hình học afin và ơclit

PHẠM KHẮC BAN - PHẠM BÌNH ĐŨ Hình hoc afin và hình hoc Oclit trên những ví dụ và bài tập NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM... Một không gian afin mà Â, Ọ@, V" đã cho cụ thể thì gọi là một m

PHẠM KHẮC BAN - PHẠM BÌNH ĐŨ

Hình hoc afin

và hình hoc Oclit trên những ví dụ và bài tập

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM KHÁC BAN - PHẠM BÌNH ĐÔ

HÌNH HOC AFIN VÀ HINH HOC OCLIT

trên những ví tlụ và hài tap

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI NÓI ĐẦU

Nội dung được đề cập trong quyển sách này nhằm hai chủ ý cơ bản sơu đây:

1 Cung cấp cho sinh uiên ngành Toán các trường Đại học Sư phạm một hệ thống bài toán chọn lọc thuộc dạng mẫu

mực thường gặp uà những kĩ thuật giải chúng Qua đó sinh uiên

có thể thực hiện được các bời thì hết môn hoặc thi tốt nghiệp

môn Hình học afin uè Hình học Oclit,

9 Cung cấp cho sinh uiên một số bài toán có nội dung

sâu sắc hơn để những sinh uiên có thiên hướng uê hành học hoặc muốn biết nhiều hơn uê hình học có dịp đi sâu tùm hiểu

uê nó Tuy nhiên để bảo đảm cho hâu hết sinh uiên có thể sử

dụng được toàn bộ sách chúng tôi không đưa uào sách những

bời tập quá khó có tính chất chuyên khảo

Sách được chia làm hai phần uà phân công biên soạn

chính như sau :

Phân thứ nhất Hình học afin: Phạm Khắc Ban

Phần thứ hai Hình học Ơclit: Phạm Bình Đô

Trong mỗi phân, chúng tôi nêu ra một số uí dụ uè sau đó

là những bài tập Ví dụ thường là dạng bài toán mẫu, hoặc dài, hoặc tương đối khó uới lời giải đây đủ, nhằm giảm nhẹ

cho sinh vién uê thời gian học tập Các bài tập đêu có hướng dẫn cách giải hoặc có lời giải cẩn thận Chúng tôi không đưa vao trong sách những bài tập quá dễ mang tính chất kiểm tra

kĩ năng thuần tuý Người học lần đầu có thể tạm thời để tại những vi du va bai tập có đánh dấu (*), sau đó tiếp tục xem

xét chúng

“Chúng tôi đã cố gắng tỉnh lọc để nội dung quyển sách ngắn gọn mà uẫn đầy đủ mọi uấn đê cơ bản của môn học, nhưng chắc chắn có những uấn đê mò các bạn đông nghiệp

va sinh vién sé phat hién va thấy cần bổ khuyết Chúng tôi mong nhận được sự góp ý phê bình của độc giả Chúng tôi

xin chân thành cảm ơn GS Đoàn Quỳnh, PGS Văn Như

Cương đã dành thời gian đọc kĩ nội dung quyển sách uà đóng góp những ý kiến quí báu để quyển sách được hoàn

hảo hơn uà sớm ra mắt bạn đọc

CÁC TÁC GIẢ

PHẦN THỨ NHẤT

HÌNH HỌC AFIN

§1 KHÔNG GIAN AFIN, m- PHẲNG AFIN

1 Không gian afin

Cho tap A # Ø và không gian véctơ V" trên trường sé K

Giả sử có ánh xạ:

@:AxA->V"

thỏa mãn hai điều kiện:

@) Với bất kì M e A và bất kì ÿ e V" đều có duy nhất

N eA sao cho 9 (M, N) =¥ Ỳ

đì) Với bất kì M, N, P e A đều có

9 (M, N) + 9 (N, P)=9 4M, P)

Khi đó bộ ba (A, ọ, V") gọi là một không gian añn liên kết

với V" bởi ánh xạ liên kết ọ

Nếu K = R thì A" gọi là không gian afïn thực Nếu K = C

thì A" là không gian afin phức Một không gian afin mà Â, Ọ@,

V" đã cho cụ thể thì gọi là một mô hình của không gian afin

tổng quái Có hai mô hình hay được sử dụng là :

a Mô hình thông thường

A là không gian thông thường hay một mặt phẳng thông thường, V là không gian véc tơ tự do trên không gian (hay mặt

phẳng) A, còn ọ (M, N) là một véc tơ tự do xác định bởi véc tơ buộc MN

Rõ ràng là với mọi J e ơ ta đều có ơ = {M e A | JMeW}

đậy mọi điểm của œ đều có thể đóng vai trò điểm xuất phát Với m = 0 thì œ là một điểm Với m = n thì ơ = A Ta gọi

n — 1) - phẳng là siêu phẳng; 2 - phẳng là mặt phẳng;

— phẳng là đường thẳng Nếu œ là m — phẳng thì ta viết

lima = m

Cho hai cái phang a, B của A", cái phẳng nhỏ nhất chứa

a a, B gọi là phẳng tổng của œ, B và kí hiệu là œ + Nếu zØ thì ø© B là một cái phẳng, gọi là phẳng giao của œ, B

'6 hai công thức liên hệ số chiều của a, Bla:

dima + đimB = dim(œ + B) + dim(ơ ¬ 8) , nếu œ ¬ B z Ø

dima + dimB = dim(u + B) + dim(é 4B )—- 1 nếu œ¬B=Ø

8 Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho không gian véctơ V" trên trường K, một dạng

tuyến tính 0: V" -> K mà 0 + 0 Đặt A=0'),

Ä =6 '0), :AxA->V": ựŒ, ÿ) = ÿ -

a) Chứng minh rằng y (Ax A)c A

b) Dat 9: AxAA, oŒ, ÿ)= (Œ, ÿ)=ÿ —Ẩ

Chứng minh rằng bộ ba (A, ọ, A) là một không gian añn

(n~ 1) chiều trên trường K

c) Chứng minh rằng A là một siêu phẳng của không gian

b) Thu nghiém cac tién dé cua khéng gian afin:

@) Cho XeÄ.veA thì có duy nhất ÿ=x+v thoả mãn

OX.) = yo xe Vv, trong dd ye A (vi O(y) = OX) 4 OV) 5 1+0 <1)

9

(ii) cho & y, Ze Athi

ọŒ, ÿ) + 0Œ, 2) = - Ä) + (2-ÿ)=2~ X =0(, 2)

Vậy hai tiên đề (), đi) được nghiệm đúng

Vì 0 là dạng tuyến tính trên V", A =Ker@nén dimA=n-1

Do do (A, ọ, A) là một không gian añn (n —1) chiếu trên K

© Gọi A" là không gian aBn chính tắc xây dựng từ V"

thì A" = V", ánh xạ lên kết añn là W: V" x V" -› V" với

quy tắc (,ÿ)=ÿ- Lấy một điểm ãạeAthì @(%)=1

Ta có xeAkhi và chỉ khi 0(X)=lhay ®(X)=9(ạ)

© O(%-X,)=0%-%, cA ws, x)eA Vi A la khong gian

véc td (n — 1) chiều nên A={s|w(Œ, 8) eÄ} ,

Chứng tỏ rằng A là siêu phẳng có phương A

Ví dụ 2 Cho không gian véc tơ V" trên trường K và

không gian con (n — 1) chiểu H của V" Gọi A là tập hợp các không gian con một chiều X của V" sao cho H ¬ X = {0}, nhu

thế V"=H@X

a) Chứng minh rằng với hai phần tử X, Y e A có thể xác

định được một ánh xạ tuyến tính duy nhất

f: V"/H->H theo quy tắc như sau:

Cho [ý] eV"/H Viết ý=h, + với h,e H, äe X và viết

ÿ=h,+yvới h,eH,ÿYVvà đặt f([2])=ÿ-# (Như thế

fe Hom( V⁄4,,H])

10

b) Chứng minh rằng ánh xạ

o:AxA—> Hom (V4.4) cho bởi quy tắc:

với X, Y) e A x A thì ọŒX, Y) = f là một ánh xạ liên kết añn,

nói cách khác (A, ọ, Hom (VZ⁄4®)) là một không gian añn

trên trường K Hãy xác định số chiều của không gian afñin này

Giải a) Với X, Y e A, có thể mô tả ánh xạ

ọŒ, Y): V"/H —› H như sau:

Xét py: V > V’, py: VW @G, Y): Why — H la caéc

phép chiếu chính tắc lên thành phần thứ hai của các tổng trực

) Lấy #eXMØ thì p(@=š và có H c V thi

f[s]+#=ÿeH Đặt (ÿ)=YeA thì p@)=ÿ và @(x.Y)[x]=f[x]

đo đó dim Ÿ⁄(=I nên @ŒX, Y) = F

11

2) Ngược lại, nếu có Y' để ọ(X, Y') = f thì với nói trên

Py =f [X]+ py (8) =f [X]+ = ý suy ra Y'=(y)=Y Vậy có

duy nhất Y e A để @(X, Y) =f

Với mọi X, Y, Z thuộc A, @Œ, Y) = oY, Z) + o(X, Z) do

Py ~ Px + pz — py = pz ~ Px

Vi dim V"/H=1 nén dim Hom(V"/H, H) = dimH = dimV —

1, tức là A khéng phai afin c6 sé chiéu dimV — 1

Vi du 3 Cho khéng gian véc to V" trén trường K và

không gian véc tơ con W" của V", véc tơ äye V", tập hợp

œ = {ä,+ §:Xe W" } Xem V" là không gian afñin chính tắc

Vì „ý là véc tơ nối hai điểm á, và y nên đẳng thức cuối

cùng chứng tỏ œ là m— phẳng đi qua ä,„ có phương W",

b) Lấy một cơ sở é,, é„ của W" và đặt

Vay moi điểm 4, đều thuộc ơ

Ví dụ 4 Trong A" cho hai cái phẳng ơ, B Chứng minh rằng:

a) Véc tơ ÿeö khi và chỉ khi có hai điểm M, N sao cho

b) ac § khi và chỉ khi œ ¬ B # Ø và äc B

c) a =f khi va chi chi &@=f va có điểm M e ơœ, N e B sao

cho MNeử

13

Giải

a) Lấy điểm M bất kỳ thuộc œ thì có thể viết

œ={NeA"[MN e ở}

Theo tiên để thứ nhất của không gian añn: cho M e A" và ÿ

€ & c A” thì có duy nhất N e A" sao cho MN = ÿ Do đó nếu

cho ¥ € & thicdM, Neadé + = MN

Ngược lại, nếu cho M, N e ơ thì lấy M làm điểm xuất

phát của œ ta có ÿ = MN e ö

b) Cho œ c B thì có điểm M e œ 5 Với ÿ e ở thì có

Neadé MN = ¥.ViM,NeBnén ve B (theo cau a) Vay c Ö

Ngược lại, giả sử có điểm M e œ ^ B và đ c B thi véi bat

kỳ N e ơ ta có MN cỡ, do đó MN eB, suy ra N e (vì M e §,

MN cổ) Vậy ơœ c 8

c) Néu a = B thi tất nhiên ữ = ỗ và với hai điểm bất kì

M,Neư,Bta có MN e ö =ỗ

Ngược lại, giả sử ở = và có M e œ, N e B để MÑN e đ= thi

Nea(iMea, MN ed) vaMeB(WiNe B, NM =— MN ỗ),

nghia 1a M, N € a B Theo câu b) thì œ c B (vì có M e œ¬ B

vaac B) vaBca(vicéNe anf va ac B) Vay a=B

Ví dụ ð Trong A" cho hai cai phang a va 8 Chứng

minh rằng:

14

a) Nếu ơ ¬ B = Ø thì với mọi điểm P e ơ và mọi điểm Q eB

ta đều có PQ £ d + Ổ Ngược lại, nếu có điểm P e ơ, điểm

Qe B sao cho PQ #£ d + thianp=

b) Cho tùy ý điểm P e a và điểm Q e B thi

Giải

a) Giả sử œ=Ø mà có P e œ Q e B sao cho PQez+B

thì có thể viết PQ = ä + bvới äcữ, b e Lấy điểm A e œ

sao cho PA= 4 thi b = PQ -PA = AQ ef Do do A € B, suy rad OB #@, diéu nay trai vdi gia thiết Vậy với moi

điểm P e œ, Q e B đều phải có PQ £ õ + B

Ngược lại, nếu có P e a, Q € B sao cho PQ sẽ +

mà œ ¬ B #Ø thì lấy một điểm chung A e œ B, ta có

PQ = PA + AQeat 8, nhưng điểu này mâu thuẫn với giả thiết PQ £ ä + § Vậy từ PQ £ð + B phải suy ra œ ¬ B = Ø

b) Vi đ, Ö, <PQ> là những không gian con của œ+B

Từ (*) va Œ*) ta suy ra: a +6 =o +B + (PQ)

Nhận xét : + Néua op #@ thi lấy P trùng với Q thuộc

œ8, lúc đó œ+B = ä +

+ Nếu a OB = © thi với mọi P e ơ, Q e B ta đều có

PQ # 0 Véi moi ¥e (& + B) A (PQ) ta đều viết được X=kPQ € a +B ma PQ¢ a +B nénk=05% = 0 Vay

b) Đặt A = Hom(V/W, V) và xem A là không gian añn

chính tắc xây dựng không gian véc tơ Hom(V/W, V) Chứng minh rằng ® là các phẳng của A Tìm phương ® cia ©

và số chiều của œ

1.1.2 Cho hai không gian añn (A, @¡, Vị) và (Á;, @;, V;)

trên cùng một trường K Dat A = ÂixÁ;, V=V, x V, và

@:  x  -> VÌà ánh xạ cho bởi

16

ø (MỤ,M,), (Nụ, N2) = (60M, NỤ), @(M,, N,))

Chứng minh rằng bộ ba (A, ọ, V) là một không gian añn trên trường R Tính dimA theo dimÂ; và dimÂ;

1.1.3 Cho không gian afin (A, 9, V") trén trường K,

không gian con W" c V"- Hai điểm M, N e A gọi là ¿ương

đương nếu MN e W"

a) Chứng minh rằng quan hệ M, NÑ tương đương vừa định

nghĩa là một quan hệ tương đương theo nghĩa thuyết tập hợp

(tức quan hệ ấy có tính tự ứng, đối xứng, bắc cầu)

b) Gọi Ä là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ

tương đương nói trên Kí hiệu lớp tương đương của điểm M là

[M] va @: A x K > VW cho bdi quy tắc:

ø(MỊ, [N]) = [MN] 1a lớp tương đương của véc tơ MN

trong không gian véc tơ thương V"/W" Chứng minh ring

(Ã,s, V"'W") là một không gian afin trên trường K có số

chiều là (n — m)

1.1.4 Trong không gian añn Â" = (A, ọ, V") trên trường

K, cho một m— phẳng ơ Lập ánh xạ : œx œ-> đ cho bởi

quy tắc ự(M, N) = o(M, N) với M, N cơ Chứng minh rằng (œ, , ở) là một không gian an m — chiều (gọi là không

gian con của Â")

1.1.5 Trong khong gian afin A" (n > 1), chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng phân biệt mà cắt nhau thì giao là

thì đều cắt nhau và œ ¬ B là một điểm

1.1.6 Trong không gian añn A" (n > 1) Chứng mỉnh rằng:

a) Tổng của một điểm và một đường thẳng là một đường

thẳng hoặc là một mặt phẳng Chỉ rõ phương của phẳng tổng b) Tổng của hai đường thẳng phân biệt hoặc là một mặt phẳng hoặc là một 3 — phẳng Chỉ rõ phương của phẳng tổng

1.1.7 Trong không gian añn A" cho họ hữu hạn điểm P,,

P, s+) Pa» Họ đó gọi là họ độc lập nếu hệ {B,P, , PP, } độc lập tuyến tính Họ chỉ có một điểm cũng gọi là #o độc lập

a) Chứng minh rằng định nghĩa trên vẫn còn đúng khi ta

lấy một điểm P, bất kì của họ cho đóng vai trò Pạ

b) Chứng minh rằng qua m + 1 điểm độc lập có duy nhất một m — phẳng và trên mỗi m — phẳng luôn tìm được những

họ k điểm độc lập với k < m + 1, còn họ p điểm trên m —

phẳng với p > m + 1 là họ không độc lập.

1.1.8 Trong không gian afin A” cho mặt phẳng œ và mặt

phang B (dim a = dim = 2) Cho điểm P e ơ và diém Q € B

Nêu tất cả các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa œ và và

chỉ ra điều kiện cần và đủ đối với mỗi trường hợp

1.1.9 Trong A" cho hai siêu phẳng ơ và B Chứng minh rằng với œ¬ B = Ø thì d = 8 Khi đó ta néi ava Ø song song

uới nhau

19

§2 TỌA ĐỘ AFTN PHƯƠNG TRINH CUA m- PHANG

1 Mục tiêu afñin và tọa độ afin

Trong A” trên trường số K cho điểm O và một cơ sở (6, ẻ,, ế,) của A” Ta gọi bộ (O; é,, ẽ,, ế,) là một mục tiêu afin cua A" Điểm O gọi là gốc của mục tiêu Cơ sở

(ề,,6;, 6„) gọi là cơ sở củœ mục tiêu

Giả sử M là một điểm bất kì của A" Khi đó có thể biểu

thị một cách duy nhất

OM = x,6, + +x,8, (x, € K)

B6 sé (x,, , x,) goi la toa dé afin của điểm M đối với muc

tiêu đã cho và ki hiéu M = (x,, , x,) hay M (x, , x,)

Véi véc td ¥ bat kica A” cing biéu thị được ÿ duy nhất

dưới dạng ÿ = viề, + + v,6, (Vv; K) Bộ số (vị, Voy +) Vp)

được gọi là toa dé afin cia ý đối với mục tiêu đã cho và kí

hiéu ¥ =(v,, , v,) hay ¥ (Vụ, , V.)

Rõ ràng rằng nếu MŒx,, Xu), NƠy, y„) thi

MN = yi —Xị, , Vạ — Xg)

2 Đổi tọa độ afin

Trong A” (n 2 1) cho hai muc tiéu afin (O; 6, 6.) và

(O) ẽ/, 6,") Gia stt cho biét OO'= a, 6, + +.a,6 nen +

20

Công thức này gọi là công thức đổi tọa độ từ mục tiêu thứ

nhất sang mục tiêu thứ hai

Nếu ý có tọa độ đối với mục tiêu thứ nhất là (v,,

đối với mục tiêu thứ hai là (v', v'„) thì

3 Phương trình tham số của m ~ phẳng

Trong A" trén trường K (n > 1) cho một m - phẳng a

(0 < m<n) Lấy một mục tiêu afin (O; 6,, , 6,) cha A® Gia

sử I là một điểm của œ có tọa độ I (a¡, aạ) và (b,, , b,) 1a

một cơ sở của ở có tọa độ

= (Day sees Dy):

Khi đó điểm M (x,, , xạ) thuộc vào œ khi và chỉ khi có các

số tị, , t„ e K sao cho

Hệ đẳng thức trên gọi là phương trùnh tham số của œ đối

với mục tiêu đã cho, các số tị, -» tạ BỌI là các /ham số ứng với

điểm M

Kí hiệu b, là ma trận cột tọa độ của véc tơ b, thì phương

4 Phương trình tổng quát của m- phẳng

Trong A" (n 2 1) cho m — phang ơ thì với một mục tiêu añn (O; ẽ,, Ê„) của A" bao giờ cũng tìm được một hệ

phương trình bậc nhất dạng

trong đó

sao cho điểm MQX, xạ xụ) € œ khi và chỉ khi Œị, X;)

thỏa mãn hệ phương trình đó Ta gọi hệ phương trình nói trên là phương trình tổng quát của m — phẳng ơ.

Trường hợp m = n — 1, tức œ là siêu phẳng thì hệ phương trình trên tương đương với một phương trình Do đó phương trình tổng quát của siêu phẳng có thể viết đưới dạng

Hệ phương trình này (với ẩn số Vị, Vụ) gọi là phương

trình tổng quát của phương ở đối với mục tiêu đã cho

Ví dụ 2 Trong A" (n > 1) cho hai mục tiêu (O; ,, €,)

va (O'; é, , 6) Chứng minh rằng nếu cho một họ n + 1

điểm độc lap {P,, ., P,} va tọa độ của từng diém P, (i= 0, ., n) theo hai mục tiêu nói trên thì có thể lập được công thức đổi tọa độ từ mục tiêu thứ nhất sang mục tiêu thứ hai Nêu rõ cách thành lập công thức

Giải

Giả sử P, có tọa độ (aj), a„) đối với mục tiêu thứ nhất

và có toa dé (a’,, ., a„,) đối với mục tiêu thứ hai Công thức đổi tọa độ cần tìm có dạng

+ Ca¥, + C, ony (*)

Để tìm (€¡, , cụ„, œ;) ta thay lần lượt tọa độ các điểm Đụ

P, vào đẳng thức đầu ta được

Do đó từ hệ đẳng thức nêu trên ta xem như hệ n + 1

phương trình bậc nhất với n + 1 ẩn e¡, , cụ, c¡ có thể giải ra

được (G¡,, , cị„, c¡) một cách duy nhất

Một cách tương tự có thể tìm được moi dòng (Gạ, , cạ„, e) theo cách trên

Cách giải khác

Để lập công thức đổi tọa độ ta phải tính được tọa độ điểm

Ở và tọa độ của các véc tơ ế; „ 6 theo mục tiêu (O; 6,, ,6,) Muén vay ta phan tich véc to OO' nhu sau:

O0!= OP - O'P =S4,6, - Yale’ G@=0,1 , 0)

26

Hệ n + 1 đẳng thức này tương đương với hệ

Vi du 3 Trong A" (n > 1) cho n điểm độc lập P, , P„, có

toa độ trong một mục tiêu afin là P,= (a , 8), ¡ =

an

a) Chứng minh rằng phương trình tổng quát của siêu

phẳng ơ đi qua P,, ., P, có thể viết dưới dang

PMc a=(PB,, PP,)

