Hh9 chủ đề 19 độ dài đường tròn diện tích hình tròn, hình quạt tròn ( 2 buổi )

Công thức tính độ dài đường tròn chu vi đường tròn Độ dài đường tròn chu vi đường tròn C của một đường tròn bán kính R được tính theo công thức: C 2 R  hoặc Cd với d 2R. 2.. Công th

HH9-CHỦ ĐỀ 19.ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN- DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN.

( 2 BUỔI ) VẤN ĐỀ 1.ĐỘ ĐÀI ĐƯỜNG TRÒN

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)

Độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) C của một đường tròn bán kính

R được tính theo công thức: C 2 R  hoặc Cd (với d 2R).

2 Công thức tính độ dài cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ dài  của một cung no được tính theo

công thức: Rn

180







B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính độ dài đường tròn, độ dài cung tròn

Phương pháp giải

Vận dụng các công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn) và công thức tính độ dài cung tròn

để tính toán

Câu 1 Một dây AB chia đường tròn (O;R) thành hai cung mà cung này gấp ba lần cung kia.

a) Tính số đo và độ dài cung lớn

b) Tính các góc của tam giác OAB

c) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

Hướng dẫn giải

a) Gọi số đo cung nhỏ là x

Gọi số đo cung lớn là y

Theo bài ra ta có hệ phương trình

o o

o

x 90

x y 360

y 3.x y 270

 



Vậy số đo cung lớn là 270° và độ dài cung lớn là

.R.270 3 R

180 2



b) Ta có AOB sñAB x 90     o

Áp dụng định lí tổng ba góc trong AOB ta có: AOB OAB OBA 180    

Mà AOB cân tại O (OA O BR) nên OAB OBA. 

Từ đó AOB 90 ; OAB OBA 45  o    o

c) Kẻ OH AB H AB    

Mà AOB vuông cân tại O (theo chứng minh trên) nên ta có OH 1AB

2

 (tính chất) và

AB OA OB 2R (định lí Py-ta-go).

Do đó OHR 2.

2

Câu 2 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD)

Nối AC và BD cắt nhau tại K

a) Tìm tỉ số đồng dạng của KCD với KBA

b) Cho ABC 30 ,  tính độ dài cung nhỏ AC

Lời giải

a) Xét KCD và KBA ta có K chung;

 

KCD KBA (cùng bù ACD)

Suy ra KCDKBA g.g 

 CD  R 1

AB 2R 2

Tỷ số đồng dạng là: CD R 1

AB 2R 2 b) ABC 30  o  AOC 60  o  lAC R.

3

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB 5cm, B 60  ˆ   Đường tròn tâm I, đường kính AB

cắt BC ở D

a) Chứng minh rằng AD vuông góc với BC

b) Gọi K là trung điểm của AC Chứng minh rằng đường tròn tâm K đường kính AC đi qua D

c) Tính độ dài cung nhỏ BD

Lời giải

a) Ta có: BDA 90  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra

ADBC (điều phải chứng minh)

b) ADC vuông tại D, suy ra DK 1AC

2

 (tính chất tam giác vuông)

Trang 2

Do đĩ D K;AC

2

  

  (điều phải chứng minh)

c) IBD cân tại I cĩ B 60  o nên IBD đều  BID 60  o

BD

5

.60 5

2

180 6





Câu 4: Cho đường trịn (O) bán kính OA Từ trung điểm M của OA vẽ dây BCOA

Biết độ dài đường trịn (O) là 4π cm Tính:π cm Tính:

a) Bán kính đường trịn (O)

b) Độ dài hai cung BC của đường trịn

Lời giải

a) 2 R 4π cm Tính:    R 2 cm  

b) AOB 60  o (vì OAB đều) BOC 120  o

 IBCnhỏ  R.120 4 cm ; IBClớn 8 cm

Câu 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (O) Vẽ ra phía ngồi tứ giác này bốn nửa đường trịn

cĩ đường kính lần lượt là bốn cạnh của tứ giác Chứng minh rằng tổng độ dài của hai nửa đường trịn

cĩ đường kính là hai cạnh đối diện bằng tổng độ dài hai nửa đường trịn kia

Lời giải

Gọi M; N; P; Q lần lượt là tiếp điểm của các cạnh AB; BC; CD; DA với đường trịn

Đặt AM QA a; MB NB b; NC PC c; PD QD d.       

