01 toan 10 cvp

Gọi D, E, F theo thứ tự là chân của các đường phân giác trong hạ từ các đỉnh A, B, C.. Chứng minh rằng tam giác DEF cân... Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đ

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

————————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

—————————————

Câu 1 Tìm số nguyên dương n, biết rằng trong ba mệnh đề sau đây có duy nhất một mệnh

đề sai:

" 15

P n là một số chính phương",

"

Q n có chữ số tận cùng là 2",

" 74

R n là một số chính phương"

Câu 2 Giải hệ phương trình: ( k10 – 2013)







C©u 3 Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình sau có nghiệm nguyên dương (x; y):

1

m xy

 





Câu 4 Cho tam giác ABC có C 2B 4A Gọi D, E, F theo thứ tự là chân của các đường phân giác trong hạ từ các đỉnh A, B, C Chứng minh rằng tam giác DEF cân

Câu 5 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( K10 – 2013) 4 3 24 19 25 8

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh……… SBD………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

————————

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho học sinh trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

—————————————

Lưu ý khi chấm bài:

-Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.

-Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.

-Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.

-Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.

-Riêng câu 4, nếu học sinh không có hình vẽ đúng thì không cho điểm.

-Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.

Câu 1 (1,5 điểm)

Nếu Q đúng thì chữ số tận cùng của n+15 là 7, chữ số tận cùng của n-74 là 8 nên n+15 và n-74

không thể là các số chính phương, suy ra P, R cùng sai, vô lý!Vậy Q phải là mệnh đề sai

Giả sử n 15x n2;  74y x y2( , ) x y 0,25 (x y x)( y) 89

Vậy  2 

Câu 2 (2,0 điểm)

Nhận thấy y 0không thỏa mãn hệ phương trình

x y x y xy y

y x y xy y





Chia hai vế của (1) cho y2 và hai vế của (2) cho y3 ta được

2

2

3

4

4 24

y







Ta có(1') 3(27x3 27x2 9x 1) 6x 26 42 3(3 -1)x 3 2(3x 1) 24 42

3

2

4 3(3 -1)x 2(3x 1) 24 (3)

y

(2') 24 9x 6x 1 3 (3x 1) 2 24 (4)

Đặt a 3x 1;b 2

y

   , từ (3) và (4) ta có hệ

a b a

b a b





Suy ra (a b )(3a23ab3b2  a b 2) 0 Dễ thấy 3a23ab3b2   a b 2 0 a b,

Thay vào (3’) ta có 3a3 a22a 24 0  a 2 b2 0,25

Cõu 3 (2,0 điểm)

Điều kiện: xy 1. Vì x, y nguyên dơng  xy – 1 > 0

Ta có:

2

y(x x 1) (x 1)(xy 1) x y 1 x y 1

Theo giả thiết suy ra: x y 1 N*, xy 1 N *.     0,25

xy 1

 

 (x + y + 1) chia hết cho (xy – 1)  x y 1 xy 1     x(y 1) y 2   (2) 0,25

- Nếu y = 1 thì

 

+ Với x = 2, y = 1 thì m = 7; Với x = 4, y = 1 thì m = 7 Vậy m = 7 thoả mãn

- Nếu y ≠ 1 Vì y  N*  y > 1 Khi đó y 2 3



0,25

+ Với x = 1, suy ra 3 y 1 1 y 2

y 1

x = 1, y = 2  m = 3 (thỏa món); x = 1, y = 4  m = 1 thoả mãn

0,25

+ Với x = 2, suy ra 7 2y 1 1 y 1

2y 1

+ Với x = 3, suy ra

2 y 3y 1 1

3y 1

y 3







 



 





khụng thoả món

0,25

+ Với x = 4, suy ra

1 y

21

4y 1

y 2







 

















(do y nguyờn)

Khi x = 4, y = 1  m7 Khi x = 4, y = 2  m = 3 Vậy m = 1, m = 3, m= 7 thoả mãn. 0,5

Cõu 4 (3,0 điểm)

HèNH VẼ

4x

2x x

2x

x x

4x

4x

2x 2x

x

D I

B

F

E Đặt A2 ;x B 4 ;x C 8x ta cú A B C  1800 14x1800

Gọi I là giao điểm của AD, BE và CF Dựng đường thẳng BJ vuông góc với CF và cắt AC tại J Ta

có tam giác BCJ cân tại C CB CJ

0,5

Ta sẽ chứng minh FBD FCE :

Dễ có CBF BCF 4x nên tam giác BCF cân tại F  FB FC  1

Lại có : FBD FCE 4x (2) 0,25 Bây giờ ta chứng minh CE = BD

Thật vậy: do BCJ cân tại C mà C 8x CBJ CJB  3x IBJ  x IJB (vì I thuộc trung trực

Mặt khác: EIJ IJB IBJ 2x

Suy ra EJI EIJ 2x nên tam giác EIJ cân tại E suy ra EJ = EI (*) 0,5

Mà IEC EJI EIJ  4x ECI nên tam giác ICE cân tại I  EI = IC (**) 0,25



0

5

CDI CID





       nên CID cân tại C  IC CD ***

0,5

Từ (*), (**) và (***) suy ra EJ CD  CE CJ JE CB CD DB     (3) 0,5

Từ (1), (2) và (3) suy ra FBD FCE (c.g.c)

Câu 5 (1,5 điểm)

Ta có bất đẳng thức quen biết : Với các số dương a,b,c,x,y,z ta có

(*)

 

  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Ta có (4 1) (3 1 ) (24 2 ) 2 9 4 1

Theo (*) ta có

2

9 4 1 (3 2 1)

36

 

Mặt khác, theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xảy ra đổng thời hệ (1), (2), (3), (4), (5)

Vậy MinP = 86 đạt được khi và chỉ khi 1; 1; 1