Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất.. Diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳ
Trang 1BÀI TOÁN DIỆN TÍCH
105 Cho parabol y = x? Hai điểm A, B di động trên parabol sao cho AB = 2 Xác định vị trí của A, B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi parabol và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất
Hướng dấn:
Có thể giả sử xạ < xạ Diện tích của phần mặt phẳng giới
hạn bởi parabol và đường thẳng AB bằng diện tích hình thang
vuông A'B'BA trừ đi diện tích của phản mặt phẳng giới hạn bởi parabol, trục hoành và 2 đường thẳng x = xạ, x = xp
GIẢI Giả sử xạ < xạ Gọi 8 là diện tích phải tìm
Ta có: S = dụ A'BBA — [" x'dx
S, = dt hinh thang A’B’AB =
Véi NA = ATA = xs’; BIB = B'B = xp?
An
hep - Xa] = x0 — Xa
=8= s04 + x])Œxy = x4)
Do đó ta có:
$= Foxk + xD) - x)- 269 =x) = dex = x9
Ta lại có: xo — xạ < AB = 2-095 4
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Xp — Xa =2 œ AT = AB © xg — xẠ =1 Vậy: Su = khi xạ =— 1, xp =1
106 06 1) Chứng tỏ hàm: F(x) 6 ham: = khix=0
0
là một nguyên hàm của hàm số: f(x) (7 khi x=0
2) Với hàm y = f(x) ở trên, hãy tính diện tích của hình chắn bởi đồ thị hàm y = f(x) và đoạn [0; 1] của trục
Ox, biết đơn vị độ dài trên Ox bằng 2cm và trên Oy bằng 8cm
Trang 2F(x) = f(x)
Hướng dấn: 1 Chứng minh rằng t 0) = #0) =0
2 Tính Í f(œ)dx
GIẢI
1) Với x >0, ta có: F(x) = —Inx-——
2 1x
F(@ = xInx+ © 2-2 =
=> F(x) = xinx + 2x8 xInx
Do đó F?Œœ) = fŒ) khi x > 0
Mặt khác, ta có: P0) = lim FŒ F0) _ uy FG9 re xeO sO x
7 lim (Zin x-=)= tim (Zinx) x30: ( 2
4) x0
1)
= lim™® 2 jim|-*| = im=® -0 =
= im 2 = lim x2 |= Bag =0= £0
Vậy: F(x) là một nguyên ham cia f(x)
2 2
2) Với mọi x e [0;1], ta có: Finx-% < 0 Do do:
1
1
S= Ệ [[tco|dx = [Fool = fins o =Ƒ2 = = (dvdt)
Hiện
107 Tính diện tích hình hữu hạn chắn bởi các đường| cong: ax =y° và ay = x? (a >0 cho trước)
Hướng dấn:
Tìm hoành độ giao điểm của hai parabol:
(P): ax = y? va (P): ay = x”,
Từ ax = y” và ay = X” = x, y >0
GIẢI
Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol: (P): ax = y?
và (P): ay = x? la:
Trang 3ae
x
Vix,y20> Vax
Do đó diện tích S phai tim là:
S = [Wax Ses (2 lands x)
0
a gt at
2
Vay: S = = (đvdt)
108 A là điểm tùy ý trên parabol y = px? (p > 0) D là
một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A
của parabol Đường thẳng D cắt parabol tại M và N
Hãy so sánh diện tích AAMN và diện tích của hình
chắn phía trên bởi đường thẳng D và phía dưới bởi
Hướng dấn:
- Gọi A (a; pa”) e Œ)
- Lập phương trình tiếp tuyến At tại A e (P)
- Lập phương trình đường thẳng D song song với At và có
tung độ gốc m
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của D và (P)
Giả sỬ xm = Xị < XN = X¿
- Tính diện tích của AAMN: Sawy = Faia, D) MN
- Diện tích hình phẳng gồm giữa D và (P): S= [* (yp ~yp)dx
GIẢI Gọi A(a; pa”) là một điểm tùy ý thuộc (P) Tiếp tuyến tại A e (P)
có phương trình:
20 + X4) = mù x ©œy=2pay - pa?
Phương trình đường thẳng D song song với tiếp tuyến At là:
Trang 4y = 2pax + m
Phương trình hoành độ giao điểm của D và (P) là:
px’ = 2pax +m
<> px” — 2pax — m = 0 (1) N
Với điều kiện: A' = p”a” + pm > 0, phương
trình (1) có 2 nghiệm phân biệt xị và xạ Giả
sit x, < xạ Đường thẳng D cắt (P) tại 2 điểm A
phân biệt M và N có hoành độ theo thứ tựlà © D/ Ha *
Xi, Xo Ta c6:
MN? = (x2 ~ 1)? + (yo — yu)? = (Xe — 1)” + (Dxe? — px)?
4(p?a? + pm) [
—
= Ga — xi [1+ pŠŒ; +x;)? | = 5
=MN = 2 pra +pm)(1 + 4p’a’)
P
Khoảng cách từ điểm A (a; pa”) dén D: 2pax — y + m = 0: °
1+ 4p’a’ |
jápa?+1 f+ 4p’a?
Diện tích tam giác AMN là:
d(A, D)=
Sam = 5 d(A, D).AM
_pa+m_ 2 ^ \(p?a? + pm) + 4p?a?)
v+á4p?a? P
vp?a” + pm(pa? + m) = : SAMN
Se
Vay: Sam = 28
109 Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các
đường: x + y = 0; x?- 2x + y =0
Hướng dấn:
Tim hoành độ giao điểm của đường thẳng D: y — x va parabol
(P): y =— x’ + 2x Suy ra diện tích 8 phải tìm
GIẢI
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng D và P
Trang 5-x?- 2x =—x
<x? - 8x =0
œx=0vx=3
Do đó diện tích S phải tìm là:
3 gu
S= [cx +3~dx = 2B
27 _ 9
=-9+ 373 (dvdt)
Vậy: S = 5 (đvảt)
110 Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường:
y=0;y =arcsinx và y = arccosx
Hướng dấn:
Cách 1: Tìm hoành độ giao điểm của các đường y = arcsinx,
y = arccosx và trục Ox Diện tích § phải tìm là tổng của hai
tích phân
Cách 2: Diện tích hình giới hạn bởi các đường y = 0,
y = arcsinx và y = arccosx cũng là diện tích của hình giới hạn bởi các đường x = 0, x = siny và x = cosy (do đối xứng
qua đường thẳng y = x)
GIẢI
Cách 1:
Các đường y = arcsinx và y = arccosx giao nhau tại điểm (2
Dé thi cdc ham y = arcsinx va
y = arceosx cắt trục Ox theo
thứ tự tại gốc O và A (x = 1)
Do đó điện tích phải tìm là:
J2/2
S= ị arcsin xdx + Í2„areeos xdx
*Tinh = [resin xdx:
Trang 6
fu = aresin x du =
Chon: 9" | ay = dx
5, Re xdx
=I= xaresinx|;#" - Ẹ
= 2 aresin® M-x? l2?
M2 a2 me 2,
* Tinh J = [yp atevos xdx
/
~dx
Chọn {0T 2reeosx _ du = =
vex
1 xdx
=> J = xarccosx lon + 5b Fy ye
= arccos1 — B arocos 2 - A= ln
v2 2, V2 -nV2 „ v2
Vay: S = (V2 - 1) (dvat)
Cách 2: Do tính đối xứng qua đường phân giác y = x của góc hợp bởi các trục tọa độ, diện tích của hình giới hạn bởi các đường: y = 0, y = aresinx và y = arecosx bằng điện tích của hình
phẳng giới hạn bởi các đường x = 0; x = siny và x = cosy
Các đô thị x = siny và x = cosy giao nhau tại điểm y = ;
Ta có: Vx e [os]: cosy > siny
Do đó diện tích phải tìm là:
S= FF (cosy -siny) ay = (siny +eosy)= 2-1
Vay: S = (J2 — U (đvdt)
Trang 7đường x = 0; y = arctanx và y = arccotx
Hướng dẩn:
Cách 1: Tìm hoành độ giao điểm của các đường:
y = arctanx, y = arccotx và trục Oy
Cách 2: Tính diện tích của hình giới hạn bởi các đường:
x = tany, x = coty va truc Ox
GIẢI
111 Tính điện tích của hình được giới hạn bởi các
Cách 1:
Đồ thị hàm số: y = arctanx va y = arccotx giao nhau tại điểm x = 1
Vx e [0;1]: arecotx > arctanx
Do đó diện tích phải tìm là:
S= f recot x arctan x)ix
*Tinh I= fare cot xdx
Chon = arccotx
dv = dx
dx
=> I= xarccotx |} + [-Š
b Ỉ 1+x?
= arecotl+ > in(1 + x°)|, =Gtgin2
*Tinh J = [ arctan xdx: Tương tự ta có:
J = xarctanx|), - (S =4q7 gine
Do đó ta có: § = I— J = In2 (đvdt)
Vậy: S = In2 (dvdt)
Cách 2: Do tính đối xứng qua đường y = x, ta có:
x/2
wd
S= i tanydy + ữ cotydy = — lncosy là + Insiny
=-ln ston
= 2In V2 = In2 (dvdt)
Trang 8
| 112 Tính diện tích của miền được giới hạn bởi các
đường: y = x và y = sinˆx + x (0 <x < m)
GIẢI
Ta c6: sin’x +x 2x Wx
Do đó diện tích phải tìm là:
S = ff (sin? x +x - x)dx = [ sin? xảx
= 1-95 2y = Lo} sin ax)
la
M1
Vậy: S = 5 (đvdt)
113 Tính điện tích của miễn được giới hạn bởi các
đường: y? = 2x và 27y? = 8(x - 1)”
Hướng dấn:
~ Chú ý đến tính đối xứng của các đường (P): y? = 2x và (C): 27y? = 8(x — 1)° qua true Ox
~ Các đường (P): y? = 2x và (C): 27y? = B(x — 1)” có 2 giao
điểm đối xứng qua Ox là (4; 2/3) và (4; -2/2)
~ Đường (P): yˆ = 2x qua gốc O: đường (C): 27y* = 8(x — 1) cắt
Ox tại điểm (1; 0) duy nhất Suy ra diện tích phải tìm
GIẢI
Các đường (P): y? = 2x và (C): 27y? = 8 (x— LỶ đều nhận trục Ox làm
trục đối xứng Chúng có 2 giao điểm đối xứng qua Ox là (4; 2/2) và
(4; -2V2)
(P) va O ; (C) c&t Ox tại điểm duy nhất (1 ; 0)
Ta có: y? = 2x oy = tV2x,x20
2y? = 8 (x— 1)” © y = +28 ƒx=m
Do đó diện tích phải tìm là:
Trang 9= aa 2 xh sẽ Zo _u#[
" "
Vậy: s = 82 (quap
114 Parabol y* = 2x chia dién tich cia hinh tron tam O|
(0; 0) bán kính 2/2 theo tỉ số nào ?
Hướng dấn:
~ Lập phương trình đường tròn tâm O bán kính R = 2/8:
x°+y?=8 œy= +V8—x?
~ Tìm các giao điểm của parabol (P): y? = 2x và đường tròn (O, 2/2 )
- Gọi 8¡ là diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi (P) và đường tròn (O) Do tính đối xứng qua Ox, diện tích S¡ gấp hai lần diện tích s của tam giác cong OAB với:
8= [J2xdx + [i ve-x?ax
A là giao điểm của (O) và Ox với xạ > 0
5,
— Tỉ số phải tìm là: 5
GIẢI
Phương trình đường tròn tâm O bán kính R = 2/8:
x°+y2=8e>y= +\j8-—x?
Phương trình hoành độ giao điểm của đường tròn tâm (O) và
parabol (P) y? = 2x là:
x°+2x= 8 © x” + 2x— 8 =0
©®x=-4vx=2 ˆ
Phương trình của cung OB là:
= v8-x?
Diện tích của tam giác cohg OBA là:
S= [ Voxdx+ (7 Va-xtdx
Trang 102
2⁄2
= x | +8 [ont tat (x = 2/8 sint)
⁄
>S,= = A+ an
Diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài (P):
S2 = Sw — Si = 8n- (7 +2n) = 6n- 3
4
2n+—
phải tìm: ĐT 3_3.+2 'Tỉ số phải tìm: Seat Đa"