Kntt chương 5 giới hạn hàm số liên tục

Vận dụng các phép tóa giới hạn để tìm giới han của một số dãy số cơ bản.. Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn g

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 15 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THUẬT NGỮ

Giới hạn của dãy số

Các phép toán giới hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

KIẾN THỨC KĨ NĂNG

Nhận biết khái niệm giới hạn của dãy số

Giải thích một số giới hạn cơ bản

Vận dụng các phép tóa giới hạn để tìm giới han của một số dãy

số cơ bản

Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn

Nghịch lý Zeno: Achilles ( A-sin, một nhân vật trong thần thoại Hy Lap, được mô tả là có thể chạy nhanh như gió) đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng Vị trí xuất phát của Achilles

là A , cách vị trí xuất phát 1 R của rùa một quãng đường có chiều dài là a1 H.5.1

Zeno lí luận rằng, mặc dù chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa

Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến trước vị trí A2 R1 và trong khoảng thời gian này, rùa đã đến vị trí R Sau đó, Achilles phải đến được vị trí 2 A3 R2, lúc này rùa đã di chuyển đến vị trí 3

R … cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Zeno (490-429 trước Công nguyên) là một triết gia Hy Lạp, đến từ thành phố Elea ( miền nam nước Ý ngày nay) Trong số các nghịch lý của Zeno, nghịch lý Achilles đuổi rùa được coi là đã thức đẩy hình thành khái niệm giới hạn, một công cụ thiết yếu của toán học, được sử dụng để nghiên cứu các quá trinh liên quan đến sự vô hạn

1 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Cho dãy số  u n

với

 1n

n

u

n





a) biếu diễn năm số hạng đầu của dãy số trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ u đến 0 nhỏ hơn n 0,01?

Ta nói dãy số  u n

có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu u n

có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu nlim u n 0

  

hay u  khi n 0

n  

Ví dụ 1 Xét dãy số 2

1

n

u n

 Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0

Giải

Dãy số có giới hạn là 0, bởi vì 2

1

n

u n



có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi n dủ lớn.

Chẳng hạn, để u  n 0,0001

tức

4 2

1 10

n





ta cần n2 10000 n100 Như vậy, các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001

Chú ý Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

.

* 1

lim k 0

n

     

.

n

Nếu u n    và v n n 1 nlimv n 0

  

thì nlimu n 0

  

Luyện tập 1 Chứng minh rằng

 1 1

3

n n n



 





HĐ 2 Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dạy số  u n

với

 1n

n

n u

n

 



Xét dãy số  v n

xác định với v n u n  Tính 1 nlim v n

 

Ta nói dãy số  u n

có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu lim n  0

, kí hiệu nlim u n a

  

hay u n  a khi n  

Ví dụ 2: Xét dãy số  u n

với

2 1

n

n u

n





Chứng minh rằng nlimu n 2

  

Giải :

Ta có

2 1 2

n

n u

 



khi n  

Do vậy nlimu n 2

  

Nhận xét: nlimu n a

  

khi và chỉ khi lim n  0

Luyện tập 2 Cho dãy số  u n

với

3.2 1 2

n

Chứng minh rằng nlimu n 3

  

Vận dụng 1 Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5m xuống một mặt sàn Sau mỗi lần

chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng

2

3 độ cao trước đó Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần Giả sử u là độ cao (tính n

bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n Chứng minh rằng dãy số  u n

có giới hạn là 0

2 ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 3 Hình thành quy tắc tính giới hạn

Cho hai dãy số  u n và  v n với u n 2 1;v n 3 2

Tính và so sánh: lim n n

  

và nlimu n nlimv n

    

Tổng quát, ta có các quy tắc tính giới hạn sau đây:

a) Nếu nlimu n a

  

và nlimv n b

  

thì

lim n n

lim n n

lim n n

lim n n n

  

(nếu b  ) 0

b) Nếu u  với mọi n 0 n và nlimu n a

  

thì a  và 0 nlim u n a

Ví dụ 3 Tìm có:

2 2

1 lim

n

n

 

 



Giải.

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

2

1 1

1 1 lim 1 1

n

n

n

 

 

 



Nhận xét: Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của n, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn

Luyện tập 2 Tìm

2

lim

1

n

n n

 





3 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Hoạt động 4 Làm quen với việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài) Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2) Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần Gọi u u1, , , , 2 u n lần

lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu

a) Tính tổngS n u1u2 u n

b) Tìm S nlimS n

 



Cấp số nhân vô hạn  u n

có công bội q với q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn  u n

với công bội q Khi đó

1

1

1

n

q



Vì q 1 nên q  khi n   Do đó, ta có: n 0

1 1 1 lim lim

n n

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  u n

, và kí hiệu là

1 2 n

S u u  u 

Như vậy 1  1

1

u

q

Ví dụ 4 Tính tổng

1

n

S



 

        

 

Giải.

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u  và1 1 q  12.

Do đó

1

2

u S

q

  

 

Ví dụ 5 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 2, 222 dưới dạng phân số

Giải.

Ta có 2, 222 2 0, 2 0,02 0,002 2 2.10       12.1022.103

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u1 2,q 101

  nên

2, 222

1

10

u q





Luyện tập 4 Tính tổng 1

7 49 7n

Vận dụng 2 (Giải thích nghịch lí Zeno)

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc100km h , vận tốc của rùa là 1 // km h và

khoảng cách ban đầua100km

a) Tính thời gian t t1, , , , 2 t n tương ứng để Achilles đi từ A đến1 A , từ 2 A đến2 A , , từ 3 A n

đếnA n1,…

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đườngA A A A1 2, 2 3, ,A A n n1, , tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

4 GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 5 Nhận biết giới hạn vô cực

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50 Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn u sau chu kì thứn n

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số10000 ?

Nhận xét.

- Dãy số  u n

được gọi là có giới hạn  khi n   nếu u có thể lớn hơn một số dương n

bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệunlimu n

hay u   khi n   n

- Dãy số  u n

được gọi là có giới hạn   khi n   nếu lim n

, kí hiệu lim n

   

hay u    khi n   n

Theo định nghĩa trên, ta có:

+) lim

k

, với k là số nguyên dương;

+) lim

n

, với q 1 Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:

 Nếu nlimu n a

  

và nlimv n

  

(hoặc nlimv n

   

) thì

lim n 0

n n

u v

  

 Nếu nlimu n a 0

   

, nlimv n 0

  

và v  với mọi n thì n 0 lim

n n n

u

 Nếu nlimu n 

  

và nlimv n a 0

   

thì nlimu v n n 

Ví dụ. Tính lim 2 2 

  

Lời giải

Ta có

n

    

  Hơn nữa

2 lim

  

và

2

n  n

Do đó, lim 2 2 

Luyện tập 5. Tính lim 

  

BÀI TẬP

5.1. Tìm các giới hạn sau:

a)

2 2

1 lim

n

n

 

 

5.2. Cho hai dãy số không âm  u n

và  v n

với nlimu n 2

  

và nlimv n 3

  

Tìm các giới hạn sau:

a)

2 lim n

n

n n

u

v u

5.3. Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi:

a)

2 1

2 1

n

n u

n





 b) v n  2n2 1 n

5.4. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a)1, 12  1,121212 ; b) 3, 102  3,102102102

5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg Sau ngày đầu, trước mối lần uống, hàm lượng thuốc cun trong cơ thể vẫn còn 5% Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi

uống viên thuốc của ngày thứ 5 Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài

5.6. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A , có AB h  và góc B bằng H.5.3

Từ A kẻ AA1BC, từ A kẻ 1 A A1 2AC, sau đó lại kẻ A A2 3 BC Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA A A  Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và 1 2 3 

Em có biết?

Dãy số Fibonacci và tỉ lệ vàng

Ta đã biết dãy Fibonacci cho bởi hệ thức truy hồi: u1 u2 1,u n u n1u n2 với n  2

Chia hai vế cho u n1 và đặt 1

n n n

u v

u 

 , ta có công thức 1

1

n

n

v

v 

 

Dãy  v n

có giới hạn là một số dương r thoả mãn phương trình

1 1

r r

  , hay tương đương

r  r  Giải phương trình này ta được

2

r 

Đây chính là tỉ lệ vàng (golden ratio) được sử dụng trong kiến trúc, hội hoạ, tôn giáo,… Dãy Fibonacci và tỉ lệ vàng cũng xuất hiện nhiều trong thế giới tự nhiên

Dãy số logistic

Trong sinh thái học, người ta sử dụng dãy  p n

cho bởi công thức truy hồi p n1kp n1 p n để

mô phỏng hệ sinh thái của một loài (động vật hoặc thực vật), trong đó p là tỉ lệ giữa số lượng cá n

thể theo thời gian và sức chứa của môi trường, k là hệ số phụ thuộc đặc điểm của loài và điều

kiện môi trường Dãy số này được gọi là dãy logistic, do nhà sinh học Robert May đưa ra năm

1976 Tuỳ thuộc hệ số k và giá trị ban đầu p , ta có thể dự đoán sự thay đồi của hệ trong tương 0 lai Đặc biệt, trong trường hợp dãy  p n

có giới hạn là một số dương, ta nói hệ sinh thái của loài

là ổn định

(Theo Stewart, Calculus, Nhà xuất bản Cengage Learning)

BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi

công thức:

0 2 2

, 1

m m

v c



 trong đó m là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh 0 sáng

Albert Einstein (1879 - 1955)

Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

1 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

HĐ 1 Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số  

2 4 2

x

f x

x







a) Tìm tập xác định của hàm số f x .

b) Cho dãy số

2 1

n

n x

n





Rút gọn f x n

và tính giới hạn của dãy  u n

với u n f x n

c) Với dãy số  x n

bất kì sao cho x  và n 2 x  , tính n 2 f x n

và tìm limn f x n

Giả sử a b;  là một khoảng chứa điểm x và hàm số 0 yf x  xác định trên khoảng a b; ,

có thể trừ điểm x Ta nói hàm số 0 f x 

có giới hạn là số L khi x dần tới x nếu với dãy số0

 x n

bất kì, x na b x; , n  và x0 x n  x0, ta có f x n  L , kí hiệu limxx0f x  hay L

 

f x  L khi x x0.

Ví dụ 1. Cho hàm số   2 1

1

x

f x

x





 Chứng tỏ rằng  

1

1 lim

2

x f x

Lời giải

Lấy dãy số  x n

bất kì sao cho x  và n 1 x  Ta có n 1   2

n n

x

f x



Do đó lim   lim 1 1

1 2

n

n

f x

x

 Vậy 1

1 lim ( )

2

x f x

Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:

Ví dụ 2. Cho f x( ) x 1 và g x( )x3 Tính các giới hạn sau:

a) lim[3 ( )1 ( )]

b)

2

1

[ ( )]

lim

( )

x

f x

g x



Lời giải

Ta có lim ( ) lim(1 1 1) lim1 lim1 1 1 01

Mặt khác, ta thấy

3

lim ( ) lim 1

x g x x x

a) Ta có

lim[3 ( ) ( )] lim[3 ( )] lim ( ) lim3.lim ( ) lim ( ) 3.0 1 1

b) Ta có:

2 2

1

lim[ ( )] lim ( ).lim ( )

x

f x



Ví dụ 3 Tính 0

9 3 lim

x

x x



 

Lời giải

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x  nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương 0

hai hàm số

Chú ý rằng

Do đó

0

6

9 3 lim[ 9 3]

x

x



 

Luyện tập 1. Tính 1

1 lim

1

x

x x







Hoạt động 2 Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số

| 1|

( )

1

x

f x

x







- 0

lim

x x c c

với c là hằng số.

