Toan 9 thanh thuy (19 20)

Một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo với mặt nước biển một góc 21 0 tham khảo hình bên.. Khi tàu chuyển động xuống theo phương lặn một thời gian thì

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2019-2020 - MÔN:TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có: 03 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng

Câu 1 Kết quả rút gọn biểu thức  2

2 2

3 2

4

x y P







, với x < y < 0 là

A 3

x y B 3

x y



 C 3

y x D



3

x y.

Câu 2 Cho M 3 2 532 5 M là nghiệm của phương trình

A M33M 5 B M32M 4 C M33M4 D 2M33M 5

Câu 3 Cho x0y thỏa mãn x2 3y2 2xy Giá trị của bthức

2 2

2

E



A  8 B 8

9

 C 9

8 D -14.

Câu 4 Biểu thức x 2 x 3 đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng

A 5 B 4. C 3 D 2

Câu 5 Giá trị lớn nhất của biểu thức M = 10 x x 1 bằng

A 26. B 10 C 25 D 1.

Câu 6 Cho x33 2 2 33 2 2 ; y317 12 2  317 12 2

Giá trị của biểu thức P x 3y3 3x y  26 là

A 46 B 56 C 66 D 16

Câu 7 Kết quả rút gọn của biểu thức 1 1 1

A 9

10 B

11

10 C

1

10 D

16

10.

Câu 8 Số các giá trị nguyên của x thỏa mãn 2x 1  5  2 là

A 25 B vô số C 3. D 24.

Câu 9 Đa thức f(x) nếu chia cho x  2 thì dư 3; nếu chia cho x  3 thì dư 4 Khi chia f(x) cho x 3 x 2 có dư là

A 2x 7. B 2x  6. C x 1 D x 1.

Câu 10 Số dư của phép chia đa thức x1 x3 x5 x7 2025 cho đa thức

x x là

A 2000 B 2005 C 2010 D 2020.

Câu 11 Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH Biết NH = 5cm; HP = 9cm Độ dài MH là

A 3 5 cm B 7cm C 4,5cm D 4 cm.

Câu 12 Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn 1 1 1

AD AB AC  Khẳng

định đúng trong các khẳng định sau là:

A ABCđều B BAC 60 0 C BAC 90 0 D BAC 120 0

Đề chính thức

Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BE, trực tâm H Hệ thức đúng là

AD

 B tan tanB C AD

HD

 C tan tanB C HB

BE

 D.tan tanB C BE

BH

Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại A có sin 3

5

B  Khi đó sin C bằng

A 0 , 4 B 0 , 6 C 0,8 D 3

Câu 15 Cho tam giác ABC,  0  0

2cm

BE  Vẽ ED song song với AB (D thuộc AC) Hệ thức đúng là

3

AC  AD  B 2 2

4

C 12 1 2 2

3

AC  AD  D 12 12 4

3

Câu 16 Một tàu ngầm đang ở trên mặt biển

bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo

với mặt nước biển một góc 21 0 (tham khảo

hình bên) Khi tàu chuyển động xuống theo

phương lặn một thời gian thì thủy thủ trên

tàu quan sát một ngọn hải đăng cao 250m và

nhận thấy: vị trí tàu tạo với đỉnh và chân

ngọn hải đăng góc 0

30 , tạo với vị trí tàu bắt đầu lặn và đỉnh ngọn hải đăng một góc vuông Quãng đường mà tàu chuyển động được theo phương lặn tới thời điểm quan sát gần bằng

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn :

125 a b c   5a b c   5b c a   5c a b  48 Tính giá trị của biểu thức P5 3 a2b 3b2c 3c2a1995

b) Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 2n n   1 9 không chia hết cho 3 Chứng minh rằng 5n2 n 8 không là số chính phương

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 5 3  x2 3x 26x45

b) Chứng minh rằng 1 2 là số vô tỉ

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn với AB AC , AD là đường phân giác trong Đường thẳng

qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E Đường thẳng qua B song song với

AD cắt trung trực của AB tại G; I là giao điểm của BE và CG

a) Chứng minh rằng AB AE AC AG và ID GB/ / .

b) Dựng đường cao AH của ABC ( AH HC), gọi P là trung điểm của HC Đường thẳng qua P vuông góc với AC cắt đường thẳng qua C và vuông góc với BC tại Q; đường thẳng qua P vuông góc với QA cắt cạnh AC tại R Chứng minh rằng , ,Q R H thẳng hàng.

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số thực dương , a b thỏa mãn b2 ; 6a a2 7b2 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức Q 5b 2ab b2 2a 7b2 6a2

b

HẾT

250 m

21°

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2019-2020 - MÔN: TOÁN

B Đáp án và thang điểm

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Chứng minh được hằng đẳng thức :

x y z  3 x3y3z33x y y z z x        0,25 đặt x5a b c y  ; 5b c a z  ; 5c a b  , ta có

x y z   a b c   b c a   c a b   a b c  và

0,25

Giả thiết trở thành: x y z  3x3 y3z348 (1) 0,25

Do x y z  3 x3y3z33x y y z z x       

(1)  3x y y z z x        48  3.2.2.2 3 a2b 3b2c 3c2a 48

3a 2b 3b 2c 3c 2a 2

0,5

b) Theo giả thiết kiện 2n n   1 9 không chia hết cho 3 nên 2n n  3  1 0,25

Vì (2,3) = 1 nên n n  3 1  n3k1,k N  0,5

5n   n 8 5 3k1 3k  1 8 45k 33k14 chia 3 dư 2

0,5

Vì số chính phương chia 3 không thể dư 2 nên 5n2  không thể là số cphươngn 8 0,25

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Đk: 45

26

x Phương trình  3x 5  26x45 5 x2 0 0,25

x

x

 

5 0

1

x









Vì vế trái của phương trình (*) luôn dương nên phương trình (*) vô nghiệm

5

x

0,75

b) Trước tiên, ta chứng minh 2 là số vô tỉ.

Thật vậy, giả sử 2 là số hữu tỉ Khi đó 2 m,m n N, *;m n,  1

n

 

      (vì 2 là số nguyên tố)  m2 ,k k N *(2)

Thay m2kvào (1), ta có : 4k2 2n2 n2 2k2  n22 n (vì 2 là số 2

nguyên tố) n2 ,h h N * (3)

Từ (2) và (3) suy ra ,m n có ước là 2, điều này vô lí vì m n ,  1.

Giả sử 1 2 là số hữu tỉ khi đó 1 2 m m,  

Suy ra  2 2

1 2 m  2m2   1 .

Điều này vô lí vì 2 là số vô tỉ Vậy ta có điều cần chứng minh

0,75

Câu 3 (4,0 điểm)

Hình vẽ

I

G

E

B

A

a) Chỉ ra được hai tam giác ABG cân tại G và ACE cân tại E. 0,25

Vì hai tam giác ABG và ACE cân có góc ở đáy bằng nhau nên chúng đồng dạng

Vì ABG ∽ ACE nên AB AG AB AE AC AG

0,75

*) Chứng minh ID GB/ / .

Vì BG // CE, ABG ∽ ACE, AD là phân giác trong nên ta có:

IG BG AB DB

IC CE AC DC

0,75

b) Gọi giao điểm của đường thẳng PQ và AH là S

SHP QCP cgv gnk

Suy ra HS CQ .

Do đó tứ giác SHQC là hình bình hành

Suy ra QH / /CS

0,75

Chứng minh được R là trực tâm của APQ ; P là trực tâm của SAC

Suy ra QRAP (1) và CS AP

Mà QH / /CS  APQH(2)

0,75

Câu 4 (1,5 điểm)

S

R

Q

P

H

C B

A

Nội dung Điểm

Do 0 b 2 ;6a a27b2 nên 1 7

a b

Ta có Q 5b 2ab b2 2a 7b2 6a2

b



2

2

5 2a 1 a 7 6 a 5 2x 1 x 7 6x

 

 

a

b

0,5

2

Từ đây suy ra

6 2

0,5

Dấu ``=`` xảy ra khi x 1 a b

Vậy MaxQ 6 a b .

0,25

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC: 2019-2020 MÔN:TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có: 03 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng

Câu 1 Kết quả rút gọn biểu thức  2

2 2

3 2

4

x y P







, với x < y < 0 là

A 3

x y B 3

x y



 C 3

y x D



3

x y.

Câu 2 Cho M 3 2 532 5 M là nghiệm của phương trình

A M33M 5 B M32M 4 C M33M4 D 2M33M 5

Câu 3 Cho x0y thỏa mãn x2 3y2 2xy Giá trị của biểu thức

2 2

2

E





bằng

A  8 B 8

9

 C 9

8 D -14.

Câu 4 Biểu thức x 2 x 3 đạt giá trị nhỏ nhất khi x bằng

A 5 B 4. C 3 D 2

Câu 5 Giá trị lớn nhất của biểu thức M = 10 x x 1 bằng

A 26. B 10 C 25 D 1.

Giá trị của biểu thức P x 3y3 3x y  26 là

A 46 B 56 C 66 D 16

Câu 7 Kết quả rút gọn của biểu thức 1 1 1

A 9

10 B

11

10 C

1

10 D

16

10.

Đề chính thức

Câu 8 Số các giá trị nguyên của x thỏa mãn 2x 1  5  2 là

A 25 B vô số C 3. D 24.

Câu 9 Đa thức f(x) nếu chia cho x  2 thì dư 3; nếu chia cho x  3 thì dư 4 Khi chia f(x)

cho x 3 x 2 có dư là

A 2x 7. B 2x  6. C x 1 D x 1.

Câu 10 Số dư của phép chia đa thức x1 x3 x5 x7 2025 cho đa thức

x x là

A 2000 B 2005 C 2010 D 2020.

Câu 11 Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MH Biết NH = 5cm; HP = 9cm Độ

dài MH là

A 3 5 cm B 7cm C 4,5cm D 4 cm.

Câu 12 Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn 1 1 1

AD AB AC  Khẳng

định đúng trong các khẳng định sau là:

A ABCđều B BAC 60 0 C BAC 90 0 D BAC 120 0

Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD và BE, trực tâm H Hệ thức đúng là

AD

 B tan tanB C AD

HD

 C tan tanB C HB

BE

 D.tan tanB C BE

BH

Câu 14 Cho tam giác ABC vuông tại A có sin 3

5

B  Khi đó sin C bằng

A 0 , 4 B 0 , 6 C 0,8 D 3

Câu 15 Cho tam giác ABC,  0  0

2cm

BE  Vẽ ED song song với AB (D thuộc AC) Hệ thức đúng là

A 1 2 1 2 1

3

AC  AD  B 12 12 3

4

C 12 1 2 2

3

AC  AD  D 12 12 4

3

Câu 16 Một tàu ngầm đang ở trên mặt biển

bỗng đột ngột lặn xuống theo phương tạo

với mặt nước biển một góc 21 0 (tham khảo

hình bên) Khi tàu chuyển động xuống theo

phương lặn một thời gian thì thủy thủ trên

tàu quan sát một ngọn hải đăng cao 250m và

nhận thấy: vị trí tàu tạo với đỉnh và chân ngọn hải đăng góc 300, tạo với vị trí tàu bắt đầu

lặn và đỉnh ngọn hải đăng một góc vuông Quãng đường mà tàu chuyển động được theo

phương lặn tới thời điểm quan sát gần bằng

250 m

21°

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn :

125 a b c   5a b c   5b c a   5c a b  48 Tính giá trị của biểu thức P5 3 a2b 3b2c 3c2a1995

b) Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 2n n   1 9 không chia hết cho 3 Chứng minh rằng 5n2 n 8 không là số chính phương

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 5 3  x2 3x 26x45

b) Chứng minh rằng 1 2 là số vô tỉ

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn với AB AC , AD là đường phân giác trong Đường thẳng

qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E Đường thẳng qua B song song với

AD cắt trung trực của AB tại G; I là giao điểm của BE và CG

c) Chứng minh rằng AB AE AC AG và ID GB/ / .

d) Dựng đường cao AH của ABC ( AH HC), gọi P là trung điểm của HC Đường thẳng qua P vuông góc với AC cắt đường thẳng qua C và vuông góc với BC tại Q; đường thẳng qua P vuông góc với QA cắt cạnh AC tại R Chứng minh rằng , ,Q R H thẳng hàng

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số thực dương , a b thỏa mãn 2 2

2 ; 6 7

b a a  b Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức Q 5b 2ab b2 2a 7b2 6a2

b

HẾT

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2019-2020 MÔN: TOÁN

Hướng dẫn chấm có: 05 trang

A Một số chú ý khi chấm bài

Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải Thí sinh giải cách khác

mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

B Đáp án và thang điểm

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho , ,a b c là các số thực thỏa mãn :

125 a b c   5a b c   5b c a   5c a b  48 Tính giá trị của biểu thức P5 3 a2b 3b2c 3c2a1995

b) Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 2n n   không chia hết cho 3. 1 9

Chứng minh rằng 5n2  không là số chính phương.n 8

a) Chứng minh được hằng đẳng thức :

x y z  3 x3y3z33x y y z z x        0,25

0,25

đặt x5a b c y  ; 5b c a z  ; 5c a b  , ta có

x y z   a b c   b c a   c a b   a b c  và

Giả thiết trở thành: x y z  3x3 y3z348 (1) 0,25

Do x y z  3 x3y3z33x y y z z x       

(1)  3x y y z z x        48  3.2.2.2 3 a2b 3b2c 3c2a 48

3a 2b 3b 2c 3c 2a 2

0,5

b) Theo giả thiết kiện 2n n   1 9 không chia hết cho 3 nên 2n n  3  1 0,25

Vì (2,3) = 1 nên n n  3 1  n3k1,k N  0,5

5n   n 8 5 3k1 3k  1 8 45k 33k14 chia 3 dư 2 0,5

Vì số chính phương chia 3 không thể dư 2 nên 5n2  không thể là số chính n 8

phương

0,25

Câu 2 (3,5 điểm)

a) Giải phương trình 5 3  x2 3x 26x45

b) Chứng minh rằng 1 2 là số vô tỉ

a) Đk: 45

26

x Phương trình  3x 5  26x45 5 x2 0 0,25

x

x

 

5 0

1

x









Vì vế trái của phương trình (*) luôn dương nên phương trình (*) vô nghiệm

5

x

Vậy nghiệm của PT là x = 5 0,25 b) Trước tiên, ta chứng minh 2 là số vô tỉ

Thật vậy, giả sử 2 là số hữu tỉ Khi đó 2 m,m n N, *;m n,  1

n

 

      (vì 2 là số nguyên tố)  m2 ,k k N *(2)

Thay m2kvào (1), ta có : 4k2 2n2 n2 2k2  n22 n (vì 2 là số 2

nguyên tố) n2 ,h h N * (3)

Từ (2) và (3) suy ra ,m n có ước là 2, điều này vô lí vì m n ,  1.

Vậy ta có 2 là số vô tỉ

0,75 Giả sử 1 2 là số hữu tỉ khi đó 1 2 m m,  

Suy ra  2 2

1 2 m  2m2   1 .

Điều này vô lí vì 2 là số vô tỉ

Vậy ta có điều cần chứng minh

0,75

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC, AD là đường phân giác trong Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực của AC tại E Đường thẳng qua B song song với AD cắt trung trực của AB tại G; I là giao điểm của BE và CG

a) Chứng minh rằng AB AE AC AG và ID GB/ / .

b) Dựng đường cao AH của ABC ( AH HC), gọi P là trung điểm của HC Đường thẳng qua P vuông góc với AC cắt đường thẳng qua C và vuông góc với BC tại Q; đường thẳng qua P vuông góc với QA cắt cạnh AC tại R Chứng minh rằng Q, R, H thẳng hàng

Hình vẽ

G

E

B

A

a) Chỉ ra được hai tam giác ABG cân tại G và ACE cân tại E. 0,25

Vì hai tam giác ABG và ACE cân có góc ở đáy bằng nhau nên suy ra chúng đồng

dạng

Vì ABG ∽ ACE nên AB AG AB AE AC AG

0,75

*) Chứng minh ID GB/ / .

Vì BG // CE, ABG ∽ ACE, AD là phân giác trong nên ta có:

IG BG AB DB

IC CE AC DC

0,75

b) Gọi giao điểm của đường thẳng PQ và AH là S Chứng minh rằng được

SHP QCP cgv gnk

Suy ra HS CQ .

Do đó tứ giác SHQC là hình bình

hành

Chứng minh được R là trực tâm của APQ ; P là trực tâm của SAC

Suy ra QRAP (1) và CS AP

0,75

S

R

Q

P

H

C B

A

Mà QH / /CS  APQH(2)

Câu 4 (1,5 điểm) Cho các số thực dương , a b thỏa mãn b2 ;6a a2 7b2 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức Q 5b 2ab b2 2a 7b2 6a2

b

Do 0 b 2 ;6a a27b2 nên 1 7

a b

Ta có Q 5b 2ab b2 2a 7b2 6a2

b



2

2

5 2a 1 a 7 6 a 5 2x 1 x 7 6x

 

 

a

b

0,5

2

Từ đây suy ra

6 2

0,5

Dấu ``=`` xảy ra khi x 1 a b