© PM, P,P,, P,P, phụ thuộc tuyến tinh

œM, P,, P, không độc lập Theo ví dụ 2, điều này có

nghĩa là

xX, x, 1

a M1 a In =0

a - đạn 1

Đây là phương trình tổng quát của ơ

b) Ap dung cau a), phương trình của ơ trong trường hợp

này là

xX, x, 1

a, 0 1

=0

0 a, 1y

Khai triển định thức vế trái theo dòng đầu ta được

xa, wee Ay ve Ag Ayo AL =O

Trường hợp này có thể làm đơn giản hơn như sau:

Giả sử phương trình của œ là

Ví dụ 4 Trong 4" (n > 1) trên trường K cho muc tiéu afin

và hai siêu phẳng ơ, ơ' có phương trình tổng quát :

@:a,x,+ +a,x,+ b=0 nu

0: aXxi + ta xy,+b =0, Giả sử œ # œ' và œ ¬ œ' # Ø Chứng minh rằng điều kiện

cần và đủ để siêu phẳng ÿ chứa ơ ¬ œ là phương trình của y

có dạng

of Sax °) +a{ Sian +) =0

isl

với p, q không đồng thời bằng 0 Phương trình trên gọi là

phương trình chùm siêu phẳng xác định bởi œ và ơ'

Giải

Điều kiện cân Giả sử y là một siêu phẳng chứa ơ 2 œ,

Khi đó có điểm M,(x}, x”) e y mà M, ¢ a a’ Dat

p= Sa; x? +b’, s=-|Ÿ sa) thì p, q không đồng thời mt iH

bằng 0 (vì nếu p = q = 0 thì Mụ e ø, M, e a’, M, gaa’, hay

a =a’, trai gia thiét) Khi dé phuong trinh

of Sax +) +a{San eo} =0 @

im

xác định một siêu phẳng Rõ ràng mọi điểm thuộc œ ¬ œ' đều

có tọa độ thỏa mãn phương trình (*) và điểm M, (x), .,.x°)

cũng có toạ độ thoả mãn phương trình (*) Suy ra phương

trình Œ) là phương trình của siêu phẳng H

30

Điêu hiện đủ Cho hai số p, q € không đồng thời bằng 0 Vì ang 4G nén aa’, do đó có ít nhất một chỉ số 1 để pa, + qa',= 0

xác định một siêu phẳng Các điểm của œ 5 œ có tọa độ thỏa

mãn phương trình đó nên siêu phẳng này chứa œ ^ Œ

6 Bài tập

1.9.1 Trong A" cho mục tiêu afin (O; ẻ,, ế„) và các véc

to 6 =6,, 6-6, +6 te tiểu Chứng minh rằng

(O'; ẻ;, , e„) là một mục tiêu afñn Viết công thức đổi tọa độ

từ mục tiêu đã cho sang mục tiêu mới

1.2.2 Trong A? cho hai mục tiêu afin (O; 6,,6,) va (O'; &, &) Gia su ba điểm P, Q, R có tọa độ đối với mục tiêu

thứ nhất là P@, 1), Œ, 1), RŒ, -1) và có tọa độ đối với mục tiêu thứ hai là P(6, - 2), Q(4, =1), RŒ, — 3) Tim công thức đổi tọa độ (x;, x;) từ mục tiêu thứ nhất sang tọa độ (X›, x';) đối

với mục tiêu thứ hai

1.2.3 Trong A” cho mục tiêu añn (O; ẻ,, ế;, ẻ;) và các

điểm: P,d,1,1, P,@,0,0, P;¿d,0,0, Pd, 0)

Q,(0,0,0), Q,(,1.0), @¿Œ.0.7) QC, 0, 1)

3]

Đặt ú,=PP,, i=1,9,3

( =Q,Q i=1.2,3

Ching minh rang (P,; U,,U,,U,) va (Q.; ¥,,V¥,,¥,) 1a hai

mục tiêu añn của A” Lập công thức đổi tọa độ từ mục tiêu

(P; ủ,,ú,,¿) sang mục tiêu (Qu; Ý,, ở, ,)

1.2.4, Trong A" cho mục tiêu añn (O; ẽ,„ 6,) Goi E, 1a

điểm xác định bởi OE, = 6, (= 1, n) và gọi ơ; là siêu phẳng

đi qua O và đi qua tất cả các điểm E; ma không đi qua E¡

a) Chứng minh rằng œ= ñ œ, là m — phẳng đi qua các

i=m+i

diém O, E,, ., Ey

b) Viết phương trình tổng quát của m — phang a

1.2.5 Trong A" cho mục tiêu afñn (O; Ể¡, , €„), một

m - phẳng ơ và một k — phẳng B có phương trình tổng quát:

a) Tìm điểu kiện cần và đủ để ơ và B cắt nhau theo một

p — phang (ta nói œ và B cắt nhau cấp Pp)

b) Tìm điều kiện cần và đủ để ở c Ö (ta nói œ SOng song

với B).

a) Tim sé chiéu cua o va B

b) Viết phương trình siêu phẳng di qua a va di qua điểm

e) Tìm phẳng giao của œ và ÿ

d) Tìm phẳng tổng của a va B,

e) Viết phương trình của cái phẳng y đi qua điểm 1Œ, 1, 1, 1)

có cùng số chiều với cái phẳng œ va song song với

3HHAVHHƠ 33

§3 TỈ SỐ ĐƠN TÂM TỈ CỰ

1 Tỉ số đơn

Trong A" trên trường K cho ba điểm thẳng hàng P, QR

ma Q # R Khi dé c6 864 € K sao cho RP=ARQ S62 goi lat?

số đơn của bộ ba điểm thẳng hàng P, Q, R và kí hiệu

1.= [PQR]

Giả sử trường K có đặc số khác 3 Nếu [PQR] = - 1 thì

R gọi là (rung điểm của cặp điểm (P, Q)

Chú ý rằng với giả thiết Pz thì ^ z 1

Bây giờ trong A" (n > 1) cho một mục tiêu añn và giả sử

P,Q,Rcó toa dé 1a P(a,, ., an), QŒ;, , bạ), RG, ., ¢,), khi

Trường hợp Ay = = Ar (# 0) thì G gọi là trọng tâm của

họ điểm P,, , P„ Khi đó ta có thể thay 4, =h,=1

Chú ý rằng trọng tâm của một điểm P, chính là P;, trọng

tâm của họ hai điểm {P,, P,} chinh là trung điểm của cặp (P›, P;)

Tính chất a) Trong Â" trên trường K với đặc số bằng 0

cho họ điểm tuỳ ý P¿, P, và họ 80 Ay, «+5 Ay thuộc K với

a, to +4, #0 thi ton tai duy nhat diém G 1a tam ti cy cua

ho {(Py, Ay); + Py Ad} Be định như sau: Với điểm 0 lấy tùy ý

trong A” thi

b) Nếu G là tâm tỉ cự của họ {(P,, Ay), oy Py Aq} ma

hy te + Dg #0, Pag Foe HA, FO thi (Py, Ay), oy Pp Md} 06

tâm tỉ cự G¡ và {Pu Axa), > (Pe Ay)} 06 tim tỉ cự G; và G

chính là tâm tỉ cự của họ

(Gy, Ay tee + As (Gray Pacer + oo + ADI

Hệ quả Nếu trong A” cho một mục tiêu añn và P; có tọa

độ P(a„, aạ) thì tâm tỉ cự G của họ {Œ„, Ay), - Pr ^„)} có tọa

Trong A" (n > 1) trên K cho họ điểm độc lập {Pạ, P\, P,)

Goi a là r — phẳng đi qua P„ P, Khi đó với mỗi điểm

M eơ thì có duy nhất một họ số 2q, ., A, thuộc K thỏa mãn

Jo + +2, = 1 sao cho M là tâm tỉ cự của họ {Œ%, Aq), Œ,„, ^,)}

Bộ số (Ao, ., 4,) Boi 1a toa dé ti cv hay toa độ trọng tâm của

điểm M đối với mục tiêu (tọa độ) tỉ cự {PỤ, , P,} Ngược lại,

cho tùy ý bộ số (1, , A,) của K mà Au + + A„ = 1 thì tổn tại điểm M e ơ nhận bộ số đó làm tọa độ tỉ cự đối với mục tiêu

(Pu, ., P,) Kí hiệu MQ, ., 4,) hay M = (Ap, , 4,) Theo tinh

a) Chứng minh rằng điểm M thuộc ơ khi và chỉ khi M là

tâm tỉ cự của họ điểm {ŒPạ, Àq), , CP,„ ^,)} ứng với một họ số

{Ao, +) Af nao dé thudc K

36

b) Từ đó suy ra rằng điểm M thuộc ơ khi và chỉ khi với

một điểm O bất kì đều có thể viết

Dat Ay = (1-ty— -t), Ay = ty = thiag+Ayt tA, = 140

va ta dude AMP, + +,MP, = 0 Đẳng thức này chứng tỏ

rằng M là tâm tỉ cự của họ điểm {ŒPu, A9), - (P„ A,)}-

Ngược lại, nếu M là tâm tỉ cự của họ diém {(Po, Ao),

b) Theo câu a), điểm M e œ © M là tâm tỉ cự của một họ điểm {ŒP, ^,), , (P,, ^,)) Điều này có nghĩa là với điểm O bất

