Các phương pháp toán kinh tế phần 2

MÔ TẢ BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG BẢNG Trước khi nghiên cứu các tính chất riêng và phương pháp giải bài toán vận tải, ta hãy chuyển nó thành dạngbảng như sau: - Trong bảng giao của hàng i và cột

CHƯƠNG IV BÀI TOÁN VÂN TẢI

4.1 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI

4.1.1 Nội dung

Cần vận chuyển một loại hàng hoá thuần nhất từ m

trạm phát (các kho, các xí nghiệp sản xuất, ) ký hiệu là

Ax, A2, Am vởi khả năng cung cấp tương ứng là ax, a2,

,am đơn vị hàng tới n trạm thu (các trung tâm tiêu thụ),

ký hiệu là Bx, B2, ,Bn vởi nhu cầu tiêu thụ tương ứng

là bx, b2, , bn đơn vị hàng Biết cước phí vận chuyển một

áơn vị hàng hoá từ mỗi trạm phát Aj đến mỗi trạm thu

Bj là Cy (i 1, 2, ,m; j = 1, 2, ,n)

Giả thiết rằng các cước phí vận chuyển này là các hằng

sô không phụ thuộc vào lượng hàng vận chuyển, nghĩa là

chi phí vận chuyển ở một cung đường nhất định tỷ lệ thuận

với lượng hàng vận chuyển Tuy nhiên trong thực tế giảthiết này không phải khi nào cũng thực hiện được

Để đơn giản chúng ta giả thiết rằng:

1=1 j=inghĩa là tổng khả năng cung cấp của cáctrạm phát bằng

tổng nhu cầu của các trạm thu

Nhiệm vụ đặt ra là hãy xây dựng một phương án vận

chuyển hợp lý nhất, tức là xác định lượng hàng cần vận

chuyển từ mỗi trạm phát đến từng trạm thu sao cho:

a Mỗi trạm phát đều phát hết hàng, mỗi trạm thu đềunhận đủ hàng yêu cầu

b Tổng chi phí vận chuỵển là nhỏ nhất

Chúng ta ký hiệu Cjj là cước phí vận chuyển một đơn

vị hàng hoá từ trạm phát Aj đến trạm thu Bj (i = 1, 2, ,m;

j= 1, 2, , n) Ký hiệu Xjj (i 1, 2, , m; j = 1, 2, , n) làlượng hàng chưa biết phải vận chuyển từ Ai đến Bj Như

vậy sô biến trong bài toán vận tải là m.n

Từ các giả thiết đã cho ta thấy:

a Từng trạm phát phải phát hết khả năng cung cấp

hiện có và từng trạm thu phải được nhận đủ theo yêu cầu

Nói cách khác các biến Xý- cần phải thoả mãn m + n phương

+ x22 + + xm2 = b2 (4.2)+ x22 +

n

i=i j=l

c Các biến Xjj không âm (suy từ thực tế, không thể vậnchuyển một lượng hàng hoá âm), tức là:

ỉ Xij =

Si (i=l,2, ,m) (4.1a)j=l

án, phương án cực biên, phương án tối ưu, cơ sở của phương

án cực biên, véctơ và biến cơ sở, véctơ và biến phi cơ sỏ, )

các định lý của qui hoạch tuyến tính đều có thể áp dụng cho bài toán vận tải và đương nhiên có thể giải nó bằng

phương pháp đơn hình Nhưng do cấu tạo đặc biệt của bài

toán vận tải, người ta đã xây dựng một sô phương pháp khác giải nó đơn giản và tiện lợi hơn mà duới đây chúng

ta sẽ trình bày một phương pháp thông dụng để giải bàitoán vận tải - phương pháp thế vị

4.3 MÔ TẢ BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG BẢNG

Trước khi nghiên cứu các tính chất riêng và phương

pháp giải bài toán vận tải, ta hãy chuyển nó thành dạngbảng như sau:

- Trong bảng giao của hàng i và cột j gọi là ô (ij), đặc

trưng cho đoạn đưòng nôi trạm phát Aị với trạm thu

Bj nên ở ô này ta ghi Cjj Mỗi ô (ij) còn tương ứng

với một biến Xịj, đồng thời tương ứng với một véctơ Ajj (hệ sô của biến Xịj trong hệ ràng buộc 4 la và 4.2a)

Như vậy mọi dữ liệu của bài toán vận tải đều được thể hiện trên bảng 4.1 gọi là bảng vận tải

Bảng 4.1

Thu

Phát\

B1 (bi)

b2

(b2)

Bn (bn) Aựa-i) C11

X11

C12

X12

cin Xin

A2(a2) C21

X21

C22 X22

C2n X2n

Nếu trong bảng thay cho cước phí vận chuyển ta ghi

khoảng cách tính theo km giữa các trạm, thì thay cho tổng

chi phí vận chuyến ít nhất sẽ là tổng số tấn km cần vận

chuyển là ít nhất

4.2 CÁC TÍNH CHẤT cơ BẢN CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI

Ngoài những tính chất chung của bài toán qui hoạch

tuyến tính, bài toán vận tải còn có những tính chất riêng

được phát biểu dưới đây

Định lý 4.1 Bài toán vận tải cân bằng thu phát có phương

án cực biên tôi ưu

0 V(ij) nên:

CÿXjj > 0 nghĩa là hàm mục tiêu bị chặn dưởii=i j=l

bởi không Do đó, theo tính chất của bài toán qui hoạch

tuyến tính, bài toán vận tải đã có phương án và hàm mục

tiêu bị chặn dưới thì chắc chắn có phương án tốt nhất và

do đó có phương án cực biên tôt nhất

Nhìn vào hệ ràng buộc (4.1) và (4.2) ta thấy ma trận

hệ sô của các ẩn có dạng

1 0

- thứ tự iAii =

1 0

có hạng bằng m + n -1 Nói cách khác hệ (4.1) và (4.2) có

(m + n -1) ràng buộc độc lập, tức là bất kỳ phương trình

nào trong hệ (4.1) và (4.2) cũng là hệ quả của (m 4- n -1)

phương trình còn lại (hiển nhiên với giả thiết cân bằngthu phát) chẳng hạn ta cộng các phương trình (4.1) và trừ

vào tổng đó (n-1) phương trình đầu của (4.2) ta sẽ nhậnđược phương trình cuối của (4.2)

Như vậy ta có thể phát biểu tính chất hai của bài toán vận tải: Ma trận hệ số A của hệ ràng buộc (4.1) và (4.2)

có hạng bằng (m +n -1)

Từ đây liên hệ với định nghĩa phương án cực biên của

bài toán quy hoạch tuyến tính ta suy ra:

- Phương án cực biên của bài toán vận tải có không quá m + n - 1 thành phần dương

- Phương án cực biên của bài toán vận tải gọi là không suy biến nếu nó có đúng m + n -1 thành phần dương

và gọi là suy biến nếu nó có ít hơn m + n -1 thànhphần dương

- Mỗi phương áñ cực biên đều ứng với ít nhất một cơ

sở gồm m + n -1 véctơ Ajj độc lập tuyến tính Trongtrường hợp phương án cực biên không suy biến Xo ={Xij(0)} thì chỉ có một cơ sở duy nhất đó là hệ (A¡j :

x¡j > 0} gồm m + n -1 véctơ độc lập tuyến tính.Trở lại bảng vận tải ta thấy giữa các ô (ij) và các véctơ Ajj của ẩn Xjj có sự tương ứng 1 -1

0 (ĩj) được gọi là ô chọn nếu có lượng hàng phân phối

Xjj 0 và gọi là ô loại nếu Xÿ = 0 Như vậy một phương

án cực biên có không quá (m +n -1) ô chọn

Phương án cực biên được gọi là không suy biến nếu nó

có đúng m + n -1 ô chọn và là suy biến nếu nó có ít hơn

các chỉ sô thứ hai (chỉ sô chỉ cột) chỉ xuất hiện hai lần

Nếu ta cho tương ứng giữa các véctơ này với những ô của

bảng vận tải ta sẽ thấy trong một hàng của bảng hoặc có

2 ô hoặc không có ô nào tương ứng với các véctơtrên Tương

tự như vậy đối với các cột của bảng Nếu chúng tanốinhững

Ô tương ứng của bảng với hệ véctơ (4.7) bởi những đoạn

nằm ngang và thảng đứng chúng ta sẽ nhận được một chu

Hình 4.1

Như vậy vòng là một tập hợp ô trong bảng vận tải màtrong đó mỗi đều nằm cùng hàng (cùng cột) chỉ với một

ô đứng trưốc nó, đồng thời nằm cùng cột (cùng hàng) chỉvới 1 ô đứng sau nó

Tứ định nghĩa ta thấy một hàng hoặc một cột mà vòng

đi qua bao giờ cũng chỉ có hai ô thuộc vòng, do đó tổng

số ô trên vòng là một sô chẵn và ít nhất là bốn ô Có thể

mô tả vòng dưới dạng các ô của bảng như sau:

(iiJi); (Í1J2); Ơ2jạ);-(ifcjfc); (ikJi)

Định lý 4.2.

Điều kiện cần và đủ để một tập hợp ô đã cho có chứa

vòng là hệ các véctơ {Ajj} tương ứng phụ thuộc tuyến tính

Chứng minh Điêu kiện càn. Giả sử tập hợp đã cho có chứa một vòng

<Ì1J1MÌ1 j2)(Ĩ2,j2)- •(ikdkXiữi) ta phải chứng minh hệ véctơ

{Ajj} tương ứng với tập hợp ô đã cho là phụ thuộc tuyến

tính Muốn thế ta chỉ cần chứng minh hệ véctơ

{AiiJ1 ’\j2A2j2 > ■ ■ • > AkjJ phụ thuộc tuyến tính là

đủ (vì một hệ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ

{ i, A1 j2 A2j2 • • •, \jk AkJ1 1 phụ thuộc tuyến tính

Điêu kiện đủ Giả sử tập hợp đã cho tương ứng với một

hệ véctơ {Aý-} phụ thuộc tuyến tính, ta phải chứng minh

tập hợp ô đã cho có chứa vòng

Từ sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ {Ajj} ta suy

(4.8) phải chứa ít nhất một véctơ khác, cùng chỉ số Ỉ! để

làm triệt tiêu E^, chẳng hạn đó là véctơ Aj j =

E: + Ej và như vậy thì tổng (4.8) lại phải chứa ít nhấtmột véctơ khác cùng chỉ sốj2 để làmtriệttiêu Ej2 Chẳnghạn đó là vểctơ Ạ- ; = E; + E:

n2->2 *2

J2-Lập luận tương tự ta sẽ có một dẫy véctơ:

^1J1 ,Aii Í2 ,Ai2j2 ’ ^2 j3

Vì sốvéctơ Aịj là hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước

ta phải gặp véctơ Ajkjk rồi véctơ Ajkji để triệt tiêu Ej^ ^Như vậy dẫy véctơ: AiJi ,Ai1J2 A2j2 • • • ■’ \jk ’Aikh màdẫy ô tương ứng:

ƠIJi)(iiJ2XÍ2J2) (ikjk)ơkJ1) tạo nên một vòng Vậy tập

Thật vậy: Do hệ (m + n) véctơ Ajj tương ứng là phụ thuộc

tuyến tính (do số véctơ của hệ lớn hơn hạng của ma trận A) nên tập hợp m + n ô ấy chứa vòng

Hệ quả 4.2

Một phương án của bài toán vận tải là phương án cực

biên khi và chỉ khi tập hợp ô chọn của nó không chứa vòng

Thật vậy: xo {Kijí0)} là một phương án cực biên thì hệvéctơ {Aịj : Xjj(0) > 0} độc lập tuyến tính nên các ô chọncủa Xo không chứa vòng

Định lý 4.3

Một phương án cực biên của bài toán vận tải có đủ số

tối đa (m + n - 1) ô chọn thì một ô loại bất kỳ sẽ tạo nênmột vòng duy nhất với một sô ô chọn

Chứng minh

Ta lấy một loại bất kỳ thì ô loại này cùng vởi m + n

-1 ô chọn đã có tạo thành một tập hợp có m + n ô Theo

hệ quả 4.1 tập hợp ô này có chứa vòng, nghĩa là loại ấy

sẽ cùng vởi một số ô chọn tạo thành vòng Ta chứng minh

Thê thì nếu bỏ loại ấy đi thì các ô chọn trên hai vòng

ây sẽ lập thành một vòng Điều này trái với giả thiết:

Phương án đang xét là phương án cực biên

4.3 THUẬT TOÁN GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI

Có nhiêu phương pháp khác nhau để giải bài toán vận

tải ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu một trong các phương

pháp đó là phương pháp thế vị

Đường lối chung là: Xuất phát từ một phương án cực

biên, kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu đối với phương án này

Nếu thoả mãn thì thuật toán dừng Nếu chưa tlioả mãn

thì ta chuyển sang một phương án cực biên khác tốt hơn

và sau một số hữu hạn bước ta sẽ tìm được phương án tối ưu

4.3.1 Xây dựng phương án cực biên xuất phát

Có nhiều phương pháp khác nhau để xây dựng phương

áncực biên xuất phát, ở đây chúng ta trìnhbày hai phương

pháp thông dụng: Phương pháp giá cước bé nhất và phương pháp Phôghen

4.3.1.1 Phương pháp giá cước bé nhất

Nguyên tắc phân phối hàng của phương pháp này như

sau: Ưu tiên phân phối hàng tới mức tôi đa vào ô có giácước Cjj nhỏ nhất trong phạm vi các ô còn xét

Ban đầu tất cả các ô (ij) trong bảng đều thuộc vào các

ô còn xét Giả sử

crk = min {Cij}

Ta phân cho ô (r,k một lượng hàng xrk lớn nhất có thể được, tức là xrk = min {ar, bk}.

- Nếu xrk bk thì nhu cầu của trạm thu Bk được thoả

Với các ô còn xét mởi này ta lại tiến hành như trên

Cứ như thế tiếp tục cho đến khi tất cả các hàng và các

cột của bảng vận tải bị loại khỏi phạm vi các ộ còn xét Tất nhiên,khi đó mọi trạm phát đều hết hàng và nhu cầu

tại mọi trạm thu đều được thoả mãn (do giả thiết bài toán

cân bằng thu phát) Những ô không được phân phối thìXjj 0

Định lý 4.3

Hệ thống số X = {Xjj} (i = 1, 2, , m; j = 1, 2, ,n) xây dựng theo phương pháp giá cưởc bé nhất là một phương

án cực biên

Chứng minh

Trong quá trình thực hiện phương pháp giá cước bé nhất,

tá chỉ loại những hàng và cột đã thoả mãn, tức là

j=i Í=1

Hơn nữa mọi Xij 0 nên X = {Xý-1 i = 1, 2, ,m; j - 1, 2, n thu được là một phương án Ta phải chứng minh nó

là phương án cực biên

Giả sử X = {Xịj} (i = 1, 2, ,m; j = 1, 2, ,n) không phải

là phương án cực biên nghĩa là tồn tại ít nhất một vòng

phân phối

- Hoặc yêu cầu của trạm thu đã thỏa mãn, cột jj ’bịloại khỏi nên ô (ik, jx) không thể được phân phối

- Hoặc yêu cầu của trạm thu và khả năng của trạm

phát đều thỏa mãn thì hàng Ỉ! và cột jx bị loại khỏi

bảng, nên ô (1^2) và (ifcji) không thể được phân phối

Một trong ba trưòng hợp đều dẫn tới mâu thuẫn Nhưvậy từ các ô được phân phối không thể tạo vòng, nén X

= {Xij} xây dựng được ở trên phải là một phương án cực

ỗ này lại bằng nhau thì phân phối cho một ô bất kỳ trongchúng.

- Nếu kết quả của quá trình phân phối cho tổng số ô

được phân là m + n -1 ô chọn thì ta được một phương án

cực biên tương ứng không suy biến Các biến ứng với các

ô chọn ấy chính là m + n -1 biến cơ sở duy nhất Nhưngnếu phương án cực biên thu được chưa đủ m + n -1 ô chọn

(phương án cực biên suy biến) thì ta phải bổ sung thêm

cho đủ m + n -1 ô với điều kiện là m + n -1 ô ấy không chứa vòng Những ô chọn bổ sung thêm có lượng hàng phân phối bằng 0 và được gọi là ô chọn bổ sung Tập hợp m +

n - 1 ô chọn (kể cả ô chọn bổ sung) không chứa vòng ấy

sẽ ứng với m n -1 biến cơ sỏ Tất nhiên có nhiều cáchchọn ô bổ sung cho đủ số tối đa m + n -1 ô, miễn là chúngkhông tạo vòng (phương án cực biên suy biến có nhiều cách chọn cơ sở), thông thường thì ta chọn ô có giá cước bé

Ví dụ 4.1. Dùng phương pháp giá cước bé nhất xây dựngphương án cực biên xuất phát của bài toán vận tải chobởi bảng sau:

Với phạm vi các ô còn xét là toàn bảng thì

min {Cij} = 5 = C31

Ta phân cho ô (3,1) một lượng hàng

X31 = min {a3, bx} = min {100, 100} = 100

Như vậy trạm A3 hết hàng và nhu cầu trạm B1 cũng

thoả mãn nên cả hàng A3 và cột Bx đều bị loại ra khỏi phạm vi các ô còn xét, ta đánh dấu vào các ô loại của

hàng và cột này

Trong phạm vi các ô còn xét mới thì min {Cjj} = 10 =

C14, ta phân cho ô (1,4) một lượng hàng:

x14 = min {ax, b4} = min {150, 50} = 50

Như vậy nhu cầu của trạm B4 được thoả mãn, ta loạicột B4 ra khỏi phạm vi các còn xét (đánh dấu X vào các

ô loại của cột này) và sửa lại khả năng của trạm Ax:

ở đây m + n-l = + 4-l 6 mà phương án thu được

chỉ có 5 ô chọn nên ta phải bổ sung thêm một ô Ta có

thể chọn chẳng hạn ô (2,1) làm ô chọn bổ sung và ghilượng hàng phân phối 0 vào ô này

4.3.I.2 Phương pháp Phôghen

Trưởc tiên ta nêu ra khái niệm giá cước chênh lệch:

Trên mỗi hàng (cột) thuộc phạm vi còn xét gọi ô có Cjj

bé nhất và ô có Cjj bé thứ hai lần lượt là ô thấp nhất và

ô thấp nhì của hàng (cột) ấy Nếu một ô nào đó vừa là ô

thấp nhất của hàng và cột thì gọi nó là ô trũng

- Hiệu Cjj của ô thấp nhì và ô thấp nhất của hàng (cột)

gọi là giá cước chệnh lệch của hàng (cột) ấy

- Nguyên tắc phân phối Phân vào ô thấp nhất của hànghay cột có giá cước chênh lệch lớn nhất và phân với

lượng tối đa có thể Sau khi phân vào một ô thì tatính lại giá cưởc chênh lệch của các hàng và các cột

trong phạm vi còn xét và phân phôi tiếp

Sau khi tất cả các hàng và các cột đều thoả mãn, ta

được một phương án' cực biên (chứng minh giống như ở trường hộp dùng phương pháp giá cước bé nhất) Nếu phương án này chưa có đủ m + n -1 ô chọn thì ta bổ sungcho đủ và (m + n -1) ô này không được tạo vòng

- Trong quá trình phân phối cho các ô, nếu một hàng nào đó đã thoả mãn (tủc là phân hết khả năng hiện có) thì ta chỉ cần tính lại giá cước chênh lệch của các cột và nếu một cột nào đó đã thoả mãn thì ta tính lại giá cước chênh lệch của các hàng

- Khi có nhiều hàng, cột cùng có giá cưốc chênh lệch

lởn nhất thì cách xử lý như sau:

- Nếu việc phân phối cho nơi này mà không ảnh hưỏngđến việc phân phối cho nơi kia thì có thể phân phôi đồng thời cho các nơi đó Nếu ảnh hưởng thì ưu tiên

phân phối cho ô trũng Nếu không có ô trũng thì phân

phối cho ô có giá cước bé nhất trong các ô có Cjj thấp

nhất

Ví dụ 4.1.b Dùng phương pháp Phôghen tìm phương án cực biên xuất phát của bài toán cho trong ví dụ 4.1.Khi tính giá cước chênh lệch của các hàng và các cột

ta thấy hàng A2 có giá cước chênh lệch lớn nhất, ta phân

cho ô thấp nhất của hàng này là ô (2,1)

phân cho ô có giá cước thấp nhất của cột này, đó là ô (3,1)

Lần thứ ba, ta thấy các cột B2, B3, B4 đều có giá cướcchênh lệch lớn nhất, nhưng cột B4 có ô (3,4) là ô trũng

nên ta phân cho ô này

Sau khi phân lần thứ ba, chỉ còn lại hai ô (1,2) và (1,3)

ta phân cho ô có giá cước bé trước: ô (1,3) rồi phân cho ô

kia (1,2)

Phương án cực biên nhận được có 5 ô chọn Ta chọn ô(3,3) làm ô chọn bổ sung cho đủ sô'tối đa sáu ô không tạovòng.

4.3.2 Phương pháp thê vị giải bài toán vận tải

Sau khi đã có một phương án cực biên xuất phát, vấn

đề đặt ra là phương án cực biên ấy đã là phương án tối

ưu chưa? Nếu chưa phải thì phải xây dựng một phương

án cực biên mới sao cho tốt hơn phương án cũ

Dưới đây chúng ta sẽ nghiên cứu một phương pháp khá hiệu quả giải bài toán vận tải trên cơ sở phân tích quan

hệ của cặp bài toán đổi ngẫu

43.2.1 Tiêu chuẩn tối ưu

Ta viết lại bài toán vận tải

Xý- 0 (i = 1, 2, , m); (j = 1, 2, , n) (4.12)

(4.13)

Ta ký hiệu Uj, Vj là những biến đối ngẫu ứng với các

hệ ràng buộc (4.10) và (4.11); U = {Uị}, V = {Vj}, g(u,v) là

hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu Khi đó bài toán đối

ngẫu có dạng:

g(u,v) =2u a,

i=l

max (4.14)j=i

u¡ + Vj < Cij (ĩ = 1, 2, , m); (j = 1, 2, , n) (4.15)

Trong hai bài toán đối ngẫu này có m n cặp ràng buộc

đối ngẫu:

Xjj > 0 và Uj + Vj Cy (i = 1, 2, , m) (j = 1, 2, , n)Theo định lý đối ngẫu hai thì điều kiện cần và đủ đểhai phương án X {XjjỊ và (u, v) = (Uj, Vj} của bài toặnvận tải và bài toán đối ngẫu tương ứng tốt nhất là:Nếu Xy > 0 thì Uj + Vj = Cjj

Hoặc nếu Uị + Vj < Cjj thì Xjj 0

(i = 1, 2, , m); = 1,2, , n)

Từ đó có thể suy ra tiêu chuẩn tổì ưu sau đây

Tiêu chuẩn tối ưu: Điều kiện cần và đủ để phương án X

= (XijI của bài toán vận tải tối ưu là tồn tại hệ thống số

4.3.2.2 Thuật toán của phương pháp thế vị

Giả sử bằng phương pháp giá cước bé nhất hay phương pháp Phôghen ta đã có một phương án cực biên X = {Xjj}

các ẩn còn lại

Quá trình xây dựng hệ thống thế vị được thực hiện nhưsau: Cho một hàng hay một cột nào đó một thế vị tuỳ ý

(tức là chọn Uị hay Vj tương ứng làm ẩn tự do), chẳng hạn

cho hàng i một thế vị Uj = 0 Sau đó xác định thếvị củacác hàng, cột khác theo điều kiện a của tiêu chuẩn tối ưu, tức là:

Vj = Cịj - Uj với Uj đã biết (4.17)

Uj = Cịj - Vj với Vj đã biếtđối với (i, j) là các ô chọn

Thế vị Uj ghi ỏ bên phải dòng i, thế vị Vj ghi ỏ phía dưới cột j

Vì hệ (4.16) gồm m + n -1 phương trình nên ta tính

được m + n -1 thế vị khác nhau theo (4.17) cùng vối thế

vị Uị cho trước ta được toàn bộ thế vị của các hàng, cột

Chú ý: Do cấu trúc đặc biệt của hệ (4.16) nên ta thấy

các nghiệm của hệ xác định sai khác nhau hằng số cộngnghĩa là nếu {Uj Vj} là nghiệm thì (Uị + a, Vj - a} cũng là

nghiệm với mọi a

Bước 2. Kiểm tra tiêu chuẩn tôi ưu

Hệ thống thế vị xây dựng ở bước 1 đã thoả mãn điều

kiện a của tiêu chuẩn tối ưu, nên ta chỉ cần kiểm tra điều

kiện b đôi với các ô loại

- Nếu mọi ô loại đều có Uị + Vj < Cjj thì phương án đangxét X tương ứng là tôi ưu

- Nếu tồn tại ít nhất một ô loại có Uị + Vj > Cịj, nghĩa

là không thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu thì phương án Xchưa tối ưu Ta gọi những ô này là những ô vi phạm.Tính A|j = Uj + Vj - Cjj đối với tất cả những ô vi phạm(hiển nhiên Aịj > 0) Chuyển sang bưốc 3

Bước 3 Điêu chỉnh phương án

Giả sử max Aịj = Ark , ta gọi ô (r,k) là ô điều chỉnh

sau:

- 0+ 0

với (i,j) là ô chẵn trên vòng

với (i,j) là ô lẻ trên vòng (4.18)với (i,j) không thuộc vòng

Như vậy ô điều chỉnh (r,k) trở thành ô chọn với x’rk=0, còn chẵn trên vòng có Xjj 0 sẽ trỏ thành ô loại với x’ij

= 0 Nếu có nhiều ô chẵn trên vòng cùng có Xjj 0 thì ta chỉ đưa một trong các ô đó làm loại, còn các ô khác vẫn

kể làm ô chọn mặc dầu x’ij = 0 Như thế véctơ X’ {x^l

có đủ m + n-1 ô chọn

Ta có các khẳng định sau đây:

a X’ = {x’ij} là phương án cực biên có đủ m + n -1 ôchọn

Thật vậy theo cách điều chỉnh thì x’ij > 0 với mọi ô (ij)

Hơn nữa trên vòng điều chỉnh, bao giờ cũng chỉ có 2 ôcùng hàng và 2 ô cùng cột, nên trong hai ô đó có một ô

chẵn, một ô lẻ; đối vởi ô chẵn lượng hàng được phân phối

Xjj phải trừ đi 0, với ô lẻ, ta cộng thêm 0 Vì thế, tổng

lượng hàng trên mỗi hàng và mỗi cột vẫn như cũ Còn đối

với các hàng và các cột khác, không có vòng đi qua, thìkhông thay đổi gì Vì vậy, ta có:

j=l j=l

Xy = ai (i = l,2, ,m)

ỉ - s = bj (j = l,2, ,n)i=l 1=1

Vậy X’ = {x’ij} là một phương án

Mặt khác m + n -1 ô chọn của X’ không tạo vòng bởi

vì ô chọn mới (r,k) là ô loại trong phương án cũ nên nó

chỉ tạo nên một vòng duy nhất với một sô ô chọn cũ’đó

là vòng điều chỉnh Trên vòng này, ta đã đưa một ô chọn

cũ làm ô loại, nên ô chọn mới không tạo thành vòng vởicác ôchọn cũ còn lại trong phương án mới X’ Điều đó chứng

mà với Xjj 0 thì Uị + Vj = Cÿ nên ,có thể viết:

Z(X)=E E (u¡ + Vj) Xjj = Eu¡ E Xjj + E Vj Exjj =

Đối với phương án X’ ta quay lại bưởc 1 và lặp lại quátrình.

c Nếu bài toán vận tải không suy biến thìáp dụng phương pháp thê vị sau một số hữu hạn bước lặp, ta sẽ nhận được

phương án tối ưu

Thật vậy, do bài toán vận tải đang xét không suy biến, nên ở mỗi bước lặp ta đêu có 9 0, Do đó sau mỗi bướclặp lại thì hàm mục tiêu giảm thực sự và sau một sốhữu

hạn bước lặp chắc chắn sẽ nhận được phương án tối ưu(vì bài toán vận tải luôn có phương án tối ưu)

Một số chú ý:

1 ở mỗi bước lặp, nếu có nhiều ô loại vi phạm tiêu chuẩn

tối ưu, tức là Ajj > 0 nhiều ô loại Đối với mỗi ô vi phạm

có thể tính tích Ajj9(1) tương ứng và chọn max {Ajj9(1)}

4 > 0

Giả sử Ark9 = max Ajj9(1)

Aỹ- > 0thì ô (r,k) chọn là ô điều chỉnh, hàm mụctiêu sẽ giảm nhanh

hơn Còn để cho tiện, ta có thể bàng lòng với cách chọn ô

điều chỉnh (r,k) ứng với Ark = max Ajj

Aij 0

2 Trường hợp bài toán suy biến:

Trong trường hợp bài toán suy biến thì 9 có thể bằng

9 Khi 9 = 9, ta vẫn thực hiện thuật toán một cách bình

thường, nghĩa là ô điều chỉnh sẽ trỏ thành ô chọn với lượng

Dấu hiệu xuất hiện phương án cực biên suy biến làtrong quá trình điều chỉnh 0 đạt tại nhiều ô khác nhau,những ô này đều có thể loại khỏi tập ô chọn Nhưng theo

thuật toán, khi đó ta sẽ chỉ loại một trong những ứngvới 0 theo qui tắc ngẫu nhiên, những ô còn lại ứng với

0 vẫn nằm trong tập ô chọn với tư cách là Các ô chọn

có thể tìm các phương án cực biên tối ưu khác và cả tậpphương án tối ưu

Ví dụ 4.2 Giải bài toán vận tải sau:

Dùng phương pháp giá cưởc bé nhất, xây dựng phương

án cực biên xuất phát Đó là phương án cực biên không

suy biến cho ở bảng 4.4

+1

2 [100]

nó vào ô tương ứng với dấu + phía trước, cụ thể A21 = +4,

A31 = +1 max Ajj 'A21 = +4

Aij 0

ô (2,1) được chọn là ô điều chỉnh Vòng tạo bởi ô điều

chỉnh với các ô chọn đó là (2,1), (1,1), (1,4), (2,4) ở đây

0 = min {40, 10} 10 Thực hiện phép biến đổi (4,18) cho

các ô trên vòng, kết quả thu được phương án cực biên mới

ghi trong bảng 4.5

10 +1

6 +4

Sau khi điều chỉnh ta được phương án cực biên mới ở bảng 4.6

6 [30]

Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu ta thấy

Uị + Vj < Cij V(i, j)

•Phương án cực biên tương ứng ở bảng 4.6 là tối ưu.Phương án tối ưu này không duy nhất vì Ă24 = 0 ở ô

4.4.1 Bài toán không cân bằng thu phát

Trong các lập luận mà chúng ta đã nghiên cứu ở trên

về các bài toán vận tải luôn có giả thiết:

£ s ỉ bj

Tuy nhiên trong thực tế không phải bao giờ giả thiếttrên cũng thựchiện được mà thường xảy ra không cânbằngthư phát, hoặc tổng khả năng cung cấp của các trạm phát lớn hơn tổng nhu cầu của các trạm thu hoặc ngược lại

Trong cà hai trưòng hợp đó ta đều có thể đưa về bài toán

dạng cân bằng thu phát để giải bằng phương pháp thế vị

1 Trường hợp /, aj > 2-<

i=l j=lTổng lượng hàng ỏ các trạm phát lởn hơn tổng nhu cầu

về loại hàng hóa đó ở các trạm thu Để đưa về bài toán

dạng cân bằng thu phát ta đưa vào một trạm thu giả Bn+1

với nhu cầu bn+1 = X ai - X bj đây chính là lượng hàng

n) vì thực chất không có vận chuyển từ trạm phát giả đến các trạm thu.

4.4.2 Bài toán cực đại

Trong-thực tế đôi khi ta gặp bài toán có dạng bài toán vận tải nhưng với hàm mục tiêu cần cực đại

Mô hình bài toán có dạng:

min với hàm z -f -> min hoặc có thể giải trực tiếp

Z(X) Cịj Xjj —> max (4.19)

i=l j=l

Ề Xjj = aj (i=l,2,

(4.20)j=i

£ Xjj = bj 0=1,2, ,n) (4.21)i=l

Xjj > 0 (i = 1, 2, , m); (j = 1, 2, , n) (4.22)

ỉa, = ỉ

(4.23)i=l j=l

bài toán này ta CÓ thể chuyển vê giải bài toán

+ Để xây dựng phương án cực biên xuất phát ta có thể

dùng phương pháp "Cjj lởn nhất", nghĩa là: ưu tiên phânphối với mức tối đa vào ô có Cịj (hiệu quả) lớn nhất trongphạm vi đang xét

+ Việc xây dựng hệ thống thê vị giống như đối với bài

toán min, bằng cách giải hệ:

Uj + Vj = Cjj đối với (m + n -1) ô chọn (i, j)

không tạo thành vòng+ Kiểm tra tiêu chuẩn tốt nhất:

Uj + Vj > Cjj đối với các ô loại

- Nếu thoả mãn thì thuật toán dừng

- Nếu chưa thoả mãn, tức là tồn tại ít nhất một ô loại(ij) mà Uị + Vj Cịj hay Ajj = Uj + Vj - Cjj < 0 thì chọn

ô (r,k) ứng với Ark = min Aịj làm ô điều chỉnh Sau đó

Ay < 0

xác định vòng điều chỉnh Cách điều chỉnh giống như đôivới bài toán min

4.4.3 Bài toán có cấm

Trong thực tế ta cũng có thể gặp các bài toán vận tải,

trong đó có cấm vận ở một số nơi, nghĩa là do những điều

kiện thực tế đặt ra mà hàng từ trạm Aj không chuyển đến

trạm thu Bj, khi đó ô (ij) là ô cấm

Sau đây chúng ta xét một số trường hợp:

- Từ Aj đến Bj không có đường vận chuyển hoặc có nhưng

không thích hợp với phương tiện vận chuyển hoặc theo hợp đồng vận chuyển, không chuyển hàng từ Aj đến Bj

- Nếu hàng từ Aj đến Bj khi Bj nhận được sẽ mất thời

gian tính hoặc bị hư hỏng vì đường vận chuyển quá xa

- Do yêu cầu thực tế đặt ra mà một trạm phát nào đóchỉ được phép chuyển đi một lượng hàng qui định trước,

ít hơn khả nâng cung cấp của nó hoặc hàng trạm phátnày không được để tồn kho (khi tổng lượng phát lớn hơn

tổng lượng thu)

- Một trạm thu nào đó được ưu tiên nhận đủ yêu cầu

(tức là không nhận hàng từ trạm phát giả) trong trườnghợp bài toán không cân bằng thu phát mà tổng lượng thu lớn hơn tổng lượng phát

Những bài toán có ô cấm ta vẫn có thể sử dụng phương pháp thế vị để giải Cần lưu ý rằng nếu (ij) là ô cấm trongbài toán min thì ta gán cho Cịj = M, trong đó M là 1 số

dương lớn tuỳ ý khi cần so sánh Làm như vậy khác nào

ta đánh cước phí rất nặng â ô (i,j), khiến cho trong phương

án tối ưu ô (i j) không thể được phân phôi

Còn đối với bài toán max ta gán cho ô cấm (ij) với Cij

= -M (với M là số dương lớn tuỳ ý)

Khi xây dựngphương án cực biên xuất phát ta nên tránhkhông nên phân vào ô cấm để hy vọng bớt bước lặp trong

thuật toán

Sau đây ta xét một số ví dụ minh hoạ

Ví dụ 4.3. Giải bài toán vận tải dạng cực đại hàm mục

tiêu với các sô liệu cho dưới đây

Thu Phát

Bảng 4.8

Thu Phát

Phương án cực biên ở bảng 4.9 thoả mãn tiêu chuẩn tối

- Vì B3 được nhận từ 140 đến 150 tấn, điều này có nghĩa B3 nhận được từ các trạm phát thật tối thiểu 140 tấn, còn

10 tấn có thể nhận được hoặc không nhận được nên ta ghi

cước phí cấm vào ô tương ứng giữa B’3 ( nhu cầu 140) và trạm phát giả A5, cước phí o giữa B”3 (10 tấn) và phát

giả A5

Khi đó tổng lượiig phát: 70 + 90 180 +110 = 450,

Tổng lượng thu: 200 + 130 + 150 = 480

Ta lập bảng vận tải cho bài toán cân bằng thu phát

bằng cách thêm trạm phát giả A5 với khả năng cung cấp

30 tấn Tách B3 thành 2 trạm : B’3 nhu cầu 140, B”3 nhucầu 10 Quá trình giải thể hiện ỏ 2 bảng 4.10 và 4.11

Ả4

110

20 [110]

A3

180

30 [90]

Sau một lần điều chỉnh ta được phương án cực biên tối

ưu cho ỏ bảng 4.11 Phương án tối ưu này là duy nhất.Zmin = 19.700 nghìn đổng

trước hàng loạt các quyết định cần phải lựa chọn; quyết

định khác nhau sẽ dẫn tới các hiệu quả khác nhau, vấn

đề đặt ra là, ỏ mỗi bước ta chọn quyết định nào để saocho hiệu quả thu được đối với cả quá trình là tốt nhất,theo một tiêu chuẩn đã định ra Một trong những công cụ

có hiệu quả để giải quyết vấn đề nêu trên là quy hoạch

động

ở đây, chúng ta không đi sâu nghiên cứucơ sỏ lý thuyết

của qui hoạch động mà chỉ giới thiệu một sô bài toán ứng

dụng tương đối đơn giản của nó, để người đọc làm quenbước đầu với công cụ khá hiệu quả này của toán học

5.1 CÁC QUÁ TRÌNH QUYẾT ĐỊNH VỚI MỘT THAM SỐ

5.1.1 Bài toán phân bổ tối ưu tài nguyên

Giả sử chúng ta có X đơn vị tài nguyên kinh tế (chẳng

hạn là vốn, nhân lực, nguyên liệu, nhiên liệu, ) Loại tài nguyên này có thể sử dụng vào các quá trình (hay hành