Toan 9 thanh thuy (18 19)

Một tam giác vuông có chu vi bằng 60cm, cạnh huyền bằng 25cm.. Độ dài các cạnh góc vuông là: A.. Độ dài đường kính của đường tròn O là: A.. Người ta cần phải làm một cái cửa sổ hình vẽ c

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC: 2018-2019 MÔN:TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có: 03 trang

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Hãy chọn các phương án trả lời đúng

Câu 1 Biểu thức P = 1 x2 4x 3 có giá trị lớn nhất khi:

1 3 3 5  5 7   2023 2025 bằng:

Câu 3 Công thức của hàm số f(x), biết f(x - 1) = 3x - 5 là:

A f(x) = 3x - 2 B f(x) = 3x - 1 C f(x) = 3x D f(x) = 3x + 1

Câu 4 Điểm cố định mà đường thẳng y = (m + 3)x + m - 5 luôn đi qua là:

A (1; 8) B (-1; -8) C (-1; 8) D (1; -8)

Câu 5 Cho ABC có  0  0

40 ; 60

B C  ; đường trung tuyến AM Khi đó ta có:

Câu 6 Một tam giác vuông có chu vi bằng 60cm, cạnh huyền bằng 25cm Độ dài các cạnh

góc vuông là:

A 10cm và 25cm B 15cm và 20cm C 5cm và 30cm D 15cm và 25cm

Câu 7 Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AH và BK Khi đó, ta có hệ thức:

A 12 1 2 1 2

4

4

4

4

Câu 8 Tam giác ABC A120 ;0 AB3cm AC; 6cm Độ đài đường phân giác AD

Câu 9 Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm, M là trung điểm của BC, D

là trung điểm của BM Khi đó độ dài đoạn thẳng AD là :

1

M

, với 0a1 là:

Đề chính thức

Câu 11 Điều kiện của k để hai đường thẳng: y k k  4 x5 2  k và

y k x k k  song song là:

A k  2 B k  3 C k2;k 3 D k 2;k 5

Câu 12 Cho tam giác ABC có đường phân giác AD D BC  Khi đó, ta có:

AB AD AC; B

AD AB AC; C AD2 AB AC ; D AD2  AB AC

Câu 13 Cho ABC vuông tại A Đường tròn (O) nội tiếp ABC tiếp xúc với BC tại D;

BD = 4cm, DC = 6cm Độ dài đường kính của đường tròn (O) là:

A 4cm B 5cm C 6cm D 2cm

Câu 14 Cho x 37 4 3 3 7 4 3 Giá trị của biểu thức 3

3 2004

A x  x bằng:

A 2020 B 2019 C 2018 D 2017

Câu 15 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 25cm, dây CD = 7cm Các đường vuông

góc với CD tại C và D cắt AB thứ tự ở E và F Diện tích tứ giác CDFE bằng :

Câu 16 Người ta cần phải làm một cái cửa sổ (hình vẽ) có chu vi là a mà phía trên là một

nửa hình tròn, phía dưới là hình chữ nhật (a chính là chu vi nửa hình tròn cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh là đường kính của nửa hình tròn) Để diện tích cửa sổ là lớn nhất thì các kích thước của phần hình chữ nhật là:

A Chiều rộng bằng 2

4

a



 , Chiều cao bằng

4

a



 ;

B Chiều rộng bằng 2

4

a



 , Chiều cao bằng

4

a



 ;

C Chiều rộng bằng a4 , Chiều cao bằng 2 4a ;

D Chiều rộng bằng 2 4a , Chiều cao bằng a4

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6 2 3

2x  y  2x y320

b) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7;a b c  23; abc 3 Tính giá trị biểu

N

Câu 2 (3,5 điểm)

Giải các phương trình sau: a) x210x828x4 x28x7;

b) x 5 3 x 2 15 2  x x 2  2 0

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Gọi M là trung điểm của EF

a) Chứng minh: NB.DE = a2 và ba điểm B, D, M thẳng hàng

b) Tìm vị trí của điểm N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD

Câu 4 (1,5 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1

E

x y z y z x z x y

- Hết

-Họ và tên thí sinh: SBD:

Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN

Hướng dẫn chấm có: 04 trang

A Một số chỳ ý khi chấm bài

Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải Thí sinh giải cách khác

mà đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm

B Đáp án và thang điểm

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)

Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6 2 3

2x  y  2x y320

b) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 7;a b c  23; abc 3 Tính giá trị

N

a) Ta có 2x6y2 2x y3 320 x3 y2x6 320 1  0,5

Vì x3 y2 0 nên từ (1) suy ra x6 320 x  2 x0; 1; 2   (vì x Z ) 0,5

- Với x = 0, thay vào (1) ta được y2 320 y Z

- Với x = 1, thay vào (1) ta được 1 y2 319 y Z

- Với x = -1, thay vào (1) ta được 1 y2 319 y Z

- Với x = 2, thay vào (1) ta được 8 y2 256 y  8;24

- Với x = -2, thay vào (1) ta được 8y2 256 y8; 24 

Vậy các nghiệm nguyên (x,y) của PT là: (2; -8), (2; 24), (-2; 8), (-2; -24)

0,5

b) Ta có  a  b c2    a b c 2 ab bc  ca

Mà a b c  ; 7 a b c  23 nên ab bc ca 13

0,5

Ta lại có a b c 7 c 6 a b1

Tương tự, ta có: bc  a  6 b 1  c 1 ; ac b 6 a 1  c  1

0,5

Vậy 1 1 1

N



1

3 7 13 1 1

0,5

Câu 2 (3,5 điểm)

Giải các phương trình sau: a)  2 2    2 

x  x  x x  x (1) b)  2 

x   x  x x   (2)

a) Ta có  1  x28x72x12 4 2 x1 x2 8x7 0,5

Nhận xét: Với mọi a, b thì a b 2 4ab Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Do đó, ta có: x2 8x72x12 4 2 x1 x2 8x7

0,5

x2 8x 7 2x 1 2 4 2 x 1 x2 8x 7 x2 8x 7 2x 1

0,5

PT (2) trở thành: t2  t 12 0  t 4 t3  0 t 4 (vì t 2 2) 0,5 Với t = 4, ta có: x 5 3 x  4 15 2 x x 2  4 x12  0 x1

Ta thấy x = -1 t/m ĐK nên x = -1 là nghiệm của PT đã cho 0,5

Câu 3 (4,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, N là điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E là giao điểm của CN và DA Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F Gọi M là trung điểm của EF

a) Chứng minh: NB.DE = a2 và ba điểm B, D, M thẳng hàng

b) Tìm vị trí của điểm N trên AB sao cho diện tích của tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD

Hình vẽ

M

F E

C

B A

D

N

a) Ta có:   ECD BCF (cùng phụ với ECB)

Chứng minh được:  EDC =  FBC (g.c.g)  ED = FB

0,5

+  NCF vuông tại C, CB NF Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông,

+  CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM EF2

+  AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên EF

2

AM 

 CM = AM  M thuộc đường trung trực của AC

0,5

Vì ABCD là hình vuông nên B, D thuộc đường trung trực của AC

B, D, M thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC 0,5 b) Đặt DE = x (x > 0)  BF = x

SAEFC = SACF + SAEF = 1AF AE CB  

2 

 

1

(AB BF) AE AD

2

(a x).DE

2

(a x)x

2

   

 

 

0,5

SAEFC = 3.SABCD 1 2 2 2

(ax)x3a 6a ax x 0 2

      

(2a x)(3a x) 0

   

0,5

Do x > 0; a > 0  3a + x > 0    2ax 0  x = 2a

 A là trung điểm của DE  AE = a

0,5

Vì AE //BC nên AN AE1

Vậy với N là trung điểm của AB thì SACFE = 3.SABCD

0,5

Câu 4 (1,5 điểm)

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1

E

x y z y z x z x y

Đặt a 1;b 1; c 1 a b c, , 0

xyz

x y c a b y z a b c z x b c a



E

b c c a a b

0,5

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương

2

; 4

b c



Tương tự, ta có:

2

4

b

c a



 

2

4

c

a b



 



0,5

3

a b c a b c abc

E a b c         

3

2

E  a b c    x  y z

Vậy MinE = 3

2 khi x = y = z = 1

0,25