- lim0 n 0n

x x x x

với n  .

a) Nếu 0

lim ( )

x x f x L

và 0

lim ( )

x x g x M

thì 0

lim[ ( ) ( )]

x x f x g x L M

0

lim[ ( ) ( )]

x x f x g x L M

; 0

lim[ ( ) ( )]

x x f x g x L M

0

( )

lim

( )

x x

, nếu M  0

b) Nếu f x ( ) 0 với mọi x( ; ) \a b  x0 và

0

lim ( )

x x f x L

thì L  và 0 0

lim ( )

a) Cho n 1

n x

n



 và

1

n

n x n

 Tính y n f x n và y n f x n



b) Tìm giới hạn của các dãy số  y n

và  y n

c) Cho các dãy số  x n

và  x n

bất kì sao cho x n 1 x n

  và x n 1,x n 1

  , tính lim  n

n f x

 

lim n

n f x

Ví dụ 4. Cho hàm số

( )

nÕu nÕu

f x



 Tính lim ( )1

x  f x

 và lim ( )1

x  f x

Lời giải

Với dãy số  x n

bất kì sao cho 0x n  và 1 x  , ta có n 1   2

f x x

1

lim ( ) lim n 1

n

  



Tương tự, với dãy số  x n

bất kì mà 1x n 2,x n  , ta có 1 f x n x n , cho nên1

 

1

lim ( ) lim n 2

n

  

Luyện tập 2. Cho hàm số

0 ( )

0

nÕu

nÕu

f x







 Tính lim ( ), lim ( )0 0

x  f x x  f x

  và lim ( )0

x f x

2 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Hoạt động 3. Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số

2 ( ) 1

1

f x

x

 

 có đồ thị như Hình 5.4

Giả sử  x n

là dãy số sao cho x n 1,x n   Tính f x n

và tìm lim  n

n f x

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng x b0; 

Ta nói số L là giới hạn bên phải của f x( ) khi

0

x x nếu với dãy số  x n

bất kì thoả mã̃n x0 x n b và x n  x0 , ta có f x n  L

, kí hiệu 0

lim ( )

x x f x L



.

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng a x; 0

Ta nói số L là giới hạn bên trái của f x( ) khi

0

x x nếu với dãy số  x n

bất kì thoả mãn ax n x0 và x n  x0 , ta có f x n  L, kí hiệu 0

lim ( )

x x f x L







.

0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

khi vµ chØ khi

x x

f x L





Ví dụ 5. Cho

4 ( ) 2

1

f x

x

 

 Sử dụng định nghĩa, tìm xlim ( )f x

  và xlim ( )f x

  

Lời giải

Lấy dãy  x n

bất kì sao cho x  và n 1 x   , ta có n  

4 2

1

n

n

f x

x

 

 Do đó lim  n 2

n f x

Vậy xlim ( ) 2f x

Tương tự, ta cũng có xlim ( ) 2f x

Ví dụ 6. Tính

2 1 lim

x

x x

  



Giải

Ta có

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng ( ;a ) Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn là

số L khi x   nếu với dãy số  x n

bất kì, x  n a và x   n , ta có f x n  L kí hiệu lim ( )

hay f x( ) L khi x  .

- Cho hàm số yf x( ) xác định trên khoảng ( ; )b Ta nói hàm số f x( ) có giới hạn là

số L khi x    nếu với dãy số  x n

bất kì, x n b và x    n , ta có f x n  L

, kí hiệu lim ( )

hay f x( ) L khi x   .

- Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

- Với c là hằng số, ta có: lim , lim

      

.

- Với k là một số nguyên dương, ta có:

lim k 0, lim k 0

x x  x  x 

.

Luyện tập 3. Tính

2 2 lim

1

x

x x

 





Vận dụng. Cho tam giác vuông OAB với Aa;0 và B 0;1

như Hình 5.5 Đường cao OH có độ dài là h

a) Tính h theo a

b) Khi điểm A dịch chuyển về O , điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox , điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

3 GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

a) Giới hạn vô cực

HĐ4. Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực Xét hàm số f x  12

x



có đồ thị như Hình 5.6 Cho 1

n

x

n



, chứng tỏ rằng f x   n

Giả sử khoảng a b; 

chứa x và hàm số 0 yf x 

xác định trên a b;   \ x0

Ta nói hàm số

 

f x

có giới hạn  khi x x0 nếu với dãy số  x n

bất kì, x na b;   \ x0 ,x n  x0, ta có

 n

f x  

, kí hiệu  

0

lim

x x f x

Ta nói hàm số f x 

có giới hạn   khi x x0, kí hiệu  

0

lim

x x f x

, nếu

 

0

lim

x x f x

   

Ví dụ 7. Tính 1 1

1 lim

x x

Giải