117 đề hsg toán 8 thanh oai 22 23

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 2.. Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân.. Lấy một điểm O nằm trong tam giác ABC... Tìm gi

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ OLYMPIC TOÁN LỚP 8

NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 28/4/2022

Bài 1: (5,0 điểm)

1 Cho đa thức A n 39n223n15

a) Phân tích đa thức thành nhân tử

b) Chứng minh A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ.

2 Tìm x,biết: x 2020 2021 x

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho x y, là các số tự nhiên khác 0,xy, thoả mãn 2 2

5 8





xy

x y Chứng minh biểu thức

2 2



x xy y A

x xy y có giá trị nguyên.

2 Xác định các hằng số a b, sao cho đa thức f x  2x3 x2ax b chia hết cho đa thức

   2 1

Bài 3: (4,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên x y, của phương trình: x2y2 x y 2

2 Cho các số thực x y, thoả mãn x2 y2  xy9 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2 2

 

P x y

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH HBC Gọi D và E lần lượt là hình

chiếu của H trên AB AC, .

1 Chứng minh: BH2 BD AB. và CH2 CE AC.

2 Chứng minh: AC AB AH BC  và AH3 BD CE BC

3 Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân

4 Lấy một điểm O nằm trong tam giác ABC Gọi N P Q, , lần lượt là hình chiếu của O trên , ,

BC AB AC Hãy tìm vị trí của điểm O sao cho tổng 2 2 2

ON OP OQ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y,  thoả mãn x14 x14 y3

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm)

1 Cho đa thức A n 39n223n15

a) Phân tích đa thức thành nhân tử

b) Chứng minh A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ.

2 Tìm x,biết: x 2020 2021 x

Lời giải

1 Cho đa thức A n 39n223n15

a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

3 9 2 23 15

A n  n  n n5 n24n3 n5 n1 n3 

b) Chứng minh A chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ.

Vì n là số tự nhiên lẻ nên n2k1k N 

Vì k N nên k1, k2, k3là 3 số tự nhiên liên tiếp











(vì 2;3là 2 số nguyên tố cùng nhau).

2 Ta có: x 2020 2021 x

2021

2021 0

4041

2 4041

2020 2021

2

2020 2021

2020 2021

x x

VL





 













Vậy phương trình có tập nghiệm

4041 2

S  

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho x y, là các số tự nhiên khác 0, x y , thoả mãn 2 2

5 8

xy

x y  Chứng minh biểu thức

2 2

x xy y A

x xy y



  có giá trị nguyên

2 Xác định các hằng số a b, sao cho đa thức f x  2x3 x2ax b chia hết cho đa thức

Lời giải

2 2

5

8

xy

x y xy

x y    

2 2

9

x y xy

A

 

A

2 Để f x g x   

thì tồn tại q x  sao cho f x  x2 1  q x 

với   x .

Vì  1 đúng với   x nên thay x1,x1 vào  1 ,ta có:

 

3 2

2.1 1 1 0

1 0

a b f

    





Vậy a2,b1 thì f x  chia hết cho g x 

Bài 3: (4,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên x y, của phương trình: x2y2 x y 2

2 Cho các số thực x y, thoả mãn x2y2 xy9 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

2 2

P x y

Lời giải

1 x2y2 x y  2 4x24y2 4x 4y8

4x2 4x 1 4y2 4y 1 10

2x 12 2y 12 10

Vì x y,  2x1; 2y 1  Mà

2 2

2 2

1 3 10

3 1 10

  



   





 





   

 nên ta có các trường hợp:

Vậy các cặp số nguyên x y, thoả mãn là:

1; 2 ; 1; 1 ; 0; 2 ; 0; 1 ; 2; 1 ; 2; 0 ;             1; 1 ; 1; 0 

2 Ta có: x y 2 0 x y, nên x2y2 2xy x y,

2 2 2 2 2 9

vì x2y2 xy9 x2y2 2x2y2 18

2 2 18

x y

   hay P 18.

Vậy giá trị lớn nhất của P là 18.

Có: x2y2 xy 9 2x22y2 2xy18  2x2y2 2xy18

3 x y x y 18

Mà x y 2 0 x y,  3x2y2 x y 2 3x2y2 18 3 x2y2 18

3

P

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là

18

0



3 3

3

x y

x y

y

  

 

 

   

   









 



Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH HBC

Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB AC,

1 Chứng minh: BH2 BD AB. và CH2 CE AC.

2 Chứng minh: AC AB AH BC  và AH3 BD CE BC. .

3 Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân

4 Lấy một điểm O nằm trong tam giác ABC Gọi N P Q, , lần lượt là hình chiếu của O trên , ,

BC AB AC Hãy tìm vị trí của điểm O sao cho tổng ON2OP2OQ2đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

1 Chứng minh: BH2 BD AB. và CH2 CE AC.

*) Xét BHDvà BAH có:

  90o

BDH AHB

ABH chung

g.g

  

(tính chất 2 tam giác đồng dạng) BH2 BA BD.

*) Xét CHEvà CAH có:

  90o

CEH AHC

ACHchung

g.g

  

(tính chất 2 tam giác đồng dạng) CH2 CA CE.

2 Chứng minh: AC AB AH BC  và AH3 BD CE BC. .

*) ABCvuông tại A có AH BC

1

2

ABC

ABC

AB AC AH BC











*) Xét AHC và AHBcó:

  90o

AHCAHB

CAH ABH (cùng phụ với BAH )

 AHCBHAg.g 

2

Mà BH2 BA BD CH. ; 2 CA CE. Nên AH4 BA BD CE CA. . .

Lại có: BA CA AH BC  cmt

nên AH4 AH BC BD CE. . .  AH3 BC BD CE. .

3 Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE, chứng tỏ tam giác ABC vuông cân

Xét tứ giác ADHEcó:

ADH 90o HDAB

 90 gto  

DAE 

AEH  HEAC

 ADHE là hình chữ nhật (dhnb) S ADHE AD AE

Gọi O’ là giao điểm của AH và DE  O A O E O H'  '  ' O D' (t/c hình chữ nhật)

 O AE' cân tại O’  A2 E 1 (t/c tam giác cân) Mà A2 B nên  B E  1

Xét AED và ABCcó:

BACchung

  1 cmt

B E

Mà

1

2

Lại có:

AC



AC

Mà AD HE (t/c hình chữ nhật)

1 2

Xét AHC và vuông tại H có

1 2

 HE là đường trung tuyến ứng với cạnh AC Mà HE AC  gt  AHCvuông cân tại H

 ACH 45o hay ACB45o  ABCvuông tại A

4 Lấy một điểm O nằm trong tam giác ABC Gọi N P Q, , lần lượt là hình chiếu của O trên , ,

BC AB AC Hãy tìm vị trí của điểm O sao cho tổng ON2OP2OQ2đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: Tứ giác APOQ có: PAQAPOAQO90o  APOQ là hình chữ nhật

AO PQ

AP OQ AQ PO







  ON2OP2OQ2 ON2AQ2AP2

ON2PQ2 (vì AQP vuông tại A)  AQ2AP2 PQ2

Mà PQ AO  ON2OP2OQ2 ON2OA22ON OA

Dấu “ ” xảy ra khi ON OA hay O là trung điểm của AN

Mà ON BC nên AN trùng với AH hay O là trung điểm của AH

Vậy O là trung điểm của AH thì ON2OP2OQ2nhỏ nhất

2

2 2 ' ' 2

AH

ON OA O H O A AH AH

Bài 5: (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên x y,  thoả mãn x14 x14 y3

Lời giải

x14 x 14 y3 x12x12 x12 x12 y3

2x2 2 4 x y3

    8x38xy3

*) Nếu x 1 8x38x38x2x13

2x3 y3 2x 13

    vô lý vì y nguyên

*) Nếu x 1 x y,  là nghiệm nguyên của phương trình thì x;  y cũng là nghiệm của phương trình đó

Ta có: x1 do vậy cũng vô lý

*) Nếu x 0 y0

Vậy cặp số nguyên x y;  thoả mãn đẳng thức là 0;0

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =