Tìm số thực mđể đồ thị hàm số C m có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoản
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán Khối AA 1 . Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y=x3- 3x2 -mx + 2 có đồ thị ( ) C m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
2. Tìm số thực mđể đồ thị hàm số ( ) C m có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình : + - =
-
4
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
ï
+
í
î
x
y
1
1
.
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân : = -
-
ò
e
e
x
8
Câu 5 (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A B C 1 1 1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB= 2, BC = 4 .Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng 1 ( ABC ) trùng với trung điểm của AC. Góc giữa hai mặt phẳng ( BCC B 1 1 ) và( ABC ) bằng 0
60 . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC .
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a b c là các số thực không âm thoả mãn , , a+ + = b c 5 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a b4 +b c4 + c a 4
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn.
Câu 7.a (1,0 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình AB: 2x+y - = 1 0 , phương trình AC: 3x+ 4y + = 6 0 và điểm M ( ) 1;3 nằm trên đường thẳng BC thoả mãn 3MB= 2 MC . Tìm toạ độ
trọng tâm G của tam giác ABC.
Câu 8.a (1,0 đ iểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hình thoi ABCD với A - ( 1; 2;1 ) , B ( 2;3; 2 ) . Tìm toạ độ các đỉnh C D , biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng : 1 2
d + = = -
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức zthoả mãn 1 +z = z-i2 +( iz - 1 ) 2 . Tính mô đun của 4
1
z
z
+ + .
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó diện tích bằng
22, đường thẳng AB có phương trình 3x+ 4y + = 1 0 , đường thẳng BD có phương trình 2x-y - = 3 0 . Tìm toạ độ các đỉnh A B C D , , ,
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho tam giá ABC, A( 0;0;3 ,) ( B 0;1;0 ,) ( C - 2;0;0 ) . Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm là H (H là trực tâm tam giác ABC ) và tiếp xúc với trục Ox.
Câu 9.b (1,0 điểm).Cho các số phức z1= cosa +i sin. a ,z2 = cosb + i sin b thoả mãn 1 2 4 3
z +z = + i . Tính
tan a+ b
HẾT
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN V NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán Khối AA 1 . Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
I/ Đáp án
Cho hàm số = y x3-3x2 -mx + 2 có đồ thị ( ) C m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
Khi m = 0 hàm số có dạng y=x3- 3x 2 + 2 có tập xác định là ¡. 0.25
Ta có: y' 3= x2 -6x=3x x ( - 2 )
y' 0 3x x 2 0 Ûx= 0; x = 2
0
y¢ > khi x < 0 hoặc x > Þ 2 hàm số đồng biến trên các khoảng ( -¥ ; 0 ) và ( 2;+¥ )
0
y¢ < khi0 <x < Þ 2 hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0 2 ; )
Hàm số đạt cực đại tại x=0Þ y CD = y( ) 0 = 2 ;
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2Þ y CT =y( ) 2 = - 2 ;
0.25
Bảng biên thiên:
y
0.25
Đồ thị:
f( x)=x^3 3x ^2 +2
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
0.25
2. Tìm số thực m để đồ thị hàm số ( ) C m có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
Câu 1
(2 điểm)
2
y¢ = x - x- m Hàm số có hai cực trị Û y¢ = 0 có hai nghiệm phân
Đáp án chính thức
(gồm 06 trang)
Trang 3Ta có 1 ( 1 ) 2 1 2
y= x- y¢ - æç + ö ÷ x + - Þ
Đường thẳng ( ) D đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị có phương trình ( ): 2 1 2
D = - ç + ÷ + -
0.25
( )
m
0.25
Tam giác OAB cân
m
+
đối chiếu điều kiện và tồn tại tam giác OAB 3
2
m
0.25
Giải phương trình : + - =
-
4
sin 2 0
2
l
x
x l
p
ì
¹ +
ï
¹
ï
Z ( ) *
2
x
x= + x = æç + x+ + ö ÷ = + x+ x
0.25
Với Đ/K ( ) * phương trình đã cho
x
-
0.25
sin 2 cos 2 1
( )
x k loai
p
p
p
p
é
ê
ê
ë
Câu 2
(1 điểm)
Vây phương trình có một họ nghiệm duy nhất : ( )
4
p
ï
+
í
î
x
y
1
1
.
Đ/K
1
0
1
3
3 0
0
0
x
y
x
x
y
y
-
ì
>
ï +
ï
- > Û
>
î
ï >
ï
ï
î
Từ phương trình ( ) 1 biến đổi ta được
( x-1) 3+3( x-1) 2+ln( x-1) ( = y+1) 3+3( y+1) 2 +ln( x + 1) ( ) 3
0.25
Xét hàm số ( ) 3 2
f t =t + t + t trên khoảng ( 0; +¥ )
t
¢ = + + > " > Þ hàm số f t ( ) đồng biến trên khoảng ( 0; +¥ )
Phương trình ( ) 3 Û f x( -1) = f y( +1) Û x- =1 y+ Û1 y=x - 2 ( ) 4
0.25
Câu 3
(1 điểm)
Thế ( ) 4 vào ( ) 2 ta được ( x-2) éëlog2( x-3) +log3 ( x-2) ù û =x + 1
0.25
Trang 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Xét hàm số ( ) 2( ) 3 ( )
1
2
x
x
+
- trên khoảng ( 3; +¥ ) ( )
trên khoảng ( 3; +¥ ) Phương trình ( ) 5 Û g x( ) =g( ) 5 Ûx= ¾¾®5 ( ) 4 y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x y = ; ) ( ) 5;3
0.25
Tính tích phân : = -
-
ò
e
e
x
8
ln
-
-
2
1
0.25
Đặt
2
-
t 3
3
e 8
8
2
1
t t
t
Câu 4
(1 điểm)
8
3
8
3
e
e
t
I
-
Cho lăng trụ ABC.A B C 1 1 1 có đáy ABC làtam giác vuông tại A , AB= 2, BC = 4 Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm của AC Góc giữa hai mặt phẳng ( BCC B 1 1 ) và( ABC ) bằng 0
60 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC
Từ gt ta có AC= BC2-AB 2 = 2 3 .
Gọi H là trung điểm của ACÞ A H 1 ^ ( ABC ) . Vẽ hình bình hành ABCE,
Vẽ HI ^ AE tại I Do( A AE1 ) ( / / BCC B 1 1 )
nên ( · ( BCCB) ( , ABC) ) = ( · ( A AE1 ) ( , ABC ) ) , ta có AE^HI AE , ^ A H 1
suy ra ( ) ( · · ( ) ( ) ) 0
0.25
Câu 5
(1 điểm)
2
ABC
30
2
AB= BCÞ ACB= = EAC (so le trong)
0
1
1 1 1 1
3
2
0.25
Trang 5Do BC / / ( A AE 1 ) , d BC AA( , 1) =d BC A AE( ,( 1 ) ) =d C A EA( ,( 1 ) ) = 2d H( , ( A EA 1 ) )
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA 1 và BC bằng 3
Cho a b c , , là các số thực không âm thoả mãn a + + = b c 5
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S=a b4 +b c4 + c a 4
Trong 3số a b c , , có 1 số nằm giữa 2 số chẳng hạn là b nên ta có
( ) ( 3 3 )
0
b c c a c b ab c S a b b c c a b a c b ac
5
4 4
( ) 2 (bđtAMGM 0.25
Câu 6
(1 điểm)
dấu bằng xẩy ra ở ( ) 2 Ûa=4;b=1;c = 0
Vậy GTLN của F a b c = ( ; ; ) 256 đạt được khi a=4,b=1,c = 0 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình AB: 2x+y - = 1 0 , phương trình AC: 3x+ 4y + = 6 0 và điểm M ( ) 1;3 nằm trên đường thẳng BC thoả mãn
3MB = 2 MC Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC
2; 3
A
( ; 2 b 1) , ( 4 2; 3 ) ( 1; 2 2 ;) ( 4 3; 3 3 )
B b - + ÎAB C c- - c ÞMBuuur= b- - b- MCuuuur = c- - c -
0.25
Do M B C thẳng hàng và , , 3MB = 2 MC nên có hai trường hợp
3
5
b
c
ì
=
ï
ï uuur uuuur
Khi đó toạ độ trọng tâm 1; 5
3
G æç - ö ÷
0.25
+TH2
3
c
ï
=
ï uuur uuuur
Khi đó toạ độ trọng tâm 7; 1
3 3
G æç - ö ÷
0.25
Câu 7a.
(1 điểm)
Vậy toạ độ trọng tâm 1; 5
3
G æç - ö ÷
è ø hoặc
7 1
;
3 3
G æç - ö ÷
Câu 8a.
(1 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hình thoi ABCD với A - ( 1; 2;1 ) , B ( 2;3; 2 ) .Tìm toạ
độ các đỉnh C D , biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng : 1 2
d + = = -
Trang 6-Gọi I( - - - 1 t; t; 2 +t) Î d Ta có IAuur =( t t; + 2; - -t 1 ,) uur IB=( t+ 3 ;t+3 ; - t )
0.25
Do ABCD là hình thoi nên 2
IA IB= Û t + t+ = Û = -t t = -
uur uur
0.25
Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên 0.25
· t= - Þ 1 I( 0;1;1) ÞC( 1;0;1 ,) ( D - - 2; 1 ; 0 )
Cho số phức zthoả mãn 1 +z = z -i2 +( iz - 1 ) 2 . Tính mô đun của 4
1
z
z
+ + Đặt z=a bi+ , ( a b , Î ¡ ) . Từ gt suy ra 1+ -a bi= a-( b+1) i2 + - - + ( b 1 ai ) 2
2
ï
ï
0.25
b
= - Þ =
é
ê
ê
ë
1 2
z= - i hoặc 1 1
0.25
Câu 9a.
(1 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22, đường thẳng AB có phương trình 3x+ 4y + = 1 0 , đường thẳng BD có phương trình 2x-y - = 3 0 Tìm toạ độ các đỉnh A B C D , , ,
Điểm B là giao giữa AB và BD ÞB ( 1; 1 - )
ABCD
SX =AB AD = . Đường thẳng AB có vtpt n = r 1 ( ) 3; 4
,AC có vtpt n =r 2 ( 2; 1 - )
1 2
1 2
2
5 5
r r
r r
r r
từ (1),(2) ÞAD= 11 , AB = 2 (3)
0.25
( ; 2 3 ,) ( ;( ) ) 11 11 (4)
5
a
DÎBBÞD a a- AD=d D AB = - Từ (3) & (4) suy ra
11a- 11 = 55 Ûa= 6 ,a = - 4
0.25
AD^ABÞAD x- y+ = ÞAæç- ö÷ I æç ö ÷
trung điểm của BD C đối xứng A qua 38 39 ;
IÞ çC æ ö ÷
0.25
Câu 7b.
(1 điểm)
· a= - Þ 4 D ( 4; 11) - - tương tự trên ta tính được 13; 11 & 28; 49
Aæç - ö÷ C æç- - ö ÷
Trong không gian với hệ toạ độOxyz cho tam giá ABC, A( 0;0;3 ,) ( B 0;1;0 ,) ( C - 2;0;0 ) . Viết phương trình mặt cầu ( ) S có tâm là H (H là trực tâm tam giác ABC ), tiếp xúc với trục Ox.
Câu 8b.
(1 điểm)
Ta có OA^OB OB, ^OC OC , ^ OA
OA^ OBC ÞOA^ BC mặt khác AH ^BCÞBC^( OAH) Þ BC^ OH
Tương tự CA^ OH từ đó OH ^ ( ABC )
0.25
Trang 7Mặt phẳng ( ) : 1 ( ) : 3 x 6 y 2 z 6 0
-
3 0; 0; 0
6 3; 6; 2
2
ABC
Qua O
vtcp u vtpt n
=
ì
ì
0.25
Toạ độ H là nghiệm hpt
2
13
; ;
13
4
13
t
x t
x
y t
H
z t
y
x y z
z
ì
= -
ï
ï
=
ì
ï = -
ï = -
ï
î
ï
ï =
î
0.25
Hình chiếu của H trên trục Ox là
; 0; 0
H æç- ö÷ÞHH = æç ö÷ +æç ö ÷ =
Mặt cầu cần tìm có tâm 6 12 4 ; ;
13 13 13
H æç- ö ÷
160
13
R = có phương trình
0.25
Cho các số phức z1= cosa+i sin. a ,z2 = cosb+ i sin b thoả mãn 1 2 4 3
z +z = + i . Tính
tan a+ b
1 2 1 2 1
2
1 1
+
0.25
2
2
1 2 1 2
7 cos
24
25 25
sin
25
ì
ï
ï
î
0.25
Câu 9b.
(1 điểm)
tan
+
Hết
