Cd30 (câu 43)thể tích khối đa diện vd vdc hdg p1

Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều : g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.. Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhậ

a b c a

A

S

B C

THỂ TÍCH KHỐI CHểP – KHỐI LĂNG TRỤ

1 Thể tớch khối chúp chóp= ì1 đá y chiều cao = ì1 đá y (đỉnh; mặt phẳng đáy)

2 Thể tớch khối lăng trụ Vlăng trụ=Sđ á y chiều cao

g Thể tớch khối lập phương V =a3 g Thể tớch khối hộp chữ nhật V =abc

g Đỏy là đa giỏc đều.

CHUYấN ĐỀ 30: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VD – VDC

5 Tứ diện đều và bát diện đều:

g Tứ diện đều là hình chóp có tất cả các mặt là những tam giác đều bằng nhau.

g Bát diện đều là hình gồm hai hình chóp tứ giác đều ghép trùng khít hai đáy với

nhau Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của bốn tam giác đều Tám mặt là các tam

giác đều và bằng nhau

Nếu nối trung điểm của hình tứ diện đều hoặc tâm các mặt của hình lập phương ta

sẽ thu được một hình bát diện đều

6 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều :

g Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng

đáy Do đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

g Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP a) Hình chóp có

một cạnh bên

vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình

b) Hình chóp có 1

mặt bên vuông góc

với mặt đáy: Chiều

cao của hình chóp là

chiều cao của tam

giác chứa trong mặt

bên vuông góc với

đáy

Ví dụ: Hình chóp S ABCD có

mặt bên (SAB vuông góc)với mặt phẳng đáy (ABCD)thì chiều cao của hình chóp

là SH là chiều cao của

SAB

D

c) Hình chóp có 2

mặt bên vuông góc

với mặt đáy: Chiều

có hai mặt bên (SAB và)

mặt đáy (ABCD thì chiều)cao của hình chóp là SA

D

A S

H

D

A S

S

r a

b

ca

h

A

chóp là đoạn thẳng

nối đỉnh và tâm của

đáy Đối với hình chóp

đều đáy là tam giác

thì tâm là trọng tâm

G của tam giác đều.

S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm của hai

đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là

SO

DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP

 Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB =c BC, =a CA, =b

(c¹nh huyÒn)

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABCD vuông tại ,A có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó:

Cho ABCD và đặt , , , 2

a b c

Gọi , R r lần lượt là bán

kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó:

* Định lý hàm sin: sin sin sin 2

ggg

* Công thức trung tuyến:

ggg

* Định lý Thales:

2 2

AMN ABC

cân tại B , AB a Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A BC 

32

32

4 a .

Lời giải Chọn B

A

N M

(SCD) và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3 34

a

3 312

a

3 32

a

Lời giải

Gọi H là trung điểm của đoạn AB

Vì SAB là tam giác cân đỉnh S nên SH AB, mà

SAB  ABCD , SAB  ABCD AB suy ra SH ABCD

Vì đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có góc BAD  1200nên tam giác BAC là

tam giác đều cạnh a, suy ra

32

a

CH 

Vì BAC là tam giác đều nên CH ^AB mà CD ABP suy ra CH CD.

Vì CD CH CD ; SC SCD;   ABCD CD

suy ra góc giữa hai mặt phẳng SCD

Xét tam giác SHC vuông tại H ta có

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết khoảng cách

từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng 3 a Tính thể tích V của khối chóp

A

3

7 216

a

3

7 212

a

3

7 76

a

3

3 72

phẳng vuông góc với đáy nên SH vuông góc với AB ,

32

(ABC) góc 60 

Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3 62

a

3 33

a

C 2a3 6 D

3 66

a

Lời giải

Gọi O là trung điểm của AC , vì BA BC nên BOAC

Mà (SAC)(SAB) nên BO(SAC)

Khi đó, các tam giác vuông BOA , BOC , BOS bằng nhau nên

Suy ra tam giác SAC vuông tại S

Vì (SAC) vuông góc với (ABC) và góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng

Diện tích SAC tính bằng công thức

chữ nhật ABCD , với AD2a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc Gọi  là góc giữa

hai mặt phẳng SAB và  SCD Biết rằng  tan 2 23 Thể tích của khối chóp

S ABC là

A

3 32

a

V 

B V a3 3 C

3 38

a

V 

3 212

a

V 

Lời giải

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và  SCD là đường

thẳng d đi qua S và song song với AB, CD.

Gọi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.

Xét tam giác đều SAB có:

giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.Tính thể tích khối chóp S ABCD. biết rằng mặt phẳng SBC tạo với mặtphẳng đáy một góc 30

A

3

32

a

3

2 33

a

C 2 3a3 D

3

4 33

a

Lời giải

Gọi H M, lần lượt là trung điểm của AD BC, ta có:

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa SBC vàmặt đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD

A

3

2 33

a

3

4 33

a

3

8 33

a

D 2a3 3

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AD Vì tam giác SAD cân tại S nên SH AD Hai

mặt phẳng SAD và ABCD vuông góc nhau và cắt nhau theo giao tuyến

AD có SH SAD mà SH AD nên SH ABCD

Gọi I là trung điểm của BC ta có BC HI BC SHI BC SI

Xét tam giác SHI vuông tại H có SH HI.tan 600 2a 3.

3 2

của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB Biết

32

a

SH 

vàmặt phẳng SAC vuông góc với mặt phẳng SBC Thể tích khối chóp S ABC.

⬥ Vậy thể tích khối chóp S ABC. là

đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của cạnh AB Biết

32

a

SH 

và mặtphẳng SAC vuông góc với mặt phẳng (SBC) Thể tích khối chóp .S ABC

Suy ra (SAC);(SBC) AKB900

Đặt AB x  , AKB vuông tại K có H là trung điểm của

3

giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳn vuông góc với đáy Biết

khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng

3 55

3

6 32

C

3

272

3

92

54

x

x x



Do mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳn 

vuông góc với đáy nên SI ABCD

Hình chóp S ABCD có đường cao

32

và ABC là 60 Hình cầu tâm O bán kính bằng 1 tiếp xúc AB AC, và mặt

phẳng BCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng ABC,

H nằm trong tam giác ABC Biết rằng O thuộc đường thẳng DH và

Gọi N là trung điểm của BC

Kẻ OM vuông góc với AB tại M ; OP vuông góc với AC tại P  OM OP 1

2

HN x

AB a và góc giữa hai đường thẳng d d bằng 1, 2  Hai điểm M N, di độngtrên d d 1, 2 M d N d 1,  2 sao cho AM BN MN  Gọi H là hình chiếu của

trung điểm O của AB lên MN Đường tròn  C nằm trong mặt phẳng

M d, 2, tiếp xúc với d tại 2 B và tiếp xúc MN tại H Tiếp tuyến thứ hai kẻ từ

M với  C cắt d tại điểm 2 P Thể tích khối tứ diện AMNP bằng

3.sin12

N

M

P A

B

Gọi K là tiếp điểm của MP và  C , d là đường thẳng qua B và song song

AMNB

a xy

4sin2

a xz

3

6sin

AMNP

a V





Góc giữa SA và mặt đáy bằng 45 , góc giữa 0 SAB và mặt đáy bằng  0

a

C

3 3.3

a

Lời giải

Gọi M N, lần lượt là trung điểm AB CD, .

Gọi H K E, , lần lượt là hình chiếu của S H N, , lên ABCD SM SM, ,

Vì SAB cân tại S nên H MN

a

3

411

Tam giác BCD cân tại C CB CD a   

đều cạnh a

Gọi M là trung điểm của BC

Vì AB CD// SAB//CD d SA CD ,  d CD SAB ,   d C SAB ,   CE d H SAB ,  

a

3

79

a

3

76

a

3

718

a

Lời giải

Qua A và C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và BC nằm

trong mặt phẳng ABC và cắt nhau tại  D  Tứ giác ABCD là hình vuông.

đó góc giữa 2 mặt phẳng SAB và  SBC bằng hoạc bù với  AMC^

Theo bài ra

 

2 2

a SD

Thể tích của khối chóp B ACC A   bằng

Gọi M là trung điểm của A C 

Vì tam giác A B C   là tam giác vuông cân tại B 2

6tan

3 3

a

3

381

a

3

354

a

3

3108

.

