Giao trinh hinh hoc afin va hinh hoc oclit phan 2

Hai phảng bù trực giao có một điềm chung duy nhát.. Hê quả 1: Hai phang cùng bù trực giao ươi phảng thứ ba thi nong song vói nhau và có cùng số chiêu.. Hẻ quả 2: Qua một điềm dã cho có

Toa đ ộ của đ i ế m đ ố i v ớ i m ụ c t i ê u t r ự c c h u ẩ n g ọ i là tọa

dô trực chuẩn (hay toa dô Dê các vuông góc)

Rõ r à n g t r o n g k h ô n g g i a n O c l i t n c h i ề u E n l u ô n l u ô n có

r h ế t i m t h ấ y n h ữ n g mục t i ê u t r ự c c h u ấ n

3 Đ ổ i m ụ c t i ê u t r ự c c h u ẩ n

Cho hai m ụ c t i ê u t r ự c c h u ẩ n : { O ; ẽ^, (ÍT, ẽ^} ( ì ) và { O ' ; ẽ \ ẽ s , ẽ^p} của k h ô n g g i a n O c l i t n c h i ê u En

G ọ i c ỉa ma t r ả n c h u y ể n từ cơ sỏ £ = [Ì? e?, ẽ ^ } sang

cơ sờ £' = { e ' , e e 'n} C á c cơ sờ đ ó đ ề u l à cơ sỏ t r ự c

c h u ẩ n n ê n c là ma t r ả n t r ự c giao c ấ p n K h i đ ó c ô n g t h ứ c

đ ố i m ú c tiêu t r ự c c h u ẩ n là:

t r o n g đó C.C1 = I n a là ma t r ả n c ộ t t ọ a đô c ủ a gốc 0 ' đ ố i với m ú c tiêu (ĩ) và X và x ' là hai m a t r ả n c ó t t ọ a đ ộ của

giao kí hiệu a _L /3 nếu hai k h ô n g gian véctơ a v à / 3 trực

giao (tức mọi véctơ của ã*.trực giao với mọi véctơ của /3ỹ

Hai phảng a và ộ gọi là bù trục giao nếu ã* và /3 hù

trưc giao trong En

2 Đ ị n h lý: Hai phàng trực giao có không qua một

điểm chung Hai phảng bù trực giao có một điềm chung duy nhát

Chứng minh Giả sử hai phảng a và />' trực giao Nếu

có hai đ i ể m M,N G a n Ịi thì M N e ã* n ^ suy ra

MN.MN = 0 Theo tính chất xác định của tích vô hướng ta

có M = N

Nếu « và /3 bù trực giao thì En = ã* © ịi\ do đó nếu

a n /3 = 0 thì

dim(a + (ỉ) = đima + dim/3 - dim (ã* n , 5 1 + 1

suv ra đim(a -ì- Ị3) - n+1 (vô lý) Vậv t í và /3 có đ i ể m

chung duy nhất

Hê quả: Nếu a v à /í) bù trực giao trong En thi tống của chúng l à En

3- Đ ị n h l i : Nêu a trực giao ươi ịi va V bù true giao

VÓI Ị3 thi a và V là hai các phang song song

Chứng minh G ọ i ó t ậ v à 7*1 ấn lượt l à p h ư ơ n g của các

phảng a, 8 và 7 Vì í * t r ú c giao với /3' và 7*là phấn bù trực giao của Ịị trong En nên ca suy ra ã* c v f vậy ù' song song

v ớ i /

Hê quả 1: Hai phang cùng bù trực giao ươi phảng thứ

ba thi nong song vói nhau (và có cùng số chiêu)

Hẻ quả 2: Qua một điềm dã cho có duy nhát mót phàng bù trực giao ươi một phảng dã cho

81

v à A cat c à a v à Ịi

3 Đ ị n h l ý : iVẽu A Zà

đường vuông góc chung

của hai cái nháng a và [i,

và J'::o điểm của A vói a

4 Đ ị n h lý Nếu hai phảng a và ộ không có điềm

vuông góc chung dó Là duy nhất khi uà chi khi

õ T l / f = {õT

Chứng minh: xét tổng ã* + p*và gọi ỹ*là k h ô n g gian con

bù trực giao với tống ã* + ff nghĩa là

ỹ*± Cã*+ f i và E n = (õ*+ f ) Q ỹ*

Lấv p e a, Q E /3, thì véctơ PQ p h â n tích m ộ t cách

duv n h ấ t dưới dạng PQ = u + V , với u £ ã* + ộ, v e ỹT

Bây giờ giả sử ũ* = x* + _ £ X * e õf y G /3 L ấ y c á c đ i ể m

ì v à J sao cho PI = X và JQ = y thì I £ a và J £ ộ. vì

ĨJ = ĨP + PQ + QJ = -T+ PQ - ỹ * h a y P Q = T+ y + ĨJ

Vậy IJ = v*e nghĩa là IJ X õf IJ _L Ịì, vì a và /3 k h ô n g

có đ i ể m chung n ê n ì không t r ù n g với J, như vậy đường thịng A đi qua ì và J là đường vuông góc chung của hai

c á i phảng a và fi

Nếu ngoài A còn cổ đường vuông góc chung của a và Ị3

l à A' cát a, Ịỉ l ấ n lượt tại r và J' thi

LĨ = r ĩ ' + (ĩ? + J*J)

lí u n 2 = l l f j ' l l - + ill? + K i l l 2

Theo định lý 3 thì d(a /ỉ) = li IJII v à cũng b à n g li r ĩ ' l i ;

do đó ĩ ? + K i = õT tức LĨ = ì7? ' suy ra ĩ ? = JJ'

Vây i r = J J ' E ã* n /T Từ đó suy ra A t r ù n g với À'

khi v à chi khi ã* n Ịi = {ôi Dinh lí được h o à n t o à n chứng

minh

Theo chứng minh đinh lí 4 thì IJ = p - , ( P Q ) ( p2 là

phép chiếu lên t h à n h phấn thứ hai của khai t r i ể n E = (ã*

83

d ( a , (i) = l l p2P Q | Ị , p e a , Q s

T ừ đ ị n h lí 4 t a s u y r a c á c h ệ q u à s a u :

Hê quả 1: Nếu điềm ì không thuộc phảng a thi qua ì

có dường duy nhất vuông góc và cất a; giao điếm J cùa

dường tháng dó oái phảng a gọi là kinh chiểu vuông góc cùa ỉ trẽn a Khi dó da a) = d(I, J)

Hệ quả 2 Nếu ohẳng a song song nới phang ịì và ohưang ã* của phảng a là không gian uécta con của phương ỊTcùa phảng Ẹ> thi ươi ì thuộc a, dường thảng di qua ì và trúc giao với (ỉ, sẽ dường vuông góc chung cùa a và ậ Vậy

díu, ịij = d(Ị, Ị3J ươi bát ki I G ã*

Gr íũ^, ũ^, ũ ^ ) = đ é t (ũ* up = đ é t a k r a k j ) =

= det(A'.A) = (detA1) (detA) = (detA)2

Vây định thức Gram Gr ( U Ị , U2 , um) luôn luôn không

d2( I , a ) =

4 e t j ( ũ ^ ũ t , S I ) ) '

u f u j - ( u , u: ỵ

Do đ ó khi., n = 3 t a t r ờ v ẽ c ô n g t h ứ c í i n h k h o ả n g c á c h

t ừ m ộ t đ i ế m đ ế n m ộ t m ậ t p h a n g đ ã h ọ c ở p h ổ t h ô n g t r u n g học

Gr(ũ^, um, R S ) Gr(ũ^, Ũ ^ , Ũ Ị J

Vi d u 2 N ế u a v à /í l à hai đ ư ờ n g t h ẳ n g song s o n g t h ì ã* = ịi v à m = Ì , ta t r ờ l ạ i ví d u Ì ở p h ã r , 6,

87

Tí

- Nếu a Ì b thì ớ = ^

3 G ó c giữa h a i s i ê u p h ả n g : Cho hai siêu phảng a và

ịi, lấy hai đường t h ẳ n g a, b l ẩ n lượt trực giao với a và ộ

Khi đó góc giữa hai siêu phảng a và p được đ ị n h nghĩa

là góc giữa hai đường t h ả n g a và b

Rõ r à n g định nghĩa t r ê n k h ô n g phụ thuộc vào việc chọn

hai đường thảng a và b l ầ n lượt trực giao với a và Ịì

4 Góc giữa đ ư ờ n g t h ẳ n g v à s i ê u p h ả n g

Cho đường thẳng a và siêu phảng ịi

Nếu a trực giao với siêu phảng /3 t h i ta nói góc giữa a

và ịi là góc vuông

Nêu a không trực giao với /3, thì ta lấy đ ư ờ n g thẳng a'

trực giao với 'ộ và xác định được góc ớ' giữa hai đường thẳng a và a' K h i đó góc giữa a và Ị3 được x á c định là góc tì mà tì > 0 và ớ = ^ - ớ'

Nếu trong mục tiêu trực chuẩn cho p h ư ơ n g của a là (u)

và véctơ pháp tuyến của ịì là n thì:

sin# = sin (77 - ớ = cosớ = -s> :p=g

••2 / liu l i li nil

Ị - (u.nỵ cosớ = \ |

Định lý: Thề tích hộp bằng

tích của thề tích hóp dày uà

chiểu cao tuông ứng

gian ơclit E và E ' gọi là ánh xạ đảng cư nếu f là một á n h

xa afin mà ánh xạ tuyến tính liên k ế t f: E —» E ' là một

á n h xạ tuyến tính trực giao của E và E'

Từ đinh nghĩa đó dễ d à n g suy ra đối với mọi cặp đ i ể m

M N thuộc E và ảnh của c h ú n g M ' = f ( M ) , N ' = f ( N ) ta

có d(M,N) = d(M', N ' ) Nói cách khác phép đ ả n g cự bảo tốn khoảng cách giữa hai đ i ế m bất kì

Ngươc l ạ i :

2 - Định lý: Mọi ánh xạ f: E —» E' giữa các không gian

ơclit bào tòn khoảng cách giũa hai diêm bát ki là một ánh

xa đấng cự

Chứng minh: Lấy ì £ E và r = f ( I ) Xét á n h xạ

f: E -» E' xác định như sau:

93

Nếu u £ E, ta lấy M £ E sao cho [M = u, và đ á t

ffu) = I ' M ' , với M ' = f ( M ) Ta chứng minh r k h ô n g thaỵ đổi tích vô hướng của hai véctơ G i ả sử có t h ê m V * E E,

lấy N s E sao cho I M = ^*và f ( v T = Ỹĩí' với N ' = f ( N ' )

Vì f bảo tổn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N) =

d(M'.N') Suy ra MIP = IVTN- « ( I N - I M )2

tổn tích vô hướng nên f là á n h xạ tuyến t í n h trực giao và

rõ r à n g f là liên kết của f Vậy f là p h é p đảng cư

Hê quả: Ánh xạ dằng cự bào tòn sỏ chiêu của các nhằng, tinh trúc giao của các phảng, khoảng cách giữa các phàng, thề tích của hộp của dan hình rà góc giữa các phàng

3 - Biên d ổ i dẳng cự

Nếu f: E - * E là á n h xạ đẳng cự từ không gian ơclit vào chính nó thì vì f là đơn á n h nên nó là một sóng ánh

(do E hữu han chiếu) K h i đó ta gọi nó là mót biến dổi

dằng cư của không gian ơclit E Ánh xạ r*liên kết với nó

là một biến đ ố i tuyến t i n h trực giao của E

Rõ r à n g tập hơp các p h é p biến đ ố i đ ầ n £ cự của En

làm thành một nhóm con của n h ó m A f ( En

) , nó được kí hiệu là Isora ( En

) Các phép tịnh t i ế n h i ế n nhiên là phép đẳng cự, chúng làm t h à n h nhóm T ( En

) là n h ó m con của n h ó m IsomiE")

4 P h é p dời h ì n h và p h é p p h ả n c h i ế u

Cho phép biến đ ố i a f i n f: En

—» En

có biếu thức tọa độ đối với một múc tiêu trực chuẩn { 0 ; e,, e:, ẽ * }

x' = Ax + b

94

Khi đó A củng là ma t r ậ n của phép đẳng cáu tuyến Lính ĩ^đối với cơ sở trực chuấn {ép e2, í 'n}

Bởi vây biến đ ố i a i m f là biến đ ổ i đẳng cư khi và chỉ khi A là ma t r ậ n trực giao tức Al

A = I n v ỉ A là ma t r ậ n trực giao nên đét A = ± 1

Nếu A là ma t r ậ n t r ự c giao và detA = Ì thì f gọi là

một phép dài hình (hoặc phép dời)

Nếu A là ma t r ậ n trực giao và đét A = - Ì thỉ f gọi là

một phép phàn chiếu (hay phản dời hinhj

Rõ r à n g táp hợp các phép dời của không gian ơclit En làm thành một nhóm, kí hiệu I s o m+

( En)

li) Nếu Inuf*= { õ) thi f có điềm bát dòng duy nhát

úi) Nếu Inv(ĩ) có số chiều bàng q thi f là phép dài hình hay phản chiếu tùy theo n-q Là chẵn hay lẻ

97

loi

T í c h của hai p h é p đ ố i x ứ n g qua hai m á c p h ả n g a Ịi c á t

nhau cheo đ ư ờ n g t h ả n g d l à phép quay quanh dưỡng thảng

t ị n h t i ế n tụ* v ớ i V G d g ọ i

là p h é p f t h ì f = tợ>q v à f

Rõ r à n g f = g o g = g o q v à t r o n g t r ư ờ n g hợp p h é p quay

q là p h é p đ ố i x ứ n g q u a d t h ỉ í g ọ i là phép dối xứng qua ỉ

là giao diêm của d và a ( n ó b i ế n m ọ i đ i ể m M t h à n h đ i ể m

M ' sao cho ì là t r u n g đ i ể m của M M '

6 Đ ị n h l ý : Moi phép phản chiếu đêu

xứng trượt hoặc là phép dối xứng quay

Xì

I'hcp xuân úc

iioãc là phép dối

loa

M ' = f ( M ) N ' = f ( N ) t a l u ô n c ó

d ( M N ) = k d i ' M , N )

t r o n g đ ó k l à s ố d ư ơ n g c ố đ ị n h đ ư ơ c g ọ : l à ti số dòng liaiitị của p h é p đ ố n g d ạ n g f

N ế u X £ E , g ọ i M l à đ i ể m sao cho O M = X sau đ ó

4 - Đ ị n h lý 3 f: E" —»• E" ìn mòi p / i ' p dòng dạng tỳ

;ỗ k Ả'Au và chi khi nó là tích f t - f / , trong dó [Ị là mút UI

tư ly xó k cùa E" và /'_) là một dẳng cư, và củng khi và

rill hill f = g^gỊ, trong dó gi Là dàng cư của E" và gi là

mủi ''í lư tỳ ĩò ù cùa E"

Chírng minh G i à sử f: E n

- » E n

là p h é p đ ố n g d ạ n g t i -;ỏ k ta x â y d ư n g c á c á n h xa f j , f'-,, g( ) g1 n h ư sau:

B a d ạ n g ( ì ) , ( l i ) , ( I U ) g ọ i l à dạng chinh tấc của phương

trinh siêu mặt bậc hai

ứ n g với giá trị riêng Ả Ị = 0 , các véctơ r i ê n g có tọa độ thỏa mãn phương trình: X | + x2 + 2 X 3 = 0 , tức có dang

u = (ít ịi, - —-—Ị Ta lấy một trong các véctơ đó:

u[ = ( 1 , - Ì , 0)

Véctơ thứ hai ta chọn vuông góc với U ị ( v à củng ứng

với giá trị r i ê n g Ả = 0 ) , tức tọa độ của nó thỏa m ã n h ệ

Ta chuẩn hóa hai véctơ u, và U i được:

Vóc to U-Ị có t h ế chọn vuông góc với U j và út '.tức Ì

véctơ riêng với giá trị riêng À-, = 6) Tọa độ của nó thỏa

X t

117

Đ ị n h l ý Xêu trong một hệ toa dô trúc chuẩn ĩ O; ẽị,

O i , 0 Ị phìíang trình siêu mặt bậc hai !'S) có dang:

2 Xét t ậ p 3?G gốm t ấ t cả các ma t r ậ n đối xứng A dạng

i2) với các biến đ ố i : A » C Á C (với c là ma t r ậ n dạng

(6)) của JK> vào chính nó M ộ t h à m ip: 37G -» R t r ê n 3ỈG gọi

là bất biến đ ố i vơi mọi biến đ ổ i nói t r ê n : nếu có <p(A) =

+ Nếu J2 > 0 và J j K3 < 0, (S) là elíp thực

+ Nếu Jn > 0 và J ] K3 > 0 "(S) là elip thực ảo

+ N ế u J2 < 0, (S) là hypebol

- Nếu J-, = 0, (S) có p h ư ơ n g t r ì n h dạng (3) và (S) là mót parabol

b) Trường hợp K3 = 0

Khi đó ( S ) là đường bậc hai suy biến và ( S ) có phương trinh dạng ( D và (2)

- Nếu J2 5 * 0 thì (S) có p h ư ơ n g t r ì n h dạng (2) và

-r- Nếu J2 > 0, (S) là hai đường t h ả n g ào cát nhau

•+- Nếu J2 < 0, (S) là hai đường thảng cát nhau

- Nếu J7 = 0 và

+ K , * 0, (S) có p h ư ơ n g t r ì n h dang (1) và

Nếu K9 > 0 |'S) là hai đường chàng no song song

Nếu K i < 0 iS) là hai đường thảng song song

+ K Ị = 0, ( S ) có p h ư ơ n g t r i n h dạng l,x X = 0: đó là hai dường t h ả n g t r ù n g nhau

3. v ị d ụ :

a) Cho đường bác hai (.S) xác định bời phương t r i n h :

5x2 + I2xy - 22x - 12y - 1 9 = 0

-109 I3x'?

4.13 0 hay

131

V T Õ 9

26

§25 N G H I Ê N C Ứ U MẶT B Ậ C HAI NHỜ B Ấ T B I Ế N

Ì - Trong không gian Oclit E3

với m ú c tiêu t r ư c chuẩn xét m ậ t bác hai (S) xác định bời p h ư ơ n g t r i n h :

136

Như vậy có K4 - J3 = J2 = 0, K3 * 0 ta suy ra (S)

gọi là nêu càu (thúc) t â m I , bán kính r

Dối với múc tiên trực chuấn, nếu [ = la,, a n an j thi

phương t r i n h của siêu cáu SÍT r i là

Miền trong (theo t h ứ t ự miền ngoài) x á c đ ị n h b ở i s i ê u

p h ư ơ n g c h i n h M ọ i s i ê u p h ả n g đi q u a t à m đ ể u là s i ê u

p h ả n g k í n h c h í n h T h ậ t v ậ v , h a i ý đ ấ u c ù a m ê n h đ ễ t r ê n

r ú t ra láp tức từ m a t r ậ n A của p h ư ơ n g t r i n h của s i ê u c ầ u

t ố n g q u á t là m a t r ậ n đ ơ n v ờ Ta" h ã y c h ứ n ^ m i n h ý t h ứ ba của m ê n h đ ê M ọ i s i ê u p h ả n g qua t â m ì (—aì, - i l l , - an)

140

n a n

~ S ( * i + » : , ) 2 = - 2 ( a i - a ' i ) 2 - a „

T ừ p h ư ơ n g t r ì n h t r ê n ta suy ra đ i ế m r = ( - a ' j , - à ' ? , - a 'n; là t â m của (S')

4 P h ư ơ n g t í c h c ủ a m ộ t đ i ế m d ố i v á i s i ê u c ẩ u

t ổ n g q u á t

T r o n g k h ô n g g i a n ơ c l í t E n v ớ i m ụ c t i ê n t r ự c c h u ẩ n cho siêu c ầ u t ổ n g q u á t (SI x á c đ ị n h b ờ i p h ư ơ n g t r ì n h :

_ ^ = R 2 + r ' 2 _ 2 I M VŨ

Do đó, I M I ' M k h ô n g p h u t h u ộ c v à o đ i ể m M và vì t h ế cho n ê n g ó c g i ữ a hai v é c tơ I M và I ' M c ũ n g k h ô n g p h u

t h u ố c v à o M , n ó đ ư ơ c g ọ i l à góc giữa hai siêu cầu

K h i góc g i ữ a hai s i ê u c ầ u l à g ó c v u ô n g t h ì t a n ó i r ằ n g hai s i ê u c ầ u đó- t r ư c giao, đ i ể u đ ó x ả y ra k h i v à c h i k h i

l i '2 = r2 + r '2

K h i s ó c g i ữ a hai s i ê u c ấ u b ằ n g 0 i h o á c T i ta nói hai siêu c ầ u t i ế p x ú c trong (hoặc t i ế p x ú c n g o à i ) tai đ i ế m M duy

n h á t

Cho Siêu c á u S(I r ) v à s i ê u p h à n g [à) giao n h a u t h ỉ vói

M chuộc giao góc giữa d ư ờ n g

Đ ị n h l ý : Điêu kiên cần o à dù dế TI + 2 diêm M,, M - J ,

• M, l+ Ị, M n + 2 năm trẽn một siêu càu 'thụcì hay một siêu oháng là -

-n+2)

C á c đ i ể m M ị , M - , , Mn i > c ù n g t h u ộ c m ó t siêu c ấ u h a y

145

VÍ d ụ Trong En điều kiện cấn và đủ để bốn đ i ể m M j ,

M2; M3, M4 c ù n g nằm trên một đường tròn hay một đường