Hải dương 15 16

1 Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.. Viết phương trình của đường thẳng BC.. Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C.. Chứng minh

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang)

Câu I(2,0 điểm)

Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; 1) và có hệ số góc

là k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giả sử A, B lần lượt có hoành

độ là

1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

2) Chứng minh rằng

Câu II(3,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

4 2

1 (2 1) 1







x x y xy xy y

x y xy x

Câu III(4 điểm)

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân

đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm 2; 3

2



D , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm Viết phương trình của đường thẳng BC.

2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C Biết rằng 2m a2 m b2m c2

a) Chứng minh rằng a2£ 4 cotS A

b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác

ABC; M là trung điểm của BC Chứng minh rằng góc MGO không nhọn

Câu IV(1 điểm)

Cho a b c; ; là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 3 3

2

  

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 12 2 12 2 12

M

-Hết -Họ và tên thí sinh:……… ; Số báo danh:………

Chữ ký của giám thị 1:……… ; Chữ ký của giám thị 2:………

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm … trang)

I

Cho parabol (P): và đường thẳng (d) đi qua điểm I(0; 1) và có hệ số

góc là k Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (d) Giả sử A, B lần

lượt có hoành độ là

1) Tìm để trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên trục tung.

1,0

+ PT tương giao (d) và (P): - x2= - Ûkx 1 x2 + - =kx 1 0(*) 0,25 + (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x x vì 1; 2 D =k2+ > "4 0( )k 0,25

+ Trung điểm M của AB có hoành độ là 1 2



; M nằm trên trục

2



k

k

0,25

Theo Vi et có: x1 x2 k, x x 1 2 1

0,25

Ta có: x13 x23  (x1  x2 ) (  x1 x2 )2  x x1 2  = x1 x2 (x1x2)2 x x1 2 0,25

3 3

1 2

 x  x = k2  4(k2  1) 2 , k R Đẳng thức xảy ra khi k = 0 0,25

II

(1) 3x 1 1  5x4 2  3x2 x

5

3 1 1 5 4 2

0,25

Û

0( )

3 1 1 5 4 2











x

0,25

Nếu x>1 thì VT(*)<2<VP(*) 0,25

Nếu x<1 thì VT(*)>2>VP(*) Vậy (1) có 2 nghiệm x=0; x=1 0,25

2) Giải hệ phương trình:

4 2

1(1) (*) (2 1) 1(2)







x x y xy xy y

2 2

(*)

1



 



Đặt

2

b xy







1

a ab b





 



Hệ

(*)

Từ đó tìm ra ( ; )a b (0; 1); (1; 0); ( 2; 3)   

0,25

Với ( ; ) (0; 1)a b  ta có hệ

1 1

xy







0,25

Với ( ; ) (1; 0)a b  ta có hệ

2

1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0) 0

x y xy







0,25 Với ( ; ) ( 2; 3)a b    ta có hệ

2

2

3

xy



Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( ; )x y (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)     .

0,25

III

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6),

chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm 2; 3

2



đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm Viết phương trình của

đường thẳng BC.

1,5

Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I và bán kính IA 0,25

Đường thẳng AD đi qua A và có VTCP AD0; 152 

1;0

 

n là véc tơ pháp tuyến của AD

PT đường thẳng AD là: x 2

0,25

A’ là trung điểm cung »BC không chứa A nên IA’^BC 0,25

đường thẳng BC đi qua D và có '  52;5



A I là vecto pháp tuyến

0,25

Từ đó viết được pt đường thẳng BC là: x 2y 5 0 0,25

2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là Kí hiệu lần lượt là độ

dài của các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C Biết rằng

2m a m b m (*) c

a) Chứng minh rằng a2£ 4 cotS A

1,5

Viết được công thức các trung tuyến

0,25 (*)

2 2

2 2 2 2

Ta có 4 cot 2 sin cos

sin

A

A

=

2 cosbc A b c a

-0,25 0,25

2b) Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm

tam giác ABC; M là trung điểm của BC Chứng minh rằng góc

MGO không nhọn

1,0

Ta có

     

     

OB OC OA OC OA OB

0.25

* Mặt khác ta có

2 2

 

( trong đó R= OA = OB = OC )

Tương tự có 2  2 2  2 ; 2  2 2  2

0.25

Vậy 18 . 2 2 2 0 0

2



0.25

IV Cho a b c; ; là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn 1,0

3 3 2

  

a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

M

* Bđt phụ: Cho các số thực x, y, z > 0, a, b, c là các số thực bất kì.

Khi đó

 

2

 

Dấu bằng xảy ra khi a x b y c z

+ Dễ thấy bđt trên suy ra từ bđt Bunhia

* Vào bài chính

Ta sẽ chứng minh

M

3

P

0,25

0,25

Giả sử a b c 

2 2

2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3



Biến đổi tương tự với 2 số hạng còn lại của P

Sau đó áp dung bđt (*) ta có:

P

0,25

Ta sẽ chứng minh

2 2 2

2



a b c  4a b c  2 4a c 2  6a2 b2 c2 27

2

Bđt cuối cùng đúng, suy ra đpcm

0,25