Cd30 (câu 43)thể tích khối đa diện vd vdc de

Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều : g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhậ

a b c a

A

S

B C

C Â

AÂ

BÂ

TÀI LIỆU ễN THI TỐT NGHIỆP THPT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

THỂ TÍCH KHỐI CHểP – KHỐI LĂNG TRỤ

1 Thể tớch khối chúp chóp= ì1 đá y chiều cao = ì1 đá y (đỉnh; mặt phẳng đáy)

2 Thể tớch khối lăng trụ Vlăng trụ=Sđ á y chiều cao

g Thể tớch khối lập phương V =a3 g Thể tớch khối hộp chữ nhật V =abc

3 Tỉ số thể tớch

g Cho khối chúp .S ABC trờn cỏc đoạn thẳng,

, ,

SA SB SC lần

lượt lấy cỏc điểm A B CÂ Â, , Â khỏc S Khi đú ta luụn cú tỉ

số thể

tớch:

.

.

S A B C

S ABC

     Â

g Ngoài những cỏch tớnh thể tớch trờn, ta cũn phương

phỏp chia nhỏ

khối đa diện thành những đa diện nhỏ mà dễ dàng tớnh toỏn Sau đú

cộng lại

g Ta thường dựng tỉ số thể tớch khi điểm chia đoạn theo tỉ lệ.

4 Tớnh chất của hỡnh chúp đều

g Đỏy là đa giỏc đều.

g Chõn đường cao trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp đa giỏc đỏy

g Cỏc mặt bờn là những tam giỏc cõn và bằng nhau.

g Gúc giữa cỏc cạnh bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.

g Gúc giữa cỏc mặt bờn và mặt đỏy đều bằng nhau.

CHUYấN ĐỀ 30: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VD – VDC

5 Tứ diện đều và bát diện đều:

g Tứ diện đều là hình chóp có tất cả các mặt là những tam giác đều bằng nhau.

g Bát diện đều là hình gồm hai hình chóp tứ giác đều ghép trùng khít hai đáy với

nhau Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của bốn tam giác đều Tám mặt là các tam

giác đều và bằng nhau

Nếu nối trung điểm của hình tứ diện đều hoặc tâm các mặt của hình lập phương ta

sẽ thu được một hình bát diện đều

6 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều :

g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng

đáy Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

g Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có

một cạnh bên

vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình

chóp là độ dài cạnh

bên vuông góc với

đáy

Ví dụ : Hình chóp .S ABC có

cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, tức SA^(ABC) thì chiều cao của hình chóp là SA

b) Hình chóp có 1

mặt bên vuông góc

với mặt đáy: Chiều

cao của hình chóp là

chiều cao của tam

giác chứa trong mặt

bên vuông góc với

đáy

Ví dụ: Hình chóp S ABCD có

mặt bên (SAB vuông góc) với mặt phẳng đáy (ABCD) thì chiều cao của hình chóp

là SH là chiều cao của

SAB

D

c) Hình chóp có 2

mặt bên vuông góc

với mặt đáy: Chiều

cao của hình chóp là

giao tuyến của hai

mặt bên cùng vuông

góc với mặt phẳng

Ví dụ : Hình chóp .S ABCD

có hai mặt bên (SAB và)

mặt đáy (ABCD thì chiều) cao của hình chóp là SA

B S

D

A S

H

D

A S

r a

b

c

a

h

A

đỏy

d) Hỡnh chúp đều:

Chiều cao của hỡnh

chúp là đoạn thẳng

nối đỉnh và tõm của

đỏy Đối với hỡnh chúp

đều đỏy là tam giỏc

thỡ tõm là trọng tõm

G của tam giỏc đều.

Vớ dụ : Hỡnh chúp đều

S ABCD cú tõm đa

giỏc đỏy là giao điểm của hai đường chộo

hỡnh vuụng ABCD thỡ

cú đường cao là SO

DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HèNH THƯỜNG GẶP

 Diện tớch tam giỏc thường: Cho tam giỏc ABC và đặt AB =c BC, =a CA, =b

2

a b c

p= + +

nửa chu vi Gọi R r, lần lượt là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giỏc ABC. Khi đú:

4

ABC

S

abc

pr R

p p a p b p c

D

=

-g

=

g Stam giác vuông

1

2ì.

g

2 tam giác vuông cân

(cạnh huyền)

4

S

g tam giác đều (cạnh) 32 Chiều cao tam giác đều cạnh 3

S

 Shỡnh chữ nhật = dài ´ rộng và Shỡnh vuụng = 2



hình thang

(đáy lớn đáy bé) (chiều cao)

S

2

 Tứ giác có 2 đ ờng chéo vuông góc= ị hình thoi= ì

Tích hai đ ờng chéo Tích 2 đ ờng chéo

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng

Cho ABCD vuụng tại ,A cú AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đú:

* BC2=AB2+AC2 (Pitago), AH BC =AB AC

Page 268

Sưu tầm và biờn soạn

S

* BC =2AM.

*

ABC

2 Hệ thức lượng trong tam giác thường

a b c

Gọi , R r lần lượt là bán

kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó:

* Định lý hàm sin: sin sin sin 2

* Định lý hàm cos:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cosA cosA

2

2

2 cosC cosC

2

bc

ac

ab

ïï ïï

íï

ïï ïî

g g g

* Công thức trung tuyến:

2

2

2

AM

BN

CK

-ïï ïï

íï

-ïï ïî

g g g

* Định lý Thales:

2 2

AMN ABC

D D

ïï

ïî

g

cân tại B , AB a Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A BC 

bằng

6

, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A

3

2

3

2

3

2

4 a .

Lời giải

A

N M

Kẻ AH A B , H A B 

 





Ta có BCAH AH, A B  AH A BC 

3

a

d A A BC AH 

Xét tam giác vuông AA B vuông tại A, ta có

2 2 2 2 2 2

AH A A AB A A AH AB

2 2 2 2

2

Vậy

3

ABC A B C ABC

a

V   S A A  a a a 

(SCD) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3 3 4

a

3 3 12

a

3 3 4

a

3 3 2

a

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết khoảng cách

từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng 3 a Tính thể tích V của khối chóp

A

3

6

a

3

2

a

3

6

a

3

2

a

(ABC) góc 60 

Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3 6 2

a

3 3 3

a

3 6 6

a

Câu 4: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình chữ nhật ABCD , với AD2a

nằm trên hai mặt phẳng vuông góc Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAB

A

3 3 2

a

V 

3 3 8

a

V 

3 2 12

a

V 

giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD. biết rằng mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy một góc 30

A

3 3 2

a

3

2 3 3

a

3

4 3 3

a

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa SBC và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3

3

a

3

3

a

3

3

a

D 2a3 3

của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB Biết

3 2

a

SH 

và mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SBC Thể tích khối chóp S ABC.

bằng

A

4 4

a

4 16

a

4 2

a

4 3 8

a

đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB Biết

3 2

a

SH 

và mặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng (SBC) Thể tích khối chóp .S ABC

bằng

A

3 4

a

3 16

a

3 2

a

3 3 8

a

giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳn vuông góc với đáy Biết

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng

3 5 5

a

Tính thể tích V

của khối chóp S ABCD

A

3

3 2

3

6 3 2

3

27 2

3

9 2

Câu 10: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều Góc giữa hai mặt phẳng BCD

và ABC là 60 Hình cầu tâm O bán kính bằng 1 tiếp xúc AB AC, và mặt

phẳng BCD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng ABC

,

H nằm trong tam giác ABC Biết rằng O thuộc đường thẳng DH và

2

AB

DH 

Tính thể tích tứ diện ABCD

3

9 3

AB a và góc giữa hai đường thẳng d d bằng 1, 2  Hai điểm M N, di động trên d d 1, 2 M d N d 1,  2 sao cho AM BN MN  Gọi H là hình chiếu của

trung điểm O của AB lên MN Đường tròn  C nằm trong mặt phẳng

M d, 2, tiếp xúc với d tại 2 B và tiếp xúc MN tại H Tiếp tuyến thứ hai kẻ từ

M với  C cắt d tại điểm 2 P Thể tích khối tứ diện AMNP bằng

A

3 6sin

a

3 12sin

a

3.sin 6

3.sin 12

Góc giữa SA và mặt đáy bằng 45 , góc giữa 0 SAB và mặt đáy bằng  0

60

Khoảng cách giữa đường thẳng CD và SA bằng a 6 Thể tích khối chóp

S ABCD là

A

3

3

a

B

3

3

a

C

3 3 3

a

D

3

3

a

 , AD a , tam

giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C , khoảng cách giữa SA và CD

bằng

4 5

a

Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A

3

2 11

a

3

4 11

a

3

4

3 11

a

3

2

3 11

a

thỏa mãn

9 cos

16

 

Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3 5 18

a

3 7 9

a

3 7 6

a

3 7 18

a

Câu 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông,

2

Thể tích của khối chóp B ACC A   bằng

A

3 8 3

a

3 2

a

3 3 3

a

3 6

a

2

SA a Gọi G E, lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SBC , N là trung điểm của BC Thể tích khối chóp A GEN bằng

A

3 3 18

a

3 3 81

a

3 3 54

a

3 3 108

a

với mặt phẳng đáy Biết AB 2 ,a AD2 ,a ABC 45o và góc giữa hai mặt phẳng SBC ,  SCD bằng  30o Thể tích khối chóp đã cho bằng

3

2

3 3

4a

vuông góc với nhau Thể tích khối chóp đã cho bằng

A

3

16 2

3

8 2

3 16

3 a

cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. biết góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 0

A

3 15 15

a

V 

B

3 15 6

a

V 

C

3

15

a

V 

D

3 15 3

a

V 

phẳng SBC

cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ABC góc 0

30 Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3 8 9

a

3 8 3

a

3 3 12

a

3 4 9

a

AC a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC Biết góc giữa hai mặt phẳng

SAB và SBC bằng 60 Tính thể tích của khối chóp S ABC.

A

3 2 6

a

3 6 12

a

3 6 4

a

3 2 2

a

góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng (SBD và ABCD bằng ) 600 Gọi

,

M N lần lượt là trung điểm của SB SC, Tính thể tích khối chóp S ADNM

A

3 6 16

a

3 6 24

a

3

16

a

3 6 8

a

vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho

2 3

AH  AC

; mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o

Thể tích khối chóp S ABC là?

A

3 3 12

a

B

3 3 48

a

C

3 3 36

a

D

3 3 24

a

bên và mặt đáy bằng 60 0 Thể tích V của khối chóp S ABCD bằng

A

3 3 2

a

V 

B

3 2 2

a

V 

C

3 3 6

a

V 

D

3 2 6

a

V 

60o

Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

3 3 3

a

V 

3 3

a

V 

đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB một góc  0

30 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

A

3 2 3

a

B

3 2 3

a

C

3 6 3

a

đáy một góc 45 Tính thể tích V của khối chóp S ABC.

A

3

3 18

a

V 

B

3

3 12

a

V 

C

3

2 3

a

V 

D

3

3 9

a

V 

cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. biết góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 0

A

3 15 15

a

V 

B

3 15 6

a

V 

C

3

15

a

V 

D

3 15 3

a

V 

phẳng SBC cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng  ABC góc 0

30 Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3 8 9

a

3 8 3

a

3 3 12

a

3 4 9

a

AC a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC Biết góc giữa hai mặt phẳng

SAB và SBC bằng 60 Tính thể tích của khối chóp S ABC.

A

3 2 6

a

3 6 12

a

3 6 4

a

3 2 2

a

 120

BAC , biết SA(ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC

A

3 2

a

3 9

a

3 3

a

; SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến (SCD bằng ) 2

a

Tính thể tích

của khối chóp theo a

A

3

4 15

3

4 15

3

2 5

3

2 5

45 a

góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng (SBD và ABCD bằng ) 600 Gọi

,

M N lần lượt là trung điểm của SB SC, Tính thể tích khối chóp S ADNM

A

3 6 16

a

3 6 24

a

3

16

a

3 6 8

a

Câu 34: Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD bằng

3 3

a

Tính thể tích V của khối chóp đã cho

A

3 2

a

V 

3

3

a

V 

3

3 9

a

V 

mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 30 Tính thể tích V của

khối chóp S.ABC D.

3 3 3

a

V 

3 6 18

a

V 

3 6 3

a

V 

AB a Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Góc giữa

SBC và mặt phẳng đáy là 60 Tính thể tích 0 V của chóp S ABCD.

