2(e

4e

i

e)i5(e

ie

2:

PhD D.H.Đẩu 6

Tính kết hợp

Phép cộng có tính kết hợp:

Tồn tại một vector không (Null vector) thỏa hệ thức:

Mỗi vector khác không tồn tại một vector ngược :

Tính khử nhau:

0

) (

) (

3 2

1

3 2

1

e i 2 e

4 e

i

e ) i 2 ( e

4 e

i :

PhD D.H.Đẩu 7

Vector liên hiệp phức

• Là lấy liên hợp phức của các thành phần

tạo nên vector:

0 e

) 0 ( e

8 e

) 0 (

4 e

i

*

e ) i 2 (

e 4 e

i :

ex

*

3 2

1

3 2

1

3 2

Phép nhân vector

Phép nhân vector với vô hướng cho ra vector:

Phép nhân của tổng vector có tính phân phối:

Phép nhân tổng hai số với 1 vector có tính phân phối:

Tính kết hợp:

a a

) (

a

b a

) b a

(

a

0 0

1

) b a ( )

b (

a

Bài tập

• Cho vector:

? b

.

a

? )

b a

(

: compute

e ) i 5 2

( e

i 3 e

5

e ) 5 i

2 ( e

3 e

i 2

3 i

5 b

,i 2 3

a

3 2

1

3 2

Tổ hợp tuyến tính

e ) a ( e

) a ( e

) a (

Tổ hợp tuyến tính: của một tập hợp Z các vector :

được ký hiệu là:

số chiều không gian là số vector trong tập Z

Một vector gọi là độc lập tuyến tính với hệ Z khi chúng không thể biểu diễn là một tổ hợp tuyến tính của Z:

Hệ Vector cơ sở của một không gian K:

là một bộ Z của các vector, sao cho bất kỳ vector đều được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các

vector trong bộ Z EX: trong hệ 3D Descartes ta có:

c b

a

) ,

, ,

( : Z

Bài tập 1 W

Vector đơn vị theo phương z

trong hệ tọa độ Descartes 3D

có độc lập tuyến tính trong

không gian oxy hay không?

Giải thích?

Không gian của tổng 2 vector

(một biểu diễn trong hệ KD và

một biễu diễn trong hệ 3D) sẽ

có số chiều là bao nhiêu? Giải

Độc lập tuyến tính

K chiều (KD)

Bài tập 2 W

• Cho các vector:

??

* )

i 3 5

(

??

) i 2 (

e ) i 2 3

( e

i 4 e

) 1 i

3 (

e ) i 5 ( e

) 5 i

( e

) 4 i

2 (

3 2

1

3 2

Chiều của không gian

Chiều của không gian là số vector cấu thành, với hệ nD

Vector khác không viết trong hệ nD – là ma trận một

a a

MX )

a ,

a , a (

e a

e a e

a

n 2

1 n

2 1

n n 2

2 1

1

)1.1(e

,

e,

e1 2 n

0 ,

0 , 0 0

MX )

0 ,

0 , 0 ( 0

) b a

(

), b a

( ), b a

(

) b ,

b , b (

n n

2 2

1 1

n 2

1

gian vector không? Nếu có thì

chiều của nó là bao nhiêu ?

y 1

a   



Có – 1 D

Bài tập 4 W

• Xét t p h p các đa th c b c n (n< N) c a x có  ậ ợ ứ ậ ủ

các h  s  ph c ệ ố ứ

• a) Các đa th c đó có t o nên m t không gian  ứ ạ ộ

vector không? Vector c  s  đ ơ ở ượ ấ c c u thành 

nh  th  nào cho thu n ti n? S  chi u c a  ư ế ậ ệ ố ề ủ

không gian này là bao nhiêu?

b) Điều kiện để đa thức là hàm chẳn và là hàm lẻ ?

c) Điều kiện để hệ số trước xn có giá trị bằng 1.0

d) Điều kiện để đa thức bằng 1 khi x=0 và bằng 0 khi x=1

i 3 i 2 i 1

100

3 2 1

e a

e a

e

a1 1 2 2 n n

Ôn Đại số - Tích trong 2 vector

Trong KG 3 chiều, có 2 loại tích vector là tích vô hướng và tích có hướng Tổng quát tích trong 2 vector trong nD:

) 3 1 (

*

0 0

and ,

0

) 4 1 ( c

b c

b

: and

Tích trong của 2 vector là xác định

mặc dù không gian của 2 vector có thể

là không cùng số chiều

Lưu ý: tích trong của 2 vector giống nhau là một số

dương nên căn bậc 2 của nó (gọi là Norm-modune) là số

PhD D.H.Đẩu 19

Tích trong 2 vector

) 6 1 ( b

a

b a b

a b

a

e b

e b

e b

n

* n 3

* 3 2

* 2 1

* 1

n n

2 2 1

1

Trực giao: Hai vector là trực giao khi tích trong của nó =0 Trực chuẩn: là một bộ các vector đều trực giao nhau và mỗi Vector có Modune =1

) 5 1

(

ij j

i

Nếu chọn một cơ sở vector trực chuẩn e và khai triển

vector theo các thành phần e, thì tích trong 2 vector là:

) 7 1 ( a

a a

a

a

* a

a

* a a

*

a

2 2

2 2

n n

2 2

1 1

Và Bình phương modune là:

Bài tập 7 w

• Viết tường minh tích trong của 2 vector từ đó

chứng minh bất đẳng thức Schwarz

) 8 1 (

e)'ibb

(e

)'ibb

(e

)'iaa

(e

)'iaa

(

2

2 2

2 1

1 1

2 2

2 1

1 1

Bài tập 6: Tích trong 2 vector

a) Tính:

5 4

3 2

1

3 2

1

e i 3 e

) 2 i

( e

m e

) i 3 ( e

3

e i 3 e

) i 2 5

( e

) i 3 (

: given

Bài tập 8 - W

• Cho hai vector

3 2

1

3 2

1

e ) i 2 2

( e

) i 2 2

( e

) ni m

4 (

e ) i 3

( e

) i 2 1

( e

) i 2 1

b) Với các giá trị m, n bằng bao nhiêu thì tích

trong của hai vector đó là bằng 1.0

Góc giữa 2 vector

K n

n 2

2 1

1 K

K

K K

a )

e a

e a e

a ( e

e :

CM

) 9 1 ( e

a

Các hệ số a1 …an của một vector được tính lại là:

Góc hợp bởi 2 vector được tính bởi: Hệ thức Schwarz:

) 10

1

(

cos

and :

between angle

Bài tập 9 w: Góc giữa 2 vector

a) Dùng hệ thức Schwarz: xác định

góc của 2 vector

3 2

1

3 2

1

e ) i 2 2

( e

) 0 ( e

) i 4

(

e ) i ( e

) i 0 1

( e

) i 1

1 (

b) Chứng minh bất đẳng thức của tam giác

2 Phép biến đổi tuyến tính

) 13 1 ( Tˆ

b Tˆ

a )

b a

( Tˆ

Biến đổi : Là thay đổi một vector thành một vector khác trong cùng một không gian vector Sự thay đổi do tác

nhân của một toán tử T được viết:

Ví dụ:

) 12 1 (

Tˆ

3 2

1

3 2

1

e )i 2 2

( e

) 0 ( e

)i 4

(

e )i ( e

)i 0 1

( e

)i 1

Thế nào là biến đổi tuyến tính: Toán tử là toán tử

tuyến tính: Nếu có 2 số khác không là a và b và 2

vector thì:

Tˆ

Bài tập 10

• Hãy cho biết các dạng toán tử sau đây có tạo

ra phép biến đổi tuyến tính cho vector không? 1-Nhân vector (3D) với một số phức khác không 2-Quay một vector (3D) quanh trục ox hoặc oy

PhD D.H.Đẩu 27

2 Phép biến đổi tuyến tính

)15.1(e

)a(Te

)a(TTˆ

eT

ae

TˆaTˆ

eae

a

eae

ae

a

K

n

J KJ

n

K J

KJ n

n 1

K KJ K

n 1

J JJ

n 1

J J

J

n 1

J J

n n 3

3 2

2 1

1

n nK 3

K 3 2

K 2 1

K 1 K

n 1 n 3

31 2

21 1

11 1

e T

e T

e T

e T

e ) Tˆ (

e T

e T

e T

e T e

) Tˆ (

Vì khi T tác d ng lên m t vector nó cho ra m t vector m i, nên ụ ộ ộ ớ

khi T tác d ng lên các vector c  s  ụ ơ ở  Nó cũng t o các vector ạ

m i theo h  th c: ớ ệ ứ  

) 14 1 ( e

T e

2 Matrix của toán tử tuyến tính

n

1

J KJ JK

) a ( T A

: here )

15 1 ( e

A Tˆ

e )

a ( T e

) a ( T Tˆ

) 16 1

( T

T T

T MXT

e Tˆ e T

:

here

.

T

T T

T

T T

.

MXT

nk k

3 k 2 k 1 nK

K J

JK n

2 22

21

n 1 12

Bài tập 11 W Tính Matrix chuyển vị

Đối với phép quay quanh trục OX -

Tˆ

Khai triển công thức A 1 , A 2 A 3 theo ma trận

chuyển vị 1.15 sau đó viết lại vector mới tạo ra.

Các tính chất của biến đổi tuyến tính

Uˆ Tˆ

Sˆ

U T

S : here

MXU MXT

MXS :

denote

) Uˆ ( MX )

Tˆ ( MX )

Sˆ ( MX Uˆ

Tˆ Sˆ

JK JK

JK

Cộng hay trừ

) 17 1 ( e

Tˆ e T

: here

* T

* T

* T

.

.

* T

* T

* T

* T

* T

* T )*

MXT

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

Matrix liên hợp phức của T được định nghĩa là:

Matrix là thực khi các thành phần của nó đều là thực Matrix là ảo khi các thành phần của nó đều là ảo

MATRIX TỰ LIÊN HỢP PHỨC (TLHP)

Matrix HERMITiAN

Định nghĩa TLHP: là matrix chuyển vị và sau

đó lấy liên hợp phức của Matrix T:

)20.1()MXT(

)MXT(

:HERMITIANSKEW

)19.1(MXT

)MXT(

* n 2

* n

* 2 n

* 22

* 12

* 1

* 21

* 11

*

nn n

2 n

2 n 22

12

1 21

11

*

T

T T

.

.

T

T T

T

T T

)

T~MX ( T

T T

.

.

T

T T

T

T T

)

T~

MX

(

) 18 1 ( )

T~MX ( )

MXT

(

i 2 0

1

i 2 2

1

Bài tập 12 w: Chứng minh hệ thức

n 2

1 n

n 2

2 1

1

n 2

1 n

n 2

2 1

1

b

b b

MXb e

b

e b e

b

a

a a

MXa e

a

e a e

a

Xem tích trong của 2 vector:

) 21 1 ( )

MTb (

) MXa (

b a

b a b

a b

Chứng minh rằng:

i 1

1

3 Tích chuyển vị của tích 2 Matrix bằng

Tích ngược của 2 Matrix chuyển vị:

) 22 1 ( )

MXa ).(

MXb (

) MXb

MXa

(

) 23 1 ( )

MXa (

) MXb (

) MXb

MXa

(

Bài t p 14 w : Phép tính Matrix ậ

:

compute 0

i 1

2 d

and 2

i 2

i c

given

? 1 )

MXb ).(

MXb (

: Check

) MXb (

), MXb (

Tr , ) MXa (

, )

MXa

(

), a~

MX (

], MXb MXa

[ MXb

.

MXa

: Compute

2 3

i

0 1

0

i 0

2 MXb

:

and 2

i 2 i

2

3 0

2

i 1

1 MXa

Matrix ngh ch đ o:(MXa) ị ả ­1 ch  t n t i khi đ nh  ỉ ồ ạ ị

th c c a matrix a là khác không ứ ủ

Tính ch t Matrix ngh ch đ o:  ấ ị ả

) 26

1 ( )

MXa (

) MXb (

) MXb

MXT (

MXT )

T ( MX

) MXT (

: Here

) 24 1 ( 1

0 0

.

.

0

1 0

0

0 1

MXN

1 MX

1 1

Bài tập 15 tự giải

• 1- Chứng minh các hệ thức matrix 1.25

• 2- Chứng minh các hệ thức matrix 1.26

) 25

1 ( 1

) MXT (

MXT MXT

) MXT

) 26

1 ( )

MXa (

) MXb (

) MXb

MXa

1 ( a

) MXa (

Tr

a

a a

.

.

a

a a

a

a a

MXa

n

1

nn 2

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

Bài t p 16 : Ch ng minh h  th c  ậ ứ ệ ứ

Tr(x)

) 28

.

1

(

) MXa

MXb (

Tr )

MXb

MXa (

Tr :

MXa

MXa

MXb

Bài tập 17 W

• Cho vector 3D có 3 vector đơn vị là

• Hãy xác định các thành phần Matrix biểu diễn phép quay 45 độ cùng chiều Kim đồng hồ tại góc 0

quanh trục oz

3 2

Xét một phép biển đối từ x  x + x0, y  y+y0 ,

z= z + z0 Đây có phải phép biến đổi tuyến tính ?

Nếu không thì giải thích, nếu có tính matrix biểu diễn

Ví d : Phép quay vector quanh m t tr c trùng  ụ ộ ụ

v i chính nó ớ

) 29 1 ( conts

with

Aˆ

Dùng đ nh nghĩa ta  ị

th y: ấ  

Lúc đó   là các vector riêng  ng v i tr  riêng là 1  ứ ớ ị

c a phép bi n đ i T (l u ý ta có vô s  vector  ủ ế ổ ư ố

riêng khác vector không th a mãn PT 1.29) ỏ

Tˆ

CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG

1 Định nghĩa:

Ph ươ ng trình d ng Matrix;  ạ  

) 30

1 ( )

MXa (

MXa

MXT

Chuy n v  ta có ph ể ế ươ ng trình Matrix:

CÁC VECTOR RIÊNG VÀ CÁC TRỊ RIÊNG

) 31

1 ( 0

MXa )

1 MX MXT

(

Phương trình Đinh thức

• Từ PT 2.22, vế phải là Matrix không 

Định thức của Matrix phải bằng không nên

có n nghiệm của để phương trình bằng 0

) 32

1 ( 0

) T

(

T T

.

.

T

) T

( T

T

T )

T

(

nn 1

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

Bài tập 18W- trị riêng và vector riêng

phép biến đổi qua matrix:

1 0

1

i 2 i

i 2

2 0

2 MXT