083 đề HSG toán 8 sơn dương 2013 2014

6,0 điểm Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm , F sao cho AE AF.. Vẽ AH vuông góc với BF H thuộc BF, AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N 1 Chứng m

PHÒNG GD & ĐT SƠN DƯƠNG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 8

Câu 1 (4,0 điểm)

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x22012x2013

2 Rút gọn biểu thức sau:

A

Câu 2 (4,0 điểm)

1 Giải phương trình sau:

2x2  x 20132 4.x2  5x 20122 4 2 x2  x 2013 x2 5x 2012

2 Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn: x32x2 3x 2 y3

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Tìm đa thức ( )f x biết rằng: ( ) f x chia cho x  dư 10, ( )2 f x chia cho x  2

dư 24, ( )f x chia cho x  được thương là 5x2 4  và còn dư

2 Chứng minh rằng:

a b c b c a   c a b a b c   b a c a c b  

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm ,

F sao cho AE AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N

1) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng .

minh rằng AC 2EF

3) Chứng minh rằng : 2 2 2

AD AM  AN

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng:1

     

2

ĐÁP ÁN Câu 1.

1.1 Ta có:

2013 2012 2013

2013 2013 2013

1.2

Điều kiện:

0 2

x x











Ta có:

2

2

2

1

A

x

x

x x



1

2x



Vậy

1 2

x

A

x





với

0 2

x x











Câu 2.

2.1 Đặt

2 2

5 2012

a x x

b x x







Phương trình đã cho trở thành:

a  b  ab a b   a b  a b

Khi đó ta có:

2011

11



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

2011 11

x

2.2 Ta có:

2

y  x  x  x  x     x y

2

x  y  x  x  x     y x 

Từ  1 và  2 ta có: x y x   mà ,2 x y nguyên suy ra y x 1

Thay y x  vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được1

x  y

Vậy x y  ;   1;0

Câu 3.

3.1 Giả sử ( )f x chia cho x  được thương là 5x2 4  và còn dư ax b Khi đó : f x( )x2  4 5  xax b

Theo đề bài, ta có:

7

2



2

f x  x   x  x

f x  x  x

3.2

Ta có: a b c b c a      2c a b a b c      2 b a c a c b      2 0 (1)

Đặt

2 2 2

x z a

a b c x

x y

b c a y b

c















 Khi đó ta có:

1

1

x z x y y z y z x z x y

x z x z y z z y

=1 2 2 2 1 2 2 2 1  2 2 2

4 x  z y 4 z  y x  4 x  y z

Câu 4

M H

N

F

C D

1) Ta có: DAM ABF(cùng phụ với BAH )

AB AD gt BAF ADM  (ABCD là hình vuông)

 

ADM BAF g c g

  

,

DM AF

  mà AF AE gt( ) nên AE DM

Lại có: AE/ /DM (vì AB/ /DC)

Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác DAE 90 ( )0 gt Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật

2) Ta có ABH FAH g g( )

AB BH

AF AH

hay BC BH  AB BC AE AF; 

Lại có: HAB HBC (cùng phụ với ABH)

( )

CBH AEH c g c

  

,

CBH

EAH

2

2 2

CBH EAH

2

BC AE E

   là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD

Do đó: BD2EF hay AC2EF dfcm( )

3) Do AD CN gt Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:/ / ( ).

AD AM AD CN

Lại có: MC/ /AB gt Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có: 

MN MC AB MC

AN AB  AN MN hay

AD MC

AN MN

Pytago



dfcm

Câu 5.

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi , ,a b c   và , , x y z  ta có:0

(*)

a b c

 

 

Dấu " " xảy ra

a b c

x y z

Thật vậy, với ,a b và , x y  ta có:0

2

(**)

a b

a b

x y x y

a y b x x y xy a b





bx ay2 0

   (luôn đúng)

Dấu " " xảy ra

a b

x y

Áp dụng bất đẳng thức  ** ta có:

Dấu " " xảy ra

a b c

x y z

Ta có:  

a b c b c a  c a b ab ac bc ab ac bc    

Áp dụng BĐT (*) ta có :

1 1 1

ab ac bc ab ac bc ab bc ac

a b c

 

  (Vì abc 1) Hay

1 1 1 1 2

ab ac bc ab ac bc a b c

Mà

1 1 1

3

a b c   nên

3 2

ab ac bc ab ac bc     

2