1.3

372

A GEN A GENM M AGN

a

Câu 17: Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành và SA vuông góc

với mặt phẳng đáy Biết AB 2 ,a AD2 ,a ABC 45o và góc giữa hai mặtphẳng SBC ,  SCD bằng  o

30 Thể tích khối chóp đã cho bằng

32

+ Khi đó K là trung điểm của BC và AK BC nên ACAB 2a

Nhận thấy tam giác ABC ACD, là các tam giác vuông lần lượt tại A và C

+ Ta có: BCSAK,CDSAC suy ra SBC  SAK , SCD  SAC

+ Gọi I H, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SK SC, khi đó

Dẫn đến AI IH hay tam giác AIH vuông tại I

Góc giữa hai mặt phẳng SBC, SCD bằng  IAH 30o.

Câu 18: Cho khối chóp đều S ABCD có AC4a, hai mặt phẳng SAB và SCD

vuông góc với nhau Thể tích khối chóp đã cho bằng

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Do S ABCD là hình chóp đều nên SOABCD  SOAB

Ta có: S là một điểm chung của hai mặt phẳng SAB và SCD

cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. biếtgóc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 0

A

3 15 15

a

V 

B

3 15 6

a

V 

Lời giải Chọn C

a

3

83

a

3

312

a

3

49

B A

S

Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mpSBC

và mpABC

là

 300

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra sin 300 2

AH

.Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao suy ra

3

a

.Vậy

AC a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC Biết góc giữa hai mặt phẳng

SAB và SBC bằng 60 Tính thể tích của khối chóp S ABC.

A

3 26

a

3 612

a

3 64

a

3 22

a

Lời giải Chọn B

Trong ABCkẻ CH AB  CH SAB  CH SB 1

a BH

Từ    1 , 2  HK SB

Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC là CKH    60

Trong vuông CKH có .cot 60 2

góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng (SBD và ABCD bằng ) 0

a

3 624

a

D

3 68

a

Lời giải Chọn A

N M

O

S

C D

3 3

vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho

2 3

AH  AC

; mặtphẳng SBC tạo với đáy một góc 60o

Thể tích khối chóp S ABC là?

A

3 312

a

B

3 348

a

C

3 336

a

D

3 324

a

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC

1 :

Do ABC đều nên

bên và mặt đáy bằng 600 Thể tích V của khối chóp S ABCD bằng

A

3 32

a

V 

B

3 22

a

V 

C

3 36

a

V 

D

3 26

3 2

đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB một góc  0

30 Tính thể tích khối chóp

S ABCD

A

3

23

a

B

3

23

a

C

3

63

a

Lời giải Chọn B

+) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: S ABCD a2

+) Chứng minh được BCSAB góc giữa SC và là ·  0

30

+) Đặt SAx  SB x2a Tam giác SBC vuông tại B nên2

·  0  1 tan tan 30

3

BC CSA

SB

Ta được: SB BC 3 x2a2 a 3 x a 2

3 2

đáy một góc 45 Tính thể tích V của khối chóp S ABC.

A

3

318

a

V 

Lời giải Chọn A

B

C A

S

ABC là tam giác vuông tại B , AB a , ACB  60 0

3tan 60 3

3

cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V của khối chóp S ABCD. biếtgóc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 60 0

A

3 15 15

a

V 

B

3 15 6

a

V 

Lời giải Chọn C

phẳng SBC cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng  ABC góc0

30 Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3

89

a

3

83

a

3

312

a

3

49

B A

S

Gọi I là trung điểm sủa BC suy ra góc giữa mpSBC và mpABC là

 300

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra d A SBC ,   AH  a

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra sin 300 2

AH

.Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x , mà AI là đường cao suy ra

3

a

.Vậy

AC a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC Biết góc giữa hai mặt phẳng

SAB và SBC bằng 60 Tính thể tích của khối chóp S ABC.

A

3 26

a

3 612

a

3 64

a

3 22

a

Lời giải Chọn B

Trong ABCkẻ CH AB  CH SAB  CH SB 1

a BH

Từ    1 , 2  HK SB

Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC là CKH    60

Trong vuông CKH có .cot 60 2

a SA

Thể tích hình chóp S ABC. là

1

I

S

C

B A

 Gọi I là trung điểm BC

+ Do ABC cân tại A nên BCAI

+ Mặt khác do SA(ABC) BCSA

Suy ra BCSI

Do đó góc giữa (SBC) và đáy chính là góc SIA 45

 Xét AIB vuông tại I có IB a ,  IAB60 , suy ra tan 60  3

, SIA 45 nên SAI vuông cân tại A, do đó3

  a

SA IA

 Thể tích của khối chóp S ABC là

; SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến (SCD)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng SD Ta có

.Vậy

góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng (SBD và ABCD bằng ) 600 Gọi

,

M N lần lượt là trung điểm của SB SC, Tính thể tích khối chóp S ADNM

A

3 616

a

3 624

a

D

3 68

a

Lời giải Chọn A

N M

O

S

C D

a

Tính thể tích Vcủa khối chóp đã cho

a

V 

339

a

V 

Lời giải Chọn C

H

O

D

C B

A S

Gọi O AC BD , gọi H là hình chiếu của A lên SO

Vì O là trung điểm của AC nên d C SBD ,   d A SBD ,  

Ta có: BDAC BD; SA BDSAC SBD  SAC;

AO 

.Trong tam giác 2 2 2

mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng 30 Tính thể tích V của

khối chóp S.ABC D.

3

33

a

V 

Lời giải Chọn B

S

Ta có hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh, SA vuông góc với mặt

đáy nên DAAB và DASA Suy ra DASAB Vậy góc giữa SD và mặt

AB a Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Góc giữa

SBC và mặt phẳng đáy là 60 Tính thể tích 0 V của chóp S ABCD.

A

3

2 15

.15

a

V 

Lời giải Chọn C

Vì hai mặt phẳng SAB và  SAD cùng vuông góc với đáy nên

a

AI 

Và góc giữa SBC và mặt phẳng đáy là SIA  600

Xét tam giác SAI ta có:

SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; gócgiữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD. bằng:

A

3 312

a

B

3 39

a

C

3 524

a

D

3 56

a

Lời giải Chọn D

Gọi H là trung điểm của AB , SAB cân tại S SH AB

tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặtphẳng SCD tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD. là?

A

3

34

a

B

3

32

a

C

3

336

a

D

3

5 336

a

Lời giải Chọn A

Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB và CD

Suy ra SH ABCD và  SCD , ABCD  SKH 30

.Xét SHK vuông tại H, có

3 1 3:

2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳngđáy Biết thể tích khối chóp S ABCD. bằng

3

4

3a Tính khoảng cách h từ B

đến mặt phẳng SCD 

A

43

B

32

C

2 55

D

63

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của AD Nên SH AD

43

22

ABCD

a V

2

a a

a a

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng   sao cho

15tan

5

 

Tínhthể tích khối chóp S ACD theo a

A

3

26

36

Gọi H là trung điểm AB , từ giả thiết ta có: SH ABCD,

32

;

3

SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa đườngthẳng SC và mpABCD bằng 45 Gọi M là trung điểm của SD Tính theo

a khoảng cách d từ điểm M đến SAC.

A

151389

a

d 

B

2 131589

a

d 

C

131589

a

d 

D

2 151389

d 

tam giác vuông tại S Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là

điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD Biết rằng SA = 2 3 a và SC tạo

với đáy một góc bằng 30° Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABCD

3

8 63

SH SDH

của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm của cạnh  AD; gọi M làtrung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tíchcủa khối chóp S ABM.

A

3 153

a

B

3 156

a

C

3 154

a

D

3 1512

a

Lời giải Chọn D

Ta có

2 D

vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho

23

; mặtphẳng SBC tạo với đáy một góc 60o Thể tích khối chóp S ABC. là?

A

3 312

a

B

3 348

a

C

3 336

a

D

3 324

a

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BC

1:

Câu 45: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB nằm

trong mặt phẳng vuông góc với ABCD ,  SAB 300, SA2a Tính thể tích V

của khối chóp S ABCD.

A

3

3.6

a

V 

Lời giải Chọn D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên cạnh AB

Do SAB  ABCD và SAB  ABCD AB nên SH ABCD

Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:

bên và mặt đáy bằng 60 Thể tích 0 V của khối chóp S ABCD. bằng

A

3 32

a

V 

B

3 22

a

V 

C

3 36

a

V 

D

3 26