A

3

2 15

15

a

V 

B

3

12

a

V 

C

3 3 4

a

V 

D

3 13 12

a

V 

SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD. bằng:

A

3 3 12

a

B

3 3 9

a

C

3 5 24

a

D

3 5 6

a

tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng SCD tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD. là?

A

3 3 4

a

B

3 3 2

a

C

3 3 36

a

D

3

36

a

2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng

đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD. bằng

3 4

3a Tính khoảng cách h từ B

đến mặt phẳng SCD 

A

4 3

B

3 2

C

2 5 5

D

6 3

1 2

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

đáy, góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng   sao cho

15 tan

5

 

Tính thể tích khối chóp S ACD theo a

A

3

S ACD

a

3

S ACD

a

3

2 6

S ACD

a

3

3 6

S ACD

a

SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng SC và mpABCD bằng 45 Gọi M là trung điểm của SD Tính theo

a khoảng cách d từ điểm M đến SAC.

A

1513 89

a

d 

89

a

d 

C

1315 89

a

d 

89

a

d 

tam giác vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là

điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD Biết rằng SA = 2 3 a và SC tạo

với đáy một góc bằng 30° Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

3

8 6 3

a

C V =8 2a3. D

3

8 6 9

a

của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm của cạnh  AD; gọi M là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABM.

A

3 15 3

a

B

3 15 6

a

C

3 15 4

a

D

3 15 12

a

vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho

2 3

; mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o Thể tích khối chóp S ABC. là?

A

3 3 12

a

B

3 3 48

a

C

3 3 36

a

D

3 3 24

a

trong mặt phẳng vuông góc với ABCD

, SAB  300, SA2a Tính thể tích V

của khối chóp S ABCD.

A

3 3 6

a

V 

3 9

a

V 

D

3 3

a

V 

bên và mặt đáy bằng 60 Thể tích 0 V của khối chóp S ABCD. bằng

A

3 3 2

a

V 

B

3 2 2

a

V 

C

3 3 6

a

V 

D

3 2 6

a

V 

O Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD bằng 60 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD

A

3 10 6

a

B

3 30 2

a

C

3 30 6

a

D

3 10 3

a

,

A

3 21 54

a

3 3 12

a

3 7 27

a

3 21 27

a

mặt phẳng (ABC bằng 45° Thể tích khối chóp SABCD là)

A

3 3

a

3 2 6

a

3 6

a

3 2 3

a

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SA và mặt phẳng SBC là  45o

Thể tích khối chóp S ABC bằng

A

3 8

a

3 3 8

a

3 3 12

a

3

4

a

đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng  22

a

Tính thể tích của khối chóp đã cho

A

3 3

a

3 3 9

a

D

3 2

a

giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3a Thể tích khối chóp đã cho bằng:

3

3

a

nhau; AB6a , AC7a vàAD4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các

cạnh BC,CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

A V 7a3 B V 14a3 C

3 28 3

D

3 7 2

C ÂU 54: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A,

2

AB a Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên

mặt phẳng ABC là điểm  H thỏa mãn IA2IH,

góc giữa SC và mặt phẳng

A

3 5 2

a

3 5 6

a

3 15 6

a

3 15 12

a

, góc giữa (SAB và () SCB bằng ) 0

60 Thể tích khối chóp S ABC bằng

A

3

3 2 8

a

3 2 3

a

3 2 24

a

3

9 2 8

a

tại A, BC=a 2, A B' tạo với đáy một góc bằng 600 Thể tích của khối lăng trụ bằng

A

3 3 2

a

3 3 4

a

3

3 2

a

3

2

a

vuông tại A Cho ACAB2a , góc giữa AC và mặt phẳng ABC bằng 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C.   

A

3

3

a

3 3 3

a

3

3

a

3

3

a

cân tại B với BA BC a, biết 'A B tạo với mặt phẳng ABC một góc  0

60 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

3 3 6

a

3 3 2

a

3

2

a

thẳng A C' và mặt phẳng ABC bằng 45  Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' bằng

A

3 3 4

a

3 3 2

a

3 3 12

a

3 3 6

a

thẳng A C và mặt phẳng ABC bằng 45o Thể tích khối lăng trụ ABC A B C.    bằng

A

3 3 4

a

3 3 2

a

3 3 6

a