Gọi C AB  C CD  C AD  C BC 

2 2 2 2 lần lượt là nửa chu vi đường trịn

đường kính AB; CD; AD; BC, khi đĩ ta cĩ:

 AB   CD 

;

 AB   CD 

a b c d

2

   

Tương tự ta cĩ

 AD   BC 

a b c d

2

   

Câu 6: Cho đường trịn (O;R) với dây cung BC cố định Điểm A thuộc cung lớn BC Đường phân giác

của BAC cắt đường trịn (O) tại D Các tiếp tuyến của đường trịn (O;R) tại C và D cắt nhau tại E Tia

CD cắt AB tại K, đường thẳng AD cắt CE tại I.

a) Chứng minh BC // DE.

b) Chứng minh AKIC là tứ giác nội tiếp

c) Cho BC R 3 Tính theo R độ dài cung nhỏ BC của đường tròn (O;R)

Lời giải

a) AD là phân giác của BAC, suy ra D là điểm chính giữa BC

 

Mà DE là tiếp tuyến nên DEOD  2

Từ (1); (2) ta có BC / /DE (điều phải chứng minh)

b) ECD 1sñCD DAC BAD,  

2 suy ra AKIC là tứ giác nội tiếp

(điều phải chứng minh)

c) HCR 3 HOC 60  o BOC 120  o

2

BC

.R.120 2

180 3





Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì trên BC Trên AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho

BM = BD,CM = CE Tìm vị trí của điểm M trên BC để độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE nhỏ nhất Chứng minh khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác MDE là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Lời giải

+) Xác định vị trí điểm M:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DEM

Khi đó O là giao điểm 3 đường trung trực của DEM

Vì hai tam giác BMD và CME là tam giác cân nên ta chứng

minh được O là giao điểm hai đường phân giác của góc B và góc C của tam giác ABC, suy ra O cố định

Độ dài đường tròn ngoại tiếp DEM là C 2 OM. 

Do đó C nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất hay OM vuông góc với BC, M là trung điểm của BC +) Chứng minh khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác:

Khi đó A, O, M thẳng hàng nên BO là tiếp tuyến của đường tròn (O;OM)

Mà BM = BD; CM = CE nên AB, AC cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O;OM) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác DME là đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 8: Cho K là điểm chuyển động trên đường tròn tâm O đường kính MN Tìm vị trí điểm K để chu

vi MNK đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

Trang 4π cm Tính:

Chu vi KMN là CKMN MN KM KN,  trong đó MN không đổi nên chu vi KMN đạt giá trị lớn nhất phụ thuộc vào vị trí điểm K để KM + KN đạt giá trị lớn nhất Có thể tư duy theo hướng: trong tất

cả các tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau thì tam giác vuông cân có chu vi lớn nhất hoặc mở rộng hơn trong tất cả các hình chữ nhật có cùng đường chéo thì hình vuông có chu vi lớn nhất

Áp dụng định lý Py-ta-go trong KMN vuông tại K ta có:

KM KN MN

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:

1.KM 1.KN 1

(  )  1 KM KN 2MN

2

KM KN 2MN 2R 2

Do đó KM + KN đạt giá trị lớn nhất bằng 2R 2khi KM KN.

Khi đó K là điểm chính giữa MN

Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung

Phương pháp giải

Tính độ dài của mỗi cung theo bán kính đường tròn và theo số đo của cung rồi so sánh các kết quả

Câu 1 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C Chứng minh rằng độ dài của nửa

đường tròn đường kính AC bằng tổng các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC

Lời giải

Gọi C ,C ,C1 2 3 lần lượt là độ dài của các nửa đường tròn đường

kính AC, AB và BC

Ta có C1.AC; C2 .AB; C3 .BC

C C  AB BC .AC C

Vậy C1C2C 3

Câu 2 Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm Hỏi độ dài đường tròn ngoại

tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Lời giải

Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều là 72 : 3 24π cm Tính: cm   

Độ dài mỗi cạnh của hình vuông là 72 : 4π cm Tính: 18 cm   

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là

24π cm Tính:

2sin 60

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông là

18

2sin 4π cm Tính:5

Vì 8 3 9 2 nên R1R ,2 do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp

tam giác đều lớn hơn độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông

Hiệu các độ dài đó là

C  C 2 R  R 2 8 3 9(  2 c) m

Câu 3: Cho đường tròn (O;R).

a) Tính góc AOB biết độ dài cung AB là R

4π cm Tính:



b) Trên cung lớn AB, lấy điểm C sao cho AOC là tam giác đều và AC cắt đoạn OB Tính độ dài cung lớn AC và BC

Lời giải

a) Gọi x là số đo cung nhỏ AB, ta có:

R Rx

x 4π cm Tính:5 AOB 4π cm Tính:5 4π cm Tính: 180

 

b) Vì sñAC 60  o nên số đo cung lớn AC là 300°

Do đó IAC R300 5 R

180 3

Ta có sñBC 60  o45 105 nên số đo cung lớn BC là 255°

BC

R255 17 R

180 12

Trang 6

Câu 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên AB lấy hai điểm C và D (C nằm giữa A và D) Vẽ

các nửa đường tròn đường kính AC, CD, DB Chứng minh tổng độ dài của ba nửa đường tròn này bằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AB

Lời giải

Gọi C ,C ,C ,C1 2 3 4π cm Tính: lần lượt là độ dài của nửa đường tròn đường kính AC, CD, DB và AB.

Ta có:

C C C AC CD DB AB C

Vậy C1C2C3 C 4π cm Tính:

VẤN ĐỀ 2 DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN, HÌNH QUẠT TRÒN.

A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Công thức tính diện tích hình tròn

- Diện tích S của một hình tròn bán kính R được

tính theo công thức: SR2

Công thức tính diện tích hình quạt tròn

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n

được tính theo công thức:

2

360

R n

S  hay

2

lR

độ dài cung n của hình quạt tròn)

Công thức tính diện tích hình viên phân

- Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một

cung và dây căng cung ấy

- Với hình tròn bán kính R, l là độ dài cung n

của hình quạt tròn

- Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AB

và dây AB là

Công thức tính diện tích hình vành khăn

- Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai

đường tròn đồng tâm

- Diện tích hình tròn O R; 1 là 2

- Diện tích hình tròn O R; 2 là 2

- Diện tích hình vành khăn là

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và các đại lượng liên quan

Trang 8

Câu 1 Cho nửa đường tròn  O đường kính AB Gọi M là điểm trên nửa đường tròn, kẻ MH

vuông góc với AB Vẽ vào phía bên trong nửa đường tròn  O các nửa đường tròn  O1 đường kính

BH, nửa đường tròn O2 đường kính AH Tính diện tích giới hạn bởi ba nửa đường tròn trên, biết

6

MH  cm, BH 4π cm Tính:cm, AH 9cm

Lời giải

2

13

gh



     

     

     

Câu 2 Cho đường tròn  O đường kính AB Lấy M thuộc đoạn AB Vẽ dây CD vuông góc với

AB tại M Giả sử AM 2cm, CD4π cm Tính: 3cm Tính

a) Độ dài đường tròn  O và diện tích đường tròn  O .

b) Độ dài cung CAD và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ

CD

Lời giải

a) Ta có ABCD tại M

2 3 2

CD

    (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

Áp dụng định lý Py-ta-go trong AMC vuông tại M ta có

 2  

2 2 2 22 2 3 4π cm Tính:

Ta lại có ACB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Áp dụng hệ thức lượng trong ACB vuông tại C đường cao CM ta có:

2

AC

AM

4π cm Tính: 8

    ; S16cm2

b) ACB vuông tại C trung tuyến CO nên 1 4π cm Tính: 

2

AOC

  đều (COAO AC 4π cm Tính:cm) AOC60  COD 120

 .4π cm Tính:.120 8  

180 3

CAD

8 4π cm Tính: 16 3

2 3

Câu 3: Cho P là điểm chuyển động trên nửa đường tròn tâm O đường kính MN 2R Hạ

PKMN, gọi r r r1, ,2 3 là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác MPN MPK NPK, , Độ dài đoạn

PK bằng bao nhiêu để r r1 2r3 đạt giá trị lớn nhất?

Lời giải

1

O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP

Tứ giác FPIO1 có ba góc vuông và PO1 là phân giác góc P  tứ giác FPIO1 là hình vuông cạnh

bằng r1

Ta có PM PN PF FM PI IN   2r1FM IN  1

Mà MF ME; NI NK  MF NI MN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Thay vào  1 ta được PM PN 2r MN1  2r1PM PN MN   

Chứng minh tương tự với MKP; NKP ta được

2

1

Cộng vế với vế của   , ,  và rút gọn ta được

2 r r r 2KP2R r r r R

Dấu " " xảy ra khi PKR

Câu 4: Cho tam giác ABC đều có trọng tâm O, cạnh 6cm Vẽ đường tròn O cm; 2  Tính diện tích

của phần tam giác nằm ngoài hình tròn  O .

Lời giải

Gọi giao điểm của đường tròn O cm; 2  và hai cạnh AB AC, lần lượt là M và N

Trang 10

Nối BO cắt AC tại E, nối AO cắt BC tại H.

BE là đường cao của tam giác đều ABC cạnh 6cm nên CE3cm BE 62 32 3 3cm

Xét tam giác OEN vuông tại E, áp dụng định lý Pitago ta có

2

2

3

BE

Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi có OA OB 2 3cm và MN 2cm (do tam giác MAN

đều)

2 3 2

AMOC

AO MN

Diện tích hình quạt tròn OMN là  

2

2

60 2

360 3

R



Đặt diện tích phần bị giới hạn bởi hai cạnh AM ; AN và MN là S AMN.

2 3

3

Gọi diện tích phần phải tính (phần kẻ sọc trên hình vẽ) là S thì

3 AMON

S  S  Squ¹t trßn OMN

Vậy diện tích phần tam giác nằm ngoài hình tròn là

   2

2

3 2 3 2 3 3 4π cm Tính:,1

3

Dạng 2: Tính diện tích hình viên phân, hình vành khăn

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Hình viên phân là phần hình tròn bao gồm giữa một cung và dây trước cung ấy Hãy tính diện

tích hình viên phân AmB theo R Biết góc ở tâm AOB 120 và bán kính hình tròn là R

Hướng dẫn giải

Kẻ đường cao OH AB H AB

Ta có AOB120  OAB OBA  30

 tam giác AHO là tam giác nửa đều

2

R

2

R

2 2 2 4π cm Tính:

AOB

q

Do đó 2 2 3 24π cm Tính: 3 3

3 4π cm Tính: 12

R

S S  S      (đvdt)

Ví dụ 2 Hình vành khăn là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm.

a) Tính diện tích S của hình vành khăn theo R1 và R2 (giả sử R1R2)

b) Tính diện tích hình vành khăn khi R110,5cm; R2 7,8cm

Hướng dẫn giải

a) Diện tích hình tròn O R; 1 là 2

Diện tích hình tròn O R; 2 là 2

Diện tích hình vành khăn là 2 2  2 2

b) Thay số S 10,52 7,82 155, 2cm2

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1: Cho hai đường tròn có cùng tâm O và có

bán kính R1 và R2 (R1R2) Các bán kính OA và

OB của đường tròn O R; 1 cắt đường tròn

O R; 2 tại A và B Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của AA và BB Chứng minh rằng

diện tích của hình ABB A  (phần gạch sọc trong

hình) bằng tích của hiệu hai bán kính với độ dài của

cung MN của đường tròn O OM; .

