Đê thi chọn hsg cấp trường 23 24

Từ một điểm I nằm trong tam giác kẻ IM vuông góc với BC, IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB, AH vuông góc với BC, IE vuông góc với AH.. a/ Chứng minh rằng: ANIK là hình chữ nhật;

Họ và tên học sinh:……… Chữ kí GT:………

TRƯỜNG THCS KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

(ĐỀ CHÍNH THỨC) NĂM HỌC 2023-2024

Khóa ngày:………

Môn thi: Toán 9

Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)

………

ĐỀ:

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

M

a/ Rút gọn M;

b/ Tính giá trị của M với x  6 2 5

Bài 2: (4,0 điểm)

a/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻ n thì n2  4n 3 8 ; b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương

Bài 3: (4,0 điểm)

a/ Xét các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x2y2z2 2x y z   3 0

Tính giá trị của biểu thức 2022 2023 2024

6069

P



b/ Tìm giá trị lớn nhất nhất của biểu thức 2

7

A



  

Bài 4: (3,0 điểm)

a/ Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn:

5

x  y  ; b/ Giải phương trình: 3x2 9x  1 2 x

Bài 5: (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm I nằm trong tam giác kẻ IM vuông góc với BC,

IN vuông góc với AC, IK vuông góc với AB, AH vuông góc với BC, IE vuông góc với AH

a/ Chứng minh rằng: ANIK là hình chữ nhật;

b/ Gọi O là giao điểm của AH và IK Chứng minh rằng: AK.EO = KO.IE;

c/ Tìm vị trí của điểm I sao cho tổng IM2IN2IK2 nhỏ nhất

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM

M

1

(4,0 điểm)

a) Với điều kiện x 0

Ta có:

M

=

:



=

:

=

2

1 (x 1)(1 )

(x 1)( 1)

x x

 

1,0 điểm

1,0 điểm

1,0 điểm b)

 

 

2

2

6 2 5 5 1

x

1,0 điểm

2

(4,0 điểm)

2

a n  n   n n

n lẻ nên n =2k + 1(kN )

n1 n3  2k2 2  k4 4k1 k2 4 (k+1).(k+2) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên (k+1).(k+2) chia hết cho 2

Do đó, n2 + 4n + 3 chia hết cho 8

0,5 0,5 0,5 0,5

b/ Giả sử n + 12 = a2 và n – 11 = b2 (a, b N )

Ta có a2 – b2 = (n + 12) – ( n – 11) = 23

(a – b)(a + b) =23 =1.23 = 23

Vì a+b>a-b>0 nên

132

n

0,5 0,5 0,5 0,5

3

a x y z  x y z    x  y  z  Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

2023

P

0,5 0,5 0,5 0,5

0,5 0,5

 2

2 2 2

2

2 10 9 3

6

7 6

A

Dấu “=” xảy ra x = 1 Vậy GTLN của A là 7/6  x = 1 Vậy GTLN của A là 7/6.

4

(3,0 điểm)

x y

y x



x Z y Z

Nên ta có

Vì x, y khác 0 nên pt đã cho có các nghiệm nguyên :

(10;10);(6;30);(4; 20); 30;6 ; 20; 4 

0,5

0,5

0,5

2

2 2

2

2

3 9 1 4 4 2

2

3 ( ) 1 ( ) 2

x

x

x

x

   

 



 

   







 

    







 

  









 

  

 



 Vậy S = {-1/2}

0,5

0,5

0,5

5

H

N

M K

C

B

A

a/ Tứ giác ANIK có

AKI KAN ANI 90 (0 GT)

b/ Xét hai tam giác vuông AKO và IEO có:

KOA EOI

Do đó tam giác AKO đồng dạng với tam giác IEO(g-g)

AK KO

IE EO

=>AK.EO = KO.IE

0,75

c/ Ta có EHMI là hình chữ nhật.

2

;

2

IM EH

x y

AH

IK AK IM





Dấu “=” xảy ra AE = EH hay I là trung điểm của đường cao AH  x = 1 Vậy GTLN của A là 7/6.

0,5

0,5 0,5

0,5 0,5 0,5

(Lưu ý: Học sinh có cách giải khác đúng, vẫn đạt điểm tối đa)