D02 thể tích khối đa diện muc do 4

Gọi E là giao điểm của AB và CD , F là giao điểm của AD và BC.. Ta có: AC ^SBDÞ SBD^ABCDTam giác SBD vuông tại S nên: 5 SH BD Gọi K là giao điểm của AC và BD.. Trong tam giác SHF ta có..

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.d] (HSG Toán 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Cho hình chóp

S ABCD Gọi E là giao điểm của AB và CD , F là giao điểm của AD và BC Mặt phẳng  

không qua S , song song với mặt phẳng (SEF)cắt các cạnh SA , SB , SC , SD của hình chóp lần lượt tại M , N , P , Q Chứng minh rằng    .

Lời giải

Q

P

N

M

F

E

D

C B

A

S

   // SEF

,     SABMN

, MN SE, SAB

nên suy ra MN SE //

   // SEF

,     SADMQ

, MQ SF, SAD

nên suy ra MN SF //

   // SEF

,     SBC NP

, NP SF, SBC

nên suy ra NP SF //

   // SEF

,     SCD PQ

, PQ SE, SCD

nên suy ra PQ SE// Vậy MNPQlà hình bình hành

uuur uur uur uur

 SM uur SP uurSN uurSQuur

Vì bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng nên ta có

1

  SP SN SQ SM

SA SC SB SD.

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.d] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

(SBD)

BD và SA

Lời giải

Ta có: AC ^(SBD)Þ (SBD)^(ABCD)

Tam giác SBD vuông tại S nên:

5

SH

BD Gọi K là giao điểm của AC và BD Ta có

5

BD

4

AK

ABCD

.

Kẻ đường thẳng d đi qua A và song song với BD

Kẻ HE/ / K A, E Î d

(SHE) ^ (SA,d); (SHE) (Ç SA d, )=SE

Kẻ HF vuông góc với SE tại F thì HF vuông góc với (SA d, )

nên d BD SA( ; ) =d BD SA d( ;( , ) ) =d H SA d( ;( , ) ) =HF

Trong tam giác SHF ta có

Câu 1. Cho mặt cầu có tâm O và bán kính R Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu ta dựng ba cát

tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại các điểm , ,A B C ( khác với S ) và ASB· =BSC· =CSA· =a

Tính thể tích khối chóp S ABC theo R và a Khi a thay đổi, tìm a để thể tích khối chóp

S ABC lớn nhất.

Tam giác ABC đều, kẻ SO vuông góc với ¢ (ABC)

thì ¢O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và O¢thuộc SO

Giả sử SO cắt mặt cầu tại D thì tam giác SAD vuông tại A ¢

Gọi SA =SB =SC = 1.

Trong tam giác SAD ta có

2

Gọi E trung điểm BC ta có

a a

a

2 sin 2

4

l BC

Từ (1) và (2) ta có

-2

R

Þ =4 3 (12 - 4sin2 )sin2

ABC

a

Þ '=2 (1- 4sin2 )

.

[HH12.C1 1.E04.d]

Đặt

a

=sin2 Þ 0< <1

2

Xét hàm số

= (1- 4 )2=1(16 3- 24 2+9 )

é

ê = ê

ê = ê ë

2

1

3 3

4

x

x

Thể tích S ABC lớn nhất là

3

8 3 27

R

khi

x

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.d] Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,

SA SB SC avà SDxa0, x0

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và x

b) Tính x theo a để thể tích khối chóp S.ABCDlớn nhất

Lời giải

a) Gọi OACBD

* Tam giác SAC cân tại S có SO là đường trung tuyến nên SOAC  1

* ABCD là hình thoi nên BDAC  2

Từ  1

và  2

suy ra ACSBD

Do đó V S.ABCD V A.SBDV C.SBD 1OA.S SBD1OC.S SBD

1

* Xét ba tam giác vuông OAD , OAB , OAS có cạnh OA chung và ADABAS nên

chúng bằng nhau Suy ra : OD OB OS  SBD  vuông tại S

Khi đó:

SBD

Ta có



Vậy

S.ABCD

b) Theo bất đẳng thức Cô – si thì:

3

Vậy V S.ABCDlớn nhất khi và chỉ khi x a2 x2

a

2

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.d] (HSG QUẢNG NINH 18-19)Cho lăng trụ ABC A B C.   có đáy là tam giác

vuông tại A, AB a BC , 2a Mặt bên BCC B là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc ' '

với mặt phẳng chứa đáy Góc giữa hai mặt phẳng BCC B' '

và ABB'A'

bằng  Trong trường

5 2 tan 

Lời giải

Dựng AH BC H BC   , suy ra AH BCC B' ' Trong tam giác vuông ABC có

2

AB AC a

BC

Dựng HI BB I BB'  '

, Ta có

 

'

' '









Suy ra góc giữa hai mặt phẳng BCC B' '

và ABB'A'

bằng góc giữa hai đường thẳng AIvà HI bằng AIH  ( Do tam giác AHI vuông tại H nên AIH là góc nhọn).

2

2

BH BC

, ta lại có:





Ta có:

a

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.d] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18)Trong không gian cho bốn đường thẳng d ,1

2

d , d , 3 d đôi một song song và không có ba đường nào nằm trong cùng một mặt phẳng Mặt 4

phẳng  P

cắt bốn đường thẳng d , 1 d , 2 d , 3 d theo thứ tự là A, B , 4 C , D Mặt phẳng  Q

cắt bốn đường thẳng d , 1 d , 2 d , 3 d theo thứ tự là A, B, C, D(4  Q

khác  P

) Chứng minh thể tích

của hai khối đa diện D ABC và DA B C  bằng nhau

Lời giải

A B

C D

D

C

A

O

O B

Gọi OOAA C C    BB D D  

.

1

D ABC

O ABC









.

2

D A B C

O A B C

  

  





1 3

(trong đó h d B O AC  ,    d B OA C ,   

)

1 3

V   V    h S  

.

3

O A B C OA C

    



Ta có

1 2

S  S  S   OO a

(trong đó a d AA CC  , 

)  4

2

Từ  3 ,  4 ,  5 suy ra V O A B C.   V O ABC.  6

Từ  1 ,  2 ,  6 suy ra V D ABC. V D A B C.   