^,OP, tinth, OP

Ví dụ 2 Trong A" cho họ điểm {ŒQ, ^,), , (P„ ^,)}, có

tâm tỉ cự là G Giả sử A¿ + + A, # 0 và E là tâm tỉ cự của họ

điểm {(Po, Ao), «+» (Pi, Ay)}- Chting minh rằng G là tâm tỉ cự

của họ điểm ((E, Xo + +24), (Preis Anais «(Pps Ay}

= Gla tam ti cu cita ho {(B, Ap + + ys (Phas aa)» Pr

Vi du 3 Trong A" (trên trường số K có đặc số bằng 0) mỗi họ

m + 1 điểm độc lập {Pạ„ , P„} còn gọi là mét m — don hình với

các đỉnh Pụ, P„ và kí hiệu là AŒP,, P„) Mỗi họ con r + 1

38

điểm của nó gọi là một 7 — mặt bên, họ con các điểm còn lại là

một (m — r— 1) ~ mặt bên gọi là mặt bên đổi diện của r - mặt bên

đó Mặt bên tạo bởi hai đỉnh (tức 1 ~ mặt bên) gọi là cạnh

2) giơ là+— phẳng chứa một r— mặt bên và P là (m—~r~ 1)= phẳng

chứa (m —r— 1)— mặt bên đối diện Chứng minh rằng ơ ©

B

=D

b) Chứng minh rằng tất cả các đường thẳng đi qua trọng tâm của hai mặt bên đối diện đều đồng quy tại trọng tâm G của m — đơn hình Với hai trọng tam G,, G, cua hai mat bén đối diện đó, hãy tính tỉ số đơn [G;G;G]

c) Chứng minh rằng các phẳng tổng của từng r - mặt bên

và trọng tâm của (m — r— 1) - mặt bên đối diện đều đồng quy tai G

Giải a) Nếu ơ ¬ B # Ø thì theo công thức số chiều, ta có :

dim a+ dim B = dim (a + B) + dim (a 0 B)

ert(m—r-1)=m+dim (an B)

= dim @ 0B) =-1, diéu nay vô lí Vay a9 BHD

b) Trọng tâm G của AŒ,, P„) là tâm tỉ cự của họ

{(Po, Van Pn» D}- Theo tinh chất a) thì G là tâm tỉ cự của họ

điểm {(Po, 1, (P,, 1), (E, m — r)} Do đó G thuộc vào phẳng „

tổng của P,, ., P,, E Két qua nay đúng cho mọi r ~ mặt bên

Do đó mọi phẳng tổng đã nói đều đồng quy tai G

Ví dụ 4* Trong A" (trên trường số K với đặc số bằng 0)

cho họ n + 1 điểm độc lập P,„ , P, Với điểm M e A" kí hiệu

tọa độ tỉ cự của M đối với mục tiêu tọa độ ti cu {P,, ., P,} la

M(Ao, ., An), con tọa dé afin cua M déi véi muc tiéu afin (P,,

P,P, -) PyP,) 1a M(x, « , x,)

a) Tìm tọa độ tỉ cự của các điểm P,, P, va cua trong

tam G cua ho diém {P,, ., P,}

b) Tìm tập hợp các điểm M có tọa độ tỉ cự MỌ,, ., O, , A„), số

0 có chỉ số tọa độ là ¡ (tức là À¡=0)

c) Tim lién hé giita tọa độ ti cul (Ao, ., A) Va tọa d6 afin

(x,, ., X,) cua cùng điểm M đối với hai mục tiêu đã chọn

d Chứng minh rằng điểu kiện cần và đủ để điểm

MA, « , ^„) thuộc vào một siêu phẳng œ là tọa độ tỉ cự của nó thỏa mãn một phương trình dạng

UpAg # + UU„ = 0,

với các hệ số uụ, u, không đồng thời bằng 0 Từ đó suy ra

rằng phương trình của một m — phẳng B có dạng (theo tọa độ

tỉ cự):

thọ + inn +u,À,<=0

Ag+ uA, =0 mn

40

với hạng | =n-m

e) Với j < k, gọi y là phẳng tổng của các điểm M, Pụ, , P„

mà không có điểm Pi, Py Giả sử điểm M có tọa độ M (X„ , À„) với mọi ^; # 0 Tìm điều kiện VỀ Ào, , Àạ để y cắt đường thẳng P,P, tại đúng một điểm Mụ nào đó Tính tỉ số đơn [P,P,MI]