144 đề hsg toán 8 sơn dương 2015 2016

6 điểm Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ b Gọi H là giao điểm của AE và BC.. Chứng minh ba điểm , ,D H F thẳng hàng c Chứng minh rằng đường thẳng DF

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN SƠN DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC : 2015-2016 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút

Câu 1 (4 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x x 2 x2 2x2 1

n A

n n





Câu 2 (4 điểm)

a) Cho

0

A

b) Tìm tất cả các số , ,x y z nguyên thỏa mãn: x2  y2z2  xy 3y 2z 4 0

Câu 3 (4 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên ,x y thì:

   2   3   4  4

A x y x  y x y x y y là số chính phương

b) Cho a a1, , ,2 a2016là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3

Chứng minh rằng: A a 13 a23  a20163 chia hết cho 3

Câu 4 (6 điểm)

Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba điểm , ,D H F thẳng hàng

c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm

M di động trên đoạn thẳng AB

Câu 5 (2 điểm)

Cho , ,a b c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: a b c  2 a2 b2 c2

Tính giá trị của biểu thức :

P

ĐÁP ÁN Câu 1.

a)

2

2

2 2

1

1

n

n

n n





2 1

1

n n B



Câu 2.

a) Ta có a b c   thì :0

(vì a b c   0 a b c)

0

A

b) x2  y2 z2  xy 3y 2z 4 0

2

2

3

3

y

y

Có các giá trị x y z , ,  1;2;1

Câu 3.

a) Ta có: Ax y x   2y x  3y x  4y y4

x2 5xy 4y2 x2 5xy 6y2 y4

Đặt x2 5xy5y2 t t  thì

A t y t y  y  t y  y  t x  xy y

Vì , ,x y z nên x2,5xy,5y2 x2 5xy5y2 (dfcm)

Vậy A là số chính phương

b) Dễ thấy a3  a a a   1 a1là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3

Xét hiệu:

Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3

Câu 4.

K

I

a) AME CMB cgc( ) EAM BCM

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD

AHC

 vuông tại H có HO là đường trung tuyến

DHM

  vuông tại H suy ra DHM  900

Chứng minh tương tự: MHF  900

Suy ra DHM MHF 1800, vậy 3 điểm D, H, F thẳng hàng

c) Gọi I là giao điểm của AC và DF

Ta có: DMF 900  MF DMmà IODM  IO MF/ /

Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF

Kẻ IK AB K( AB) IK là đường trung bình của hình thang ABFD

(không đổi)

Do A, B cố định nên K cố định , mà IK không đổi nên I cố định

Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB

Câu 5

a b c  2 a2 b2 c2  ab ac bc  0

     

     

1

P

a b a c b c

a b a c b c