Bài tập nâng cao

Câu 2: Cho đường tròn  O đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của đường tròn  O và AC là dây

cung (CB) Tia phân giác của xAC cắt đường tròn  O tại D, AD và BC cắt nhau tại E Gọi K

và F lần lượt là giao điểm của BD với AC và Ax

a) Chứng minh ABE cân

b) Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi và EK vuông góc AB

Trang 12

c) Cho xAC  60 Chứng minh DB DK R2 và ba điểm O K E, , thẳng hàng Tính diện tích tứ giác

ACEF phần nằm ngoài đường tròn

Câu 3: Hãy tính diện tích hình vành khăn tạo bởi đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam

giác đều ABC cạnh 12cm

Câu 4: Cho tam giác AHB có góc H bằng 90 , góc A bằng 30 và BH 4π cm Tính:cm Tia phân giác của góc B cắt AH tại O Vẽ đường tròn O OH;  và đường tròn O OA; 

a) Chứng minh đường tròn O OH;  tiếp xúc với cạnh AB.

b) Tính diện tích hình vành khăn nằm giữa hai đường tròn trên

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1

Giả sử số đo của góc ở tâm AOB là n Ta có thể coi diện tích ABB A  là hiệu các diện tích của hai hình quạt tròn AOB và A OB  ứng với góc ở tâm n

Ta có:

2

1

360

OAB

R n



2

2

360

A OB

R n



Do đó:  2 2

360

ABB A

360

ABB A



 1 .

M là trung điểm của AA Dễ thấy: 1 2

2

Do đó độ dài cung MN bằng:



2

MN





 2 .

Từ  1 và  2 suy ra: S ABB A R1 R l2 MN

Câu 2.

a) Ta có AD là phân giác của xAC (giả thiết)  DA DC 

Do đó ABD CBD hay BD là phân giác của ABC

Lại có BD vuông góc AD (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra ABE có phân giác BD đồng thời là đường cao nên ABE cân tại B

b) Xét AFK có AD là phân giác đồng thời là đường cao nên AFK cân tại A

Do đó lại AD cũng là đường trung tuyến hay DF DK

Lại có DA DE (ABE cân tại B)

Do đó tứ giác EKAF là hình bình hành có hai đường chéo FK vuông góc AE

EKAF

 là hình thoi  EK/ /FA

Mà FA vuông góc AB nên EK vuông góc AB.

c) Ta có xAC  60 (giả thiết)  CAB xAD DAK   ABD30

Do đó ADK∽BDA (g.g) DA DK DA2 DB DK

ABD

 vuông có ABD30  DA R

Xét tam giác ABE có AC vừa là phân giác vừa là chiều cao hạ từ A

ABE

  cân tại đỉnh A ABE đều  EOAB

Mặt khác theo chứng minh câu b) thì EK AB O K E, , thẳng hàng

Ta có ABC vuông tại C có BAC30  CB R

Do đó AC AB2 BC2  4π cm Tính:R2 R2  3R2 R 3

3 3

AK

Mặt khác AFK đều (tam giác cân có AFK  60 ) 2 3

3

R

Kẻ FH AC H AC có 3 2 3 3

R

Tứ giác ACEF là hình thang do EF/ /AC (tứ giác AKEF là hình thoi)

2 3 3

3

ACEF

R

S



Ta có BAC30  BOC 60  COA 120

Khi đó hình quạt OAC có diện tích là

360 3



Kẻ đường cao OI của tam giác AOC, ta có 1

R

OI  OA (vì AOI là tam giác nửa đều)

Do đó

2

2 2 2 4π cm Tính:

AOC

Vậy 2 2 3 24π cm Tính: 3 3

3 4π cm Tính: 12

R

Gọi diện tích hình cần tính là S, ta có

2 4π cm Tính: 3 3 13 3 4π cm Tính:

5 3

R

Câu 3.

Trang 14π cm Tính: