32 đề lục nam 18 19

Cho hình chữ nhật ABCD H, và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên AC.. b Chứng minh: BM MK.. Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM BN CP, ,.. Gọi H là trực tâm của tam giác A

PHÒNG GD&ĐT LỤC NAM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 8

NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (5,0 điểm)

1 Cho biểu thức

:

A

      với x0;x1

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khi x 1

2 Chứng minh rằng:

3 3

91919 11 91919 11

91919 91908 91919 91908



3 Tìm số tự nhiên n để n 18 và n  41 là hai số chính phương

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho a b c d, , , là các số nguyên dương thoả mãn: a2c2 b2d2 Chứng minh rằng

a b c d   là hợp số

2 Cho đa thức P x   x2 x4 x6 x82034

Tìm số dư trong phép chia

 

P x cho đa thức x2  10x 19

Bài 3: (4,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số x y z, , nguyên thoả mãn: x2y2z2 xy 3y 2z4 0

2 Cho a b c, , là ba số đôi một khác nhau thoả mãn: a b c  2 a2b2c2

Tính giá trị của biểu thức:

P

Bài 4: (6,0 điểm)

1 Cho hình chữ nhật ABCD H, và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên AC Gọi

lần lượt M O K, , là trung điểm của AH HI, và CD a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O

b) Chứng minh: BM MK

2 Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM BN CP, , Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

AB BC CA



Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên x y; 

của phương trình:

x24y2 282 17x4y414y2 49

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 8

Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm)

1 Cho biểu thức

1 2 :

A

      với x0;x1

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khi x 1

2 Chứng minh rằng:

3 3

91919 11 91919 11

91919 91908 91919 91908



3 Tìm số tự nhiên n để n 18 và n  41 là hai số chính phương

Lời giải

1

a)

1 2 :

A

      với x0;x1

:

1

x x

2 2

:

1 1

x x x







:

1 1

x x x







2

1 1

x x







2 1

x x



 b)

Ta có

x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số x 1 và

1 1

x  khi x 1

Dấu “=” xảy ra khi

 

1

1 1

x

x





 



 

Vậy P  khi min 4 x 2

2

   

3 3





2 2

91919 11 91919.11

91919 11

91919 91908 91908 91919 91919 91908





2 2

91919 11 91908 91919.11 91919 11

91919 91908 91908 91919.11 91919 91908

3

Để n 18 và n  41 là số chính phương thì

2 18

n p và n 41q2 p q,  

Vì 59 là số nguyên tố nên



2 2

Thay vào n  41 ta được 882 41 841 29   2 q2 là số chính phương

Vậy n 882thì n 18 và n  41 là số chính phương

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho a b c d, , , là các số nguyên dương thoả mãn: a2c2 b2d2 Chứng minh rằng

a b c d   là hợp số

2 Cho đa thức P x   x2 x4 x6 x82034

Tìm số dư trong phép chia

 

P x cho đa thức x2  10x 19

Lời giải

1

Xét a2 b2 c2d2 a b c d    a a  1b b  1c c  1d d  1

Vì a là số nguyên dương nên a a , 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

 1 2

a a

Tương tự ta có b b 1 ; c c1 ; d d 1

đều chia hết cho 2

 1  1  1  1

là số chẵn

Ta có: a2c2 b2d2 a2b2c2d2 2b2d2

là số chẵn

Do đó a b c d   là số chẵn

Mà a b c d   2

Vậy a b c d   là hợp số

2 Cho đa thức P x   x2 x4 x6 x82034 Tìm số dư trong phép chia

 

P x cho đa thức x2  10x 19

   2  4  6  8 2034  2 10 16  2 10 24 2034

Đặt tx210x19

   3  5 2034 2 2 2019

Do đó t22t2019chia cho t có số dư là 2019

Vậy P x  cho đa thức x2  10x 19 có số dư là 2019

Bài 3: (4,0 điểm)

1 Tìm tất cả các số x y z, , nguyên thoả mãn: x2 y2 z2 xy 3y 2z4 0

2 Cho a b c, , là ba số đôi một khác nhau thoả mãn: a b c  2 a2b2c2

Tính giá trị của biểu thức:

P

Lời giải

1

2

y

2

y

Phương trình

 

2

y









Vậy x y z , ,  1;2;1

2

a b c  2 a2b2c2  ab ac bc  0

P

a b a c b c

a b a c b c

Bài 4: (6,0 điểm)

1 Cho hình chữ nhật ABCD H, và I lần lượt là hình chiếu của B và D trên AC Gọi

, ,

a) Chứng minh: B đối xứng với D qua O b) Chứng minh: BM MK

2 Cho tam giác nhọn ABC nhọn có đường cao AM BN CP, , Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

AB BC CA



Lời giải

1

a) Ta có tứ giác BHDI là hình bình hành (vì

/ /







Có O là trung điểm của HI nên O cũng là trung điểm của BD Vậy B đối xứng với D qua O

b)

Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BH tại N

  và N là trung điểm của BH

MN

 là trung bình của AHB

/ / 1 2





 





Ta có:

// //

1 2







 nên MNCK là hình bình hành  CN MK//  1

Tam giác BMC có N là trực tâm  CN BM  2

Từ  1 và  2 suy ra BM MK

2

Vẽ CxCP Cx AP// Gọi D là điểm dối xứng của A qua Cx

Ta có



/ /

90

AB Cx









ACD

 có Cx vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ACD cân tại C

Ta có tứ giác APCI là hình chữ nhật (vì PAIAPC PCI 90 )

AI CP

MàAD2AInên AD2CP

Xét 3 điểm B C D, , ta có: BD BC CD 

ABD

 vuông tại A nên: AB2AD2 BD2 AB2AD2BC CD 2

Tương tự: 4AM2 AB AC 2 BC2

4BN2 AB BC 2 AC2 Công vế theo vế ta được: 4 AM 2BN2CP2AB BC AC  2

Vậy

AB BC CA



Bài 5: (1,0 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên x y; 

của phương trình:

x24y2282 17x4y414y249

Lời giải

2 4 2 28 17 4 4 14 2 49 2 4 2 7 17 4 2 7

Sử dụng bất đăng thức Bunhiacovski ta có:

x24 y27 2 1242x4y272  x24y27 2 17x4y272

Dấu “=” xảy ra khi 4x2 y2 7 2x y  2x y  7

Vì x y  ; nên

x y

  





 

 , chúng đều có giá trị nguyên nên ta suy được



Vậy phương trình có một nghiệm là 2;3

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =