De thi chon hsg toan 11 nam 2018 2019 truong thpt thi xa quang tri hoan chinh (1)

Chứng minh rằng dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn.. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết góc giữa hai mặt phẳng ABC

(Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút, không thể thời gian phát đềNGÀY 03 THÁNG 4 NĂM 2019

Họ và tên: ……… ………SBD:……….

Câu I.1. Giải phương trình: sin 3 cos 22 x xsin2 x0.

CâuI.2. Cho x và 1 x là hai nghiệm của phương trình: 2 2

x  x a  , x và 3 x là hai nghiệm của4 phương trình: x212x b 0 Biết rằng x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.1, , ,2 3 4 Hãy tìm a b,

Câu II.1.Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014 Chứng minh rằng:

5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k

Câu II.2.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

Câu III. Cho dãy số  u n

được xác định bởi: 1 1 2

sin

n



, với mọi n, n2 Chứng minh rằng dãy số  u n

xác định như trên là một dãy số bị chặn

Câu IV. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân tại D với

5 2

a

DC 

2 Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết

góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300

Câu V. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với A2;1 , B1; 2 

, trọng tâm G của tam

giác nằm trên đường thẳng x y – 2 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng

27

2 .

CâuVI. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: a2b2c2  Chứng minh rằng:3

      Đẳng thức xảy ra khi nào?

HẾT

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ

QUẢNG TRỊ

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGÀY 03 THÁNG 4 NĂM 2019

Thời gian làm bài: 90 phút, không thể thời gian phát đề

Họ và tên: ……… ………SBD:……….

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu I.1. Giải phương trình: sin 3 cos 22 x xsin2 x0

Lời giải

sin 3x3sinx 4sin xsinx 3 4sin x sin 1 2cos 2x  x

Vậy ta có: sin 3 cos 22 sin2  0 sin2 1 2cos 2 2.cos 2 sin2 0

sin  1 2cos 2 cos 2 1 0 sin 4cos 2 4cos 2 cos 2 1 0

sin cos 2 1 4cos 2 1 0

2













x k









Vậy nghiệm của phương trình là:  2

k

với  k .

Ta có: sin 3 cos 22 x xsin 22 x0

1 cos 6 1 cos 2

x

cos 2x cos 6 cos 2x x 1 cos 2x 0

cos 6 cos 2x x 1 0

cos8x cos 4x 2 0

2 2cos 4 cos 4 3 0

 x x 

cos 4x 1 2cos 4  x 3 0

cos 4x 1 0 2cos 4x 3 0 x

2

Câu I.2. Cho x và 1 x là hai nghiệm của phương trình: 2 x2 3x a 0, x và 3 x là hai nghiệm của4

phương trình: x212x b 0 Biết rằng x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.1, , ,2 3 4 Hãy tìm a b,

Lời giải

Tác giả: Phạm Huyền; FB: Phạm Huyền

Theo viet ta có:

1

1 2

1 2

1 2

2

(1 ) 3 (1) 3

(2)

12 (1 ) 12 (3)

(4)

x q

x x

x x a

x x a

x x b x x b

 









Từ (1) và (3) suy ra q 2 4

+ q 2 từ (3) suy ra x  , giải ra được 1 1 a2;b32

+ q 2từ (3) suy ra x  , giải ra được 1 3 a18;b288

Câu II.1.Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014 Chứng minh rằng:

5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k

Lời giải

Tác giả: Đinh Thị Phương Trâm, Facebook: trâm đinh

Ta có: (x1) (5 x1)2014 (x1)2019

Đặt M (x1)5 C50C x C x51  52 2C x53 3C x54 4C x55 5

Vì P M N nên số hạng chứa x ktrong P có dạng:

C C x C C x C C x C C x

Thay x  vào (*) ta có: 1 50 2014k 51 2014k 1 55 2014k 5 2019k

Câu II.2.Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

Lời giải

Tác giả: Vĩnh Tín, FB: Vĩnh Tín

Điều kiện xác định của phương trình: 1   x 1

Đặt t 1x2  1 x2 Khi đó t liên tục trên 1;1

và t  0

Phương trình trở thành:

2

2

t t

t

  

     



Xét

2

t t

t

  

 

 

 ta có f t( ) liên tục trên 0; 2

2 2

4 '( ) 0, 0; 2

( 2)

t t

t

 

 ( )

f t

 nghịch biến trên 0; 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực khi f( 2) 2 1 m 1 f(0)

Câu III. Cho dãy số  u n

được xác định bởi: 1 1 2

sin

n



, với mọi n, n2 Chứng minh rằng dãy số  u n

xác định như trên là một dãy số bị chặn

Lời giải

Tác giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam

Ta có:

*

2,

1 2  n   n N ,

Vì 2 2 2

1 2  n  1.2 2.3  n n.( 1)    2 2 3   n1 n   n

Bằng qui nạp ta chứng minh được: 2 2 2

sin1 sin 2 sin

n

n u

n

Suy ra :

*

Vậy dãy số  u n

xác định như trên là một dãy số bị chặn

Câu IV. Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân tại D với

5 2

a

DC 

2 Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết

góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300

Lời giải

Tác giả:Bùi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong

1)Gọi M là trung điểm BC, ta có: ABC đều nên AM BC , DBC cân nên DM BC

2) Ta có

, ,

ABC DBC BC

AM ABC AM BC

DM DBC DM BC

ïï

íï

ïî nên góc giữa hai mặt phẳng(ABC) và (BCD)

Từđó, góc giữa hai đường thẳng MA MD, bằng 30 KẻGN CD , nối AN/ /

+TH1: ·DAM bằng 300, ta có: 3,

a

MD a  MG

ABC

 đều nên

3 2

a

AM 

Áp dụng định lí cosin cho AMG :

2 .cos 30

2

2

AG æç ö æö÷÷ ç ÷

=çç ÷÷+çç ÷÷- =

÷ è ø

çè ø

ta có

có

7 3

a

AN 

Trong ANG

có

cos =

65

AGN

-.Gọi(·AG CD; )= thì a

5 cos =

65



+ TH2: ·AMD bằng 1500 Tính tương tự ta có: thì

13 cos =

7 5



Câu V. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với A2;1 , B1; 2  , trọng tâm G của tam

giác nằm trên đường thẳng x y – 2 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng

27

2 .

Lời giải

Tác giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam

Gọi M là trung điểmAB, ta có :

3 1

;

2 2

M  

  Gọi C a b ; 

, suy ra

G   d        a b  

mặt khác

: 3 5 0 ( ; )

10

a b

AB x y    d C AB   

, Diện tích

a b

S  AB d C AB       a b  

Từ (1) và (2) ta có hệ:

 

9

9; 5

;

2

a

C

a b

a

a b

C

a b

b

 























 

   

CâuVI. Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: a2b2c2  Chứng minh rằng:3

      Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lờigiải

Ta có

3

3

3



















 , vì a2b2c2 3

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:

3 a   a  3 a  a 

2 2

4



2

2 2

4

1 a 2

b c



Tương tự ta chứng minh được:

2

2

2 2

4

4

b

c a

c

a b



  

 



 

 Nhân vế theo vế các bất đẳng thức mới chứng minh ta được:

Ta xét: a22 b22a21 1  b21 1 

    a21 b21a2b23

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

a21 b21 a b 2

, 2 2 1 2

2

a b  a b

2

2

2

2

2

a b

          

 

2

3 2 1

2

a b

c



a2 2 b2 2 c2 2 3a b c2

Vậy nên 24 2 1 2 4 2 1 2 4 2 1 3 a b c 2

Dấu " " xảy ra khi a b c   1

HẾT