Bài 9 độ dài đường tròn

 Kĩ năng + Vận dụng được công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn.. Công thức tính độ dài đường tròn chu vi đường tròn Độ dài đường tròn chu vi đường tròn C của một đường tròn

CHUYÊN ĐỀ BÀI 9: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN Mục tiêu

 Kiến thức

+ Trình bày được công thức tính độ dài đường tròn

+ Trình bày được cách tính độ dài cung tròn

 Kĩ năng

+ Vận dụng được công thức tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) C của một đường tròn bán kính

R được tính theo công thức: C 2 R  hoặc Cd (với d 2R).

2 Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ dài  của một cung no được tính theo

công thức: Rn

180







II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn

Phương pháp giải

Vận dụng các công thức tính độ dài đường tròn

(chu vi đường tròn) và công thức tính độ dài cung

tròn để tính toán

Ví dụ:

a) Tính độ dài cung 60° của một đường tròn có bán kính 3dm

b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính 600 mm

Hướng dẫn giải

a) Ta có n 60 , R 3dm  nên độ dài cung tròn là

 

Rn 3.60

180 180



b) Ta có d 600 mm   nên chu vi vành xe đạp

là Cd 600 mm 6dm 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Một dây AB chia đường tròn (O;R) thành hai cung mà cung này gấp ba lần cung kia.

a) Tính số đo và độ dài cung lớn

b) Tính các góc của tam giác OAB

c) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

Hướng dẫn giải

a) Gọi số đo cung nhỏ là x

Gọi số đo cung lớn là y

Theo bài ra ta có hệ phương trình

o o

o

x 90

x y 360

 



Vậy số đo cung lớn là 270° và độ dài cung lớn là

.R.270 3 R



b) Ta có AOB sñAB x 90     o

Áp dụng định lí tổng ba góc trong AOB ta có: AOB OAB OBA 180   

Mà AOB cân tại O OA O(  BR) nên  

 OAB OBA

Từ đó AOB 90 ; OAB OBA 45  o    o

c) Kẻ OH AB H AB    

Mà AOB vuông cân tại O (theo chứng minh trên) nên ta có OH 1AB

2

 (tính chất) và

AB OA OB 2R (định lí Py-ta-go).

Do đó OHR 2.

2

Ví dụ 2 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD)

Nối AC và BD cắt nhau tại K.

a) Tìm tỉ số đồng dạng của KCD với KBA

b) Cho ABC 30 ,  tính độ dài cung nhỏ AC

Hướng dẫn giải

a) Xét KCD và KBA ta có K chung;

 

KCD KBA (cùng bù ACD )

Suy ra KCDKBA g.g  

 CD  R 1

AB 2R 2

Tỷ số đồng dạng là: CD R 1

AB 2R 2 b) ABC 30 o  AOC 60  o  lAC R.

3

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho đường tròn tâm (O), bán kính R = 3cm Tính

a) Độ dài đường tròn

b) Độ dài cung tròn có số đo là 30°, 60°, 120°

Câu 2: Trong đường tròn (O;R), tính theo R độ dài cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB biết:

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB 5cm, B 60  ˆ   Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt

BC ở D

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC

b) Gọi K là trung điểm của AC Chứng minh rằng đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D

c) Tính độ dài cung nhỏ BD

Câu 4: Cho đường tròn (O) bán kính OA Từ trung điểm M của OA vẽ dây BCOA

Biết độ dài đường tròn (O) là 4π cm Tính:π cm Tính:

a) Bán kính đường tròn (O)

b) Độ dài hai cung BC của đường tròn

Câu 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Vẽ ra phía ngoài tứ giác này bốn nửa đường tròn có

đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác Chứng minh rằng tổng độ dài của hai nửa đường tròn có đường kính là hai cạnh đối diện bằng tổng độ dài hai nửa đường tròn kia

Câu 6: Cho đường tròn (O;R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác

của BAC cắt đường tròn (O) tại D Các tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại C và D cắt nhau tại E Tia

CD cắt AB tại K, đường thẳng AD cắt CE tại I.

a) Chứng minh BC // DE

b) Chứng minh AKIC là tứ giác nội tiếp.

c) Cho BC R 3 Tính theo R độ dài cung nhỏ BC của đường tròn (O;R)

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì trên BC Trên AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho

BM = BD,CM = CE Tìm vị trí của điểm M trên BC để độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE nhỏ nhất Chứng minh khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 8: Cho K là điểm chuyển động trên đường tròn tâm O đường kính MN Tìm vị trí điểm K để chu vi

MNK đạt giá trị lớn nhất

Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung

Phương pháp giải

Tính độ dài của mỗi cung theo bán kính đường

tròn và theo số đo của cung rồi so sánh các kết

quả

Ví dụ: Cho đường tròn (O) bán kính OM Vẽ

đường tròn tâm O, đường kính OM Một bán kính

OA của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') ở B Chứng minh MA và MB có độ dài bằng nhau 

Hướng dẫn giải

Ta có MOB 1MO 'B

2

 (góc nội tiếp bằng nửa góc

ở tâm cùng chắn một cung)

Giả sử MOB n thì MO B 2n ,      suy ra sñMA n ; sñMB 2n   o   o

Ta có IMA .OM.n 1

180





MB

.O M.2n OM.n

Từ (1) và (2) suy ra IMA  IMB 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C Chứng minh rằng độ dài của nửa

đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC

Hướng dẫn giải

Gọi C ,C ,C lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường1 2 3

kính AC, AB và BC

Ta có C1.AC; C2 .AB; C3 .BC

C C  AB BC .AC C

Vậy C1C2C 3

Ví dụ 2 Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp

hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 72 : 3 24π cm Tính: cm   

Độ dài mỗi cạnh của hình vuông là 72 : 4π cm Tính: 18 cm   

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là

 

24π cm Tính:

2sin 60

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là

 

18

2sin 4π cm Tính:5

Vì 8 3 9 2 nên R1R ,2 do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp

tam giác đều lớn hơn độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông Hiệu

các độ dài đó là

 

1 2 ( 1 2)

C  C 2 R  R 2 8 3 9(  2 c) m

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hình dưới: So sánh độ dài của cung AmB với độ dài đường gấp khúc AOB.

Câu 2: Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AB R 3; AC R 2  sao cho AO nằm giữa hai tia AB;

AC So sánh độ dài cung nhỏ AB, AC và BC

Bài tập nâng cao

Câu 3: Cho đường tròn (O;R).

a) Tính góc AOB biết độ dài cung AB là R

4π cm Tính:



b) Trên cung lớn AB, lấy điểm C sao cho AOC là tam giác đều và AC cắt đoạn OB Tính độ dài cung lớn AC và BC

Câu 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB Trên AB lấy hai điểm C và D (C nằm giữa A và D) Vẽ các

nửa đường trịn đường kính AC, CD, DB Chứng minh tổng độ dài của ba nửa đường trịn này bằng độ dài của nửa đường trịn đường kính AB

ĐÁP ÁN Dạng 1 Tính độ dài đường trịn, độ dài cung trịn

Câu 1.

a) Độ dài đường trịn C 2 R 6   cm 

b) Độ dài cung trịn cĩ số đo 30° là  

o o

R30

Độ dài cung trịn cĩ số đo 60° là  

o o

R60

180





Độ dài cung trịn cĩ số đo 120° là  

o o

R120

180





Câu 2.

a) Ta cĩ AB là dây cung của đường trịn (O;R) và AB R 2, suy ra AB là cạnh của hình vuơng nội

tiếp đường trịn (O;R) Gọi cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB lần lượt là AmB; AnB 

Do đĩ sđAmB 90 và   o sđ AnB360   90 270

Do đĩ IAB R90 R



ABlớn

R270 3 R I

180 4 (đvđd).

b) Ta cĩ AB là dây cung của đường trịn (O;R) và AB R 3 , suy ra AB là cạnh của tam giác đều nội

tiếp đường trịn (O;R) Gọi cung nhỏ và cung lớn tạo bởi dây AB lần lượt là AmB; AnB.

Khi đĩ sổ sđAmB 120 và   o sđ AnB360 1  20 240

Do đĩ: IAB R120 2 R



ABlớn

R240 4 R I

180 3 (đvđd).

Câu 3.

a) Ta cĩ: BDA 90  (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy ra

ADBC (điều phải chứng minh)

b) ADC vuơng tại D, suy ra DK 1AC

2

 (tính chất tam giác vuơng)

Do đó D K;AC

2

  (điều phải chứng minh)

c) IBD cân tại I có B 60 o nên IBD đều  BID 60  o

BD

5 60 5

2





Câu 4.

a) 2 R 4π cm Tính:    R 2 cm  

b) AOB 60 o (vì OAB đều) BOC 120 o

Câu 5.

Gọi M; N; P; Q lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB; BC; CD; DA với đường tròn

Đặt AM QA a; MB NB b; NC PC c; PD QD d.       

Gọi C AB  C CD  C AD  C BC 

2 2 2 2 lần lượt là nửa chu vi đường tròn

đường kính AB; CD; AD; BC, khi đó ta có:

 AB   CD 

;

 AB   CD 

a b c d

2

Tương tự ta có

 AD   BC 

a b c d

2

Câu 6.

a) AD là phân giác của BAC, suy ra D là điểm chính giữa BC

 

Mà DE là tiếp tuyến nên DEOD  2

Từ (1); (2) ta có BC / /DE (điều phải chứng minh)

b) ECD1sñCD DAC BAD,  

tiếp (điều phải chứng minh)

c) HCR 3 HOC 60  o BOC 120  o

2

BC

.R.120 2





Câu 7.

+) Xác định vị trí điểm M:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DEM

Khi đó O là giao điểm 3 đường trung trực của DEM

Vì hai tam giác BMD và CME là tam giác cân nên ta chứng

minh được O là giao điểm hai đường phân giác của góc B và

góc C của tam giác ABC, suy ra O cố định

Độ dài đường tròn ngoại tiếp DEM là C 2 OM. 

Do đó C nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất hay OM vuông góc với BC, M là trung điểm của BC +) Chứng minh khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác:

Khi đó A, O, M thẳng hàng nên BO là tiếp tuyến của đường tròn (O;OM)

Mà BM = BD; CM = CE nên AB, AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O;OM) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác DME là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 8.

Chu vi KMN là CKMN MN KM KN,  trong đó MN không đổi nên chu vi KMN đạt giá trị lớn nhất phụ thuộc vào vị trí điểm K để KM + KN đạt giá trị lớn nhất Có thể tư duy theo hướng: trong tất

cả các tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau thì tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất hoặc mở rộng hơn trong tất cả các hình chữ nhật có cùng đường chéo thì hình vuông có chu vi lớn nhất

Áp dụng định lý Py-ta-go trong KMN vuông tại K ta có:

KM KN MN

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:

2

Do đó KM + KN đạt giá trị lớn nhất bằng 2R 2 khi KM KN.

Khi đó K là điểm chính giữa MN

Dạng 2 So sánh độ dài của hai cung

Câu 1.

Ta có IAmB .R.120 2 R 1

Độ dài đường gấp khúc AOB là: d OA OB 2R 2    

Vì 3 1 3 

3



Từ (1), (2) và (3) suy ra IAmB d.

Câu 2.

Ta có AB là dây cung của đường tròn (O;R) và AB R 3, suy ra AB là cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R), suy ra

   o  

sñAB AOB 120 1

Ta có AC là dây cung của đường tròn (O;R) và AC R 2,

suy ra AB là cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O;R),

suy ra sñAC AOC 90 2   o  

   1 ; 2  sñBC 360  o sñAB sñAC 150      o

Do đó: IAB R120 2 R

AC

I

BC

R150 5R I



Vậy IAC  I BCI  AB

Câu 3.

a) Gọi x là số đo cung nhỏ AB, ta có:

x 4π cm Tính:5 AOB 4π cm Tính:5 4π cm Tính: 180

b) Vì sñAC 60 nên số đo cung lớn AC là 300°   o

Do đó IAC R300 5 R

Ta có sñBC 60  o45 105 nên số đo cung lớn BC là 255°

BC

R255 17 R

Câu 4.

Gọi C ,C ,C ,C lần lượt là độ dài của nửa đường tròn đường kính AC, CD, DB và AB.1 2 3 4π cm Tính:

Ta có:

1 2 3

Vậy C1C2C3 C 4π cm Tính: