PHẦN TRẮC NGHIỆM 6,0 điểm II... Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 2021 điểm đã cho... Xét hình tròn A;1 có tâm A bán Chỉ có hai khả năng sau c
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ BẮC GIANG
Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN THI: TOÁN - LỚP 9 Ngày thi: 04/12/2021
I PHẦN TRẮC NGHIỆM (6,0 điểm)
II PHẦN TỰ LUẬN (14,0 điểm)
Câu 1 (4,0 điểm):
Q
(với x0;x1;x4)
Hướng dẫn chấm
điển 1.a
(2.0
điểm)
với x0;x1;x4 ta có
Q
0,5
x x x x x
Trang 2
5
x Q
x
1.b
(2.0
điểm)
3
3
m m m Đường thẳng ( )d cắt trục Ox tại điểm A có tung độ bằng 0 nên
0
;0
0,5
đường thẳng ( )d cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0 nên
0;
Tam giác OAB cân khi và chỉ khi
1 1
1
2
m m
OA OB
Giá trị m 1 không thỏa mãn
2
m thỏa mãn bài toán
2
m
0,25
Câu 2 (5,0 điểm):
a) Giải phương trình 2x2 5x11x7 2x2 1
hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng 1 chứa không ít hơn 2021 điểm đã cho c) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x2 2y2 5xy x 2y 7 0
Hướng dẫn chấm
điểm 2.a
(2.0
điểm)
Điều kiện có nghiệm: x
Phương trình đã cho trở thành t2 x7t5x2 0
0,25 5
2
t
t x
0,25
Trang 3+) Với 0,25
+)
2 2
2 1
x
0,25
2
1
x
x
x x
2.b
(1,5
điểm)
Lấy A là một điểm bất kì trong số 4041 điểm đã cho Xét hình tròn A;1 có tâm A bán
Chỉ có hai khả năng sau có thể xảy ra như sau:
+ Thứ nhất: Nếu tất cả các điểm đã cho nằm trong hình tròn A;1 thì kết luận của bài toán
hiển nhiên đúng
+ Thứ hai: Tồn tại điểm B khác điểm A và B thuộc trong số các điểm đã cho, sao cho B nằm
ngoài hình tròn A;1, khi đó ta có AB 1
0.25
Xét hình tròn B;1 có tâm B bán kính 1
Ta chứng minh C phải thuộc một trong hai hình tròn A;1 hoặc B;1
và B;1 thì AC1;BC1; theo trên lại có AB 1, như vậy trong bộ ba điểm , ,A B C trong
đó không có bất kỳ 2 điểm nào có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1, điều này vô lí vì trái
đề bài
0,25
Do đó điều giả sử sai, điều này chứng tỏ hoặc C phải thuộc hình tròn A;1hoặc C thuộc
Như vậy cả 4041 điểm đã cho đều thuộc vào hình tròn A;1 hoặc B;1
40401 = 2.2020+1
Theo nguyên tắc Dirichlet, ắt phải có ít nhất một hình tròn chứa không ít hơn 2021 điểm
0,25
2.c
(1,5
điểm)
Phương trình tương đương với
0,5 0,25
Do đó ta có 4 trường hợp sau:
0,25
Trang 4+Trường hợp 1: ,(loại).
(Nếu học sinh lập bảng thì cho điểm tối đa tương ứng)
0,25
Câu 3 (4,0 điểm):
Cho tam giác ABC AB AC ngoại tiếp đường tròn O Đường tròn ( ) O tiếp xúc với
AB BC CA thứ tự tại , , E I F Vẽ đường kính IK của O Tiếp tuyến tại K của O cắt AB tại M và cắt AC tại N Gọi D là giao điểm của AK và BC
a) Chứng minh rằng: KM IB KN IC và BI CD
)
b Vẽ tia IQ là phân giác FIE (với Q FE ) OP là tia phân giác BOC (với P BC )
Chứng minh rằng OP IQ/ /
Hướng dẫn chấm
Câu
3
4 điểm
Trang 5(2,5
điểm
)
P
Q
D
N
E
F
I O A
Đặt OEOF=OK=OI=r
Ta có KM=EM; IB=EB; KN=FN;IC=FC
HS chỉ ra được MOB 900
0,5
Vậy ta có EM EB =FN FC hay KM IB KN IC
0,25
KN KM KN KM MN
KN KM KN KM MN
3.b
(1,5
điểm
)
180
0
o ABC o ACB ABC ACB
0,25
Mà ta lại có
Trang 6
OPC BOP
0
1 180
ABC ABC ACB
0
90
ABC ACB
0,25
Câu 4 (1,0 điểm): Cho ba số thực dương x y z, , thỏa mãn x2y3z 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Hướng dẫn chấm
Câu
4
điểm
Đặt a x b ; 2 ;y c3z
Từ giả thiết bài toán ta có , ,a b c0;a b c 3
HS biến đổi được
P
ab b bc c ca a
0,25
Với , ,a b c0;a b c 3Ta chứng minh:
3 3
2
11
4
b a
a b b a ab b a b a b ab a b
ab b
a b a b 2 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0,25
Chứng minh tương tự ta có
3 3 2
11
3 4
c b
b c
bc c
3 3 2
11
3 4
a c
c a
ca a
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic
- Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng