ứng dụng tích phân vào bài toán diện tích

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:.

DIÊ ̣N TÍCH HÌNH PHẲNG.(y f ( x ), yg( x ) liên tục trên đoa ̣n  a;b )

1 Diện tích S của miền giới ha ̣n 1 0

y f ( x )

x a; x b





 



  



là b ( )

a

S f x dx

2 Diện tích S của miền giới ha ̣n 2

y f ( x )

D : y g( x )

x a; x b





 



  



là b ( ) ( )

a

S f x g x dx

3 Diện tích S của miền giới ha ̣n 3

x f ( y )

D : x g( y )

y a; y b





 



  



là b ( ) ( )

a

S f y g y dy

Chú ý:

+ Nếu f ( x ) không đổi dấu trên đoạn  a;b thì b ( )  b ( )

S f x dx f x dx

+ Miền phẳng  

 

4

y f ( x )

D : y g x

y h x





 



 



trong đó f ( x ) g( x ) có nghiệm x1, h( x )g( x ) có nghiệm x 3

f ( x )h( x ) có nghiệm x ,( Giả sử 2 x1x2 x3)

Khi đo ́ diê ̣n tích miền D là: 4 2     3    

x x

IV.BÀI TẬP

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm

số y = f(x); trục Ox: ( y = 0) và 2 đường thẳng x = a; x = b là S = |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑏

|𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑏 = | 𝑓 𝑥 𝑑𝑥|𝑎𝑏 công thức này chỉ đúng khi f(x) không đổi dấu trên khoảng (a;b)

Nếu f(x) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] thì |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏

Nếu f(x) < 0, ∀𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏] thì |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑏 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎𝑏

Chú ý: Nếu phương trình f(x) = 0 có k nghiệm phân biệt x1 ; x2; ….;xk trên (a;b) thì trên mỗi khoảng (a;x1), (x1; x2), …(xk; b) biểu thức f(x) không đổi dấu

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH

HÌNH PHẲNG

Khi đó tích phân S = |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑏 được tính như sau

S = |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑏 = | |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑥1 | + || |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑎𝑥1 | + …+ | |𝑓 𝑥 |𝑑𝑥𝑥𝑏

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Y = f(x) và y = g(x) và 2 đường thẳng x = a; x = b (a<b):

b ( ) ( )

a

S f x g x dx

Loại 1.Miền phẳng:

0

y f ( x )

y

x a; x b





 



  



hoă ̣c 0

y f ( x ) y

x a





 



 



hoặc

0

y f ( x ) y





 



y f ( x )

y g( x )

x a; x b





 



  



hoă ̣c

y f ( x )

y g( x )

x a





 



 



hoặc y f ( x )

y g( x )





 



Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1 y = x3 – 4x, x = -3, x= 1, y = 0

2 y = sin2x cos x, x= 0, x= 𝜋, y = 0

giải

1 Ta có diện tích cần tìm là SD = |𝑥−31 3 − 4𝑥|𝑑𝑥

Mà x3 – 4x = 0  x = 0; x = ±2 Nên ta có :

SD = |𝑥−31 3− 4𝑥|𝑑𝑥= (−𝑥−3−2 3 + 4𝑥))𝑑𝑥 + 𝑥−20 3− 4𝑥 𝑑𝑥 + −𝑥01 3+ 4𝑥 𝑑𝑥

= 12

2 Diện tích cần tính là:

SD = |𝑠𝑖𝑛0𝜋 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥|𝑑𝑥= 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

𝜋 2

0 - 𝑠𝑖𝑛𝜋𝜋 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

2

= 2/3

Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

1 y = lnx , x = 1/e; x = e và trục Ox

2 y = x(ex -1), x = -1; x = 2 và trục Ox

giải

1 Diện tích cần tính là: SD = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 − 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥11

𝑒

𝑒 1

𝑒

1 𝑒

= e – 1/e

2 Diện tích cần tính là: SD = |𝑥 𝑒−12 𝑥− 1 |𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒−12 𝑥 − 1 𝑑𝑥= e2 + 1/e- 3/2

Bài 3.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y2=2x, y=x, y=0, y=3

giải: Ta có hình phẳng giới hạn bởi các đường:

x= y2, x=y, y=0, y=3

=> S= | y2-y|dy

Xét dấu | y2

-y|trên [0;3]

Có | y2-y|=0 <=>

Bảng xét dấu:

=> S= -( y2-y)dy+ ( y2-y)dy

= ( - y2+y)dy+ ( y2-y)dy

=(- + ) + ( - )

= (- + -0) +( - ) -( - )=

2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

y= ,x+y-2=0, y=0

giải: Vẽ các đồ thị y= , y=-x+2, y=0 trên cùng một hệ trục tọa độ:

Suy ra diện tích:

S= ( -0)dx+ ((-x+2)-0)dx

= dx+ (-x+2)dx

= + ( +2x)

= ( - )+( +2.2)-( +2.1)

= +2+ -2=

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

y= , y=0, x= , x=e

giải S= | -0|dx= | |dx

Xét dấu | | trên [ ;e]

Có =0 <=> x=1

Bảng xét dấu:

=> S= - lnx.(lnx)'dx+ lnx.(lnx)'dx

= - +

= -( - )+( - ) = + =1

Bài 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y x 22x3,y0,x0,x4 b) yx34x y , 0, x 2, x4

c)   2

y x e , y , x , x d) 2 3 0 0

2

ysin x cos x y ,  , x , x

e) ln , 0, , 1

2

x

x

    f)yx x 1x3, y0

Bài 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y2 1x y2, 2 1 x 

c) y x 312 , x y x  2 d) y 1 1x y x2,  2

e) y x y ,  2 x2 f)  4 2,  2

g) y  4x x2, 23y0 h) y 4 4 ,y y2  1 x 4

Loại 2: Miền phẳng

 

 

 

y f x

y h x

:

 

 



 



Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a)      



2

x b) y x y,  2 x y, 0

c)  23 3 , 

d)y 8 3x2 ,x y2  2 9x2 ,x y x2  10

e) y x 24 ,x y 2x 7 1,x 1;x2 f) y x 24x3 ,y  x 3

g)

2

27

x

x

   h) y2 ,x y x2  24x4,y8

i) y2 2 , 2x x2y 1 0,y0

k) y  x2 6x5, y  x2 4x3, y3x15

l) y x y ,  2 x2 m) y x 24x3 ,y x 3

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) ( ) :C y x 33x23x1, tiếp tuyến vớ i (C) tại A(0; 1)



1

x

x , tiếp tuyến vớ i (C) tại A(-2; 1)

c) ( ) :P y x 24x5 và hai tiếp tuyến vớ i (P) tại A(1;2) và B(4;5)





( ) :

1

C y

x , trục Ox và tiếp tuyến của (C ) vẽ từ O