01 Toán 10.Docx

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIV, NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 10 Thời gian[.]

TRƯỜNG THPT

CHUYÊN LÊ KHIẾT

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XIV, NĂM HỌC 2022 – 2023

ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 10

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

2

(2)









Câu 2 (4,0 điểm) Cho x x1, , ,2 x2023 là các số thực dương Chứng minh rằng

2

2023

1

2023

x



Câu 3 (4,0 điểm)

Cho đường tròn ( )O và điểm A ngoài ( ) O cố định Vẽ hai tiếp tuyến AB AC của, ( )O ( , B C là tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC của ( ) O lấy hai điểm phân biệt , S T Gọi

M là điểm chính giữa cung nhỏ ST , P là điểm di động trên ( ) O , AP cắt ( ) O tại điểm thứ hai là Q MP cắt ST tại R Chứng minh rằng đường tròn ( PQR đi qua hai điểm cố) định khi P thay đổi trên ( ) O

Câu 4 (4,0 điểm)

Với ,a b là các số nguyên dương Chứng minh rằng nếu

ab

số nguyên thì a b

Câu 5 (4 điểm) Trong mặt phẳng cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng

hàng Các đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong số 20 điểm đã cho được tô bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh Hỏi tồn tại ít nhất bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh thuộc 20 điểm đã cho mà các cạnh của nó được tô cùng màu?

-HẾT -Thí sinh không được sử dụng tài liệu và các loại máy tính cầm tay

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ ĐỀ XUẤT

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 10

(Hướng dẫn này có 05 trang)

Câu 1 (4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

2

(2)









m 1

ĐK:

2

0

x y

y











Từ phương trình (2) suy ra

14

5 0 14

5 0

y y

x x

y y







 





1

PT (2)

Do

y

  nên áp dụng BĐT AM-GM ta có:

Dấu " " xảy ra kvck

2

5

3







 

1

Từ PT (1) suy ra

39

5

y

x y    x  

nên x5y, thay vào (1)

ta được:

2

3 2y  9y11 24y 39 2 y (3)

1

 2   

3 2y 9y 11 y 1 24y 39 2y 1 0

2 2

2

Từ (3) ta có

39 24

y 

Do đó 2

0

2y  9y11 y 1 y  y 

Vì vậy

2

10 2

25 5

x y

x y

 











 

 



 

 Thử lại thỏa mãn

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( , )x y (10,2),(25,5)

1

Câu 2 (4,0 điểm) Cho x x1, , ,2 x2023 là các số thực dương Chứng minh rằng

2

2023

1

2023

x



Câ

u

m 1

Theo bất đẳng thức AM GM ta có:

2

2023

1

x



1

Đặt:

P







Ta chỉ cần chứng minh P 1

1

Thật vậy, theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có 1x i2 1x2j  1 x x i j2

với mọi , i j Do đó ta có:

1 x x1 2 2 1 x x2 32 1 x20 23x12

1

1x 1x  1x  1 x x 1x x  1x x

Vậy: P 1 Dấu “=” xảy ra khi x1x2 x2023

1

Cho đường tròn ( )O và điểm A ngoài ( )O cố định Vẽ hai tiếp tuyến AB AC, của ( )O (B C,

là tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC của ( )O lấy hai điểm phân biệt S T, Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ ST, P là điểm di động trên ( )O , AP cắt ( )O tại điểm thứ hai là Q MPcắt

ST tại R Chứng minh rằng đường tròn (PQR) đi qua hai điểm cố định khi P thay đổi trên

( )O .

Câ

u

m

Gọi D MB ST  , E MC ST

Từ D và E kẻ hai đường thẳng vuông góc với ST , cắt OB và OC lần lượt tại

,

I K .

Kẻ hai đường tròn ( ;I IB),( ;K KC), hai đường tròn trên cắt nhau tại X Y,

Do OM / /DI (cùng vuông góc với ST ) và do BOM cân tại O nên BIDcân tại I Do đó Dnằm trên đường tròn ( ;I IB)

1

Ta có MBS MTSMSD nên MSB MDS(g.g) nên MD MB MS.  2

Tương tự ta có MP MR MS.  2 Do đó MD MB MP MR  hay M nằm trên trục

đẳng phương của ( ;I IB)và (PQR)

1

Ta có ABlà tiếp tuyến của ( )O nên AB2 AP AQ. , từ đó ta có Anằm trên trục

đẳng phương của ( ;I IB) và (PQR) (Do ABlà tiếp tuyến của ( ;I IB))

Do đó, AM là trục đẳng phương của (PQR)và ( ;I IB).

Tương tự, AM là trục đẳng phương của (PQR)và ( ;K KC)

1

Do đó, ta có AM cũng là trục đẳng phương của ( ;I IB)và ( ;K KC) Mà X Y, là 1

giao điểm của ( ;I IB)và ( ;K KC) nên (PQR) đi qua X Y,

Dễ thấy theo cách dựng hình ta có X Y, cố định nên (PQR) đi qua 2 điểm cố định

Câu 4 (4,0 điểm)

Với a b, là các số nguyên dương Chứng minh rằng nếu

2023 289 7 2 2

ab

nguyên thì a b

1 Giả sử ngược lại rằng, tồn tại các số nguyên dương phân biệt a b, thoả

mãn đề bài

Do (172023a b289 7,17ab 1) 1 nên

2023 289 7 2 2

ab

khi và chỉ khi 17a217b2 2 17 ab1(1)

1

Giả sử tồn tại a b   thoả mãn (1) Khi đó, tồn tại , * a b   thoả (1)0, 0 *

sao cho a0b0nhỏ nhất

Đặt

0 0

a b

mất tính tổng quát, giả sử a0 b0

Xét phương trình 17x217kb x0 17b02 2 k có một nghiệm là 0 a0

nên phương trình còn có một nghiệm khác mà ta gọi là a 1

1

Mà theo hệ thức Viete, ta có a1a0 kb0và

2 0

1 0

0 17

kb k

nên

* 1

a  

Theo cách chọn a b , ta có 0, 0 a1b0 a0b0nên a1a0

Theo quy tắc về dấu của tam thức bậc hai, do a1a0 b0nên

17b 17kb 17b  2k 0 34b  2k(17b 1) 2k

1

Mặt khác ta có

2

k

Từ đó ta có mâu thuẫn, tức là giả sử của ta là sai Vậy a b

1

Câu 5 (4 điểm) Trong mặt phẳng cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Các

đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong số 20 điểm đã cho được tô bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh Hỏi tồn tại ít nhất bao nhiêu tam giác với 3 đỉnh thuộc 20 điểm đã cho mà các cạnh của nó được tô cùng màu?

Số tam giác được tạo từ 20 điểm đã cho bằng C 203 1140.

Ta gọi một tam giác có