Chương 1 buoi 3 ham so lien tuc

3.2 Hàm số sơ cấp: Các hàm số sơ cấp đều là những hàm số cĩ đồ thị liên tục trên miền xác định... a Hàm số fx liên tục tại điểm x → Nếu hàm khơng liên tục tại x0, ta nĩi hàm f gián đoạn

3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

3.1 Hàm số sơ cấp cơ bản:

Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản :

1) Hàm số hằng f(x)=C, x R   2) Hàm số lũy thừa f(x)=x 

3) Hàm số mũ: x; 0, 1

y = a a  a 

4) Hàm số lôgarit y=loga x, (  a )

5) Hàm số lượng giác:

f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=tanx, f(x)=cotx 6) Hàm số lượng giác ngược:

f(x)=arcsinx, f(x)=arccosx, f(x)=arctanx, f(x)=arccotx

3.2 Hàm số sơ cấp:

Các hàm số sơ cấp đều là những hàm số cĩ đồ thị liên tục trên miền xác định Khái niệm liên tục được định nghĩa như thế nào?

3

Hàm đa thức y = x + x − là hàm sơ cấp.

3

Hàm y = x + x − là hàm sơ cấp.

2 tan(3 2) 1

x y

x

−

−

Ví dụ:

3.3 Hàm số liên tục

Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số, tính:

2

2

x khi x



 x

1

b) lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? f ( ) ?

3

a) lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? f ( ) ?

x

lim f ( x ) f ( )

→ =

1

x

lim f ( x )

−

1

x

lim f ( x )

+

1

f ( ) =

1 Định nghĩa:

0

0 lim ( ) ( 0).

a) Hàm số f(x) liên tục tại điểm x

→

Nếu hàm khơng liên tục tại x0, ta nĩi hàm f gián đoạn tại x0

và x0 gọi là điểm gián đoạn của f

Hay:

0 lim ( ) lim ( ) ( )0

f(x) liên tục tại x

b) Hàm số f(x) gọi là liên tục trên (a;b)nếu nó liên tục tại x (a;b)  

c) Hàm số f(x) gọi là liên tục trên [a;b]nếu nó liên tục trên (a;b)

đồng thời liên tục phải tại a, liên tục trái tại b Tức là:

và

2 Định lý

1) Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Ví dụ 1:

2

a) f(x)=x -3x+1 là hàm sơ cấp nên liên tục trên toàn miền xác định R.

1

x b) f(x)= là hàm sơ cấp nên liên tục trên từng khoảng

xác định (- ,1), (1,+ ) và gián đoạn tại điểm x=1

x

−

−

c) f(x)=ln x − x liên tục trên toàn miền xác định (0;1).

1 ) sin 3 ln

2 là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên toàn MXĐ x>-2.

x

Ví dụ 2.

2

1

x 4x

x

x



=  −



Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=1

1

lim ( )

x f x

→

Ta cĩ: f (1) = 2,

1

Ta thấy:

'

1

1

2x

L

x→

f liên tục tại x=1



2

1

1 lim

1

x

x→ x

−

=

−

Ví dụ 3.

sin

( )

2 x a , 0

x

x

x



= 



Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x=0

0

lim ( )

x

f x

−

Ta cĩ: f (0) = a,

f liên tục tại x=0

0

lim ( )

x

f x

+

0

sin

x

x x

−

0

x

+

Ví dụ 4 Xét tính liên tục hàm số: 𝑓(𝑥) = ቐ

sin 𝑥

𝑥 , 𝑥 ≠ 0

1, 𝑥 = 0 TXĐ: D=R.

sin 𝑥

𝑥 , 𝑥 > 0

− sin 𝑥

𝑥 , x < 0

1, 𝑥 = 0

sin

Tại x=0:

x

f x

x

Vậy f(x) liên tục tai mọi x thuộc R\{0} và gián đoạn tại x = 0.

sin

Trên (0;+ f x x là hàm sơ cấp nên f ltục trên(0;+

x

sin

trên(-x

−

sin

x

f x

x

−

Ví dụ 5.

2

( )

, | | 1

f x





 Tìm a, b để hàm liên tục trên tồn TXĐ

Tập xác định: D=R

, x 1 hoặc x 1

−  





f x

Rõ ràng hàm số f(x) liên tục trên các khoảng: (− −; 1),( 1;1),(1;− +)

Để f(x) liên tục trên R thì chỉ cần nĩ liên tục tại x=1 và x=-1

lim ( )

x

f x

+

1

x

+

→

1

lim ( )

x

f x

−

→

x

x

1

lim ( )

x

f x

+

x

x

+

→−

1

lim ( )

x

f x

−

1

x

−

→−

Ta cĩ:

(1) = 1

f

( 1)− = −1

f

YCBT f(x) liên tục tại x=1 và x=-1

lim ( ) lim ( ) f(1)





1 1

+ + =



 − + + = −



1 1

=





a b

2

( )

, x 1 hoặc x 1

−  





f x

3 Tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn

1) Điểm gián đoạn loại một:

Cho x0 là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số f(x):

2) Điểm gián đoạn loại hai (điểm gián đoạn vô cùng): không phải

là loại một

Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng

4 Định nghĩa và phân loại điểm gián đoạn

Tập xác định:

Ví dụ 1.

=

Tại x=1:

Suy ra f(x) gián đoạn tại điểm x=1 và điểm này là điểm gián đoạn loại hai

Rõ ràng hàm số liên tục trên các khoảng:

1

+

−

x

f x

x

+





x

x

x

Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số:

(−;1), (1;+)

lim− ( ) lim (3− x 2) 5

f x

Tập xác định:

0

1

2



+

Xét điểm x = 0:

Vậy nên x = 0 là điểm nhảy

0

1 lim arctan

2



−

 

Ví dụ 2.

1 ( ) arctan

f x

x

= Tìm và phân loại điểm gián đoạn

Đây là hàm sơ cấp liên tục trên từng khoảng xác định và gián đoạn tại điểm x=0