D02 thể tích khối đa diện muc do 2

  có đáy ABClà tam giác vuông cân ởAvới BC 2avà hình chiếu của Alên mặt phẳng ABCtrùng với trung điểm BC.. Biết rằng diện tích của tứ giác BCC B bằng 6a .2 Tính theo athể tích c

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b] Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.   có đáy ABClà tam giác vuông cân ở

Avới BC 2avà hình chiếu của Alên mặt phẳng ABCtrùng với trung điểm BC Biết rằng diện

tích của tứ giác BCC B bằng 6a 2 Tính theo athể tích của hình lăng trụ đã cho

Lời giải

Ta có ABCvuông tại A, BC2a

2 2

BC





 

Dễ chứng minh BCC B là hình chữ nhật

Mà S BCC B 6a2  BB3a AA3a

Xét AOAvuông tại Ocó AO a , AA 3a  A O 2a 2

Vậy

3

ABC A B C ABC

V   S A O  AB AC A O  a a a  a

(đvtt)

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b](HSG 12 ĐỒNG THÁP 2018-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a và ·ABC 60o , SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của SD BC CD, , Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Lời giải

a

a 2

I E

I E

P

N H

D

C

N M

P

H

C A

D B

A

B S

Gọi H là hình chiếu của S trên ABthì do hai mặt phẳng SAB , ABCD

vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến ABnên SH ABCD SAB vuông cân tại S nên Hlà trung điểm của

AB Gọi Elà trung điểm của ADcòn I là giao điểm của EN và APthì I cũng chính là trung

điểm của APvà HD.

1

, 2

SH  AB a S ABCD S ABC 2 3 a2

3

S ABCD ABCD

a

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b] Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.   có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

Avới BC2avà hình chiếu của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm BC Biết diện tích tứ giác BCC B bằng 6a2 Tính theo a thể tích của lăng trụ đã cho.

Lời giải

F

E

H B

C

A

C'

Gọi H là trung điểm của BC , theo giả thiết AH BC A H;  BC BCAAnên BCC B là hình chữ nhật Vậy ta có BB BC. 6a2  BB3a Do đó A H 2a 2

Thể tích lăng trụ là:

3

1

2

lt

V A H BC AH  a

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AB7 ,a BC7a 3 E là điểm trên cạnh

SC sao cho CE2ES Tính thể tích khối chóp E ABC

Lời giải

Tam giác ABC vuông tại Anên ( )2 ( )2

Gọi Hlà trung điểm củaAB

,

ïï

íï

Tam giác SAB đều nên

7 3 2

a

SH =

Cách 1: Ta có

S.

.

1 3

ABE

S ABC

.

2 3

E ABC

S ABC

V V

3

EJ

SH = Þ = = . 1 1 7 3 1 .7 7 2 343 3 6

E ABC ABC

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b] (HSG Toán 12 - Hòa Bình năm 1718) Cho hình chóp , có đáy

là hình chữ nhật với AB a 2, BC a và SA SB SC SD   2a Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AC và H là hình chiếu vuông góc của K trên SA Tính thể tích khối chóp theo a

Lời giải

S ABCD ABCD

S ABCD

Gọi O AC BD Ta có SOABCD

3

AC a

4

SO SA  OA  a  

Suy ra

13 2

a

SO 

Vậy

3

2

S ABCD

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b] (HSG Dak-Lak 2011-2012) 1 Cho hình lăng trụ ABC A B C.   , đáy ABC là

tam giác cân có ABAC a (a là một số thực dương) và mặt bên ACC A là hình chữ nhật có 2

AA  a Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng ACC

nằm trên đoạn thẳng A C Chứng minh thể tích của khối chóp A BCC B  bằng 2 lần thể tích của khối chóp B ACA.

Lời giải

Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC A B C.   , V B ACA. là thể tích của khối chóp B ACA

Ta có V h S. ABC ( h là chiều cao của khối lăng trụ ABC A B C.   )

Ta có .

1 3

B ACA ABC

V  h S

Vậy V 3.V B ACA. hay V A BCC B.  3.V B ACA. 

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b] (HSG lớp 12 SGD Hà Nam NH 18 – 19) Cho hình hộp ABCD A B C D    có tất

cả các mặt là hình thoi cạnh a , BAD BAA  A AD 60 Tính thể tích khối hộp

   

ABCD A B C D .

Lời Giải

Các tam giác ABD AA D AA B là các tam giác đều suy ra A B BD A D a,  ,       Do đó tứ diện

AA BD là tứ diện đều có cạnh bằng a.

Gọi H là trọng tâm tam giác A BD Ta có

Tam giác ABH vuông tại H nên

2

AH  AB  BH  a  

;

2 3 4

 

A BD

a S

Vậy

.

A A BD

V

Suy ra

      

ABCD A B C D A A BD

Cách khác:

Gọi O là trọng tâm ABD , tứ diện A ABD là tứ diện đều nên A O vuông góc với mặt phẳng

ABD

Do đó A O là chiều cao của hình hộp

Ta có

2

A O  A D  OD  a  

2 3 2 3

ABCD ABD

Vậy

.

3

ABCD A B C D ABCD

V    A O S  

Câu 1 [HH12.C1.1.E02.b] Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có các cạnh 1 1 1 1 AB A D 2 , AA 1 3và

 60

 Gọi M N, lần lượt là trung điểm A D A B Tính thể tích khối chóp ABDMN 1 1, 1 1

Lời giải

Gọi AA1DMBN  I  A M N1, , lần lượt là trung điểm của AI DI BI, ,

 

.

.

2

.2 3.2

I AMN

A BDMN I ABD

I ABD

Vậy .

3 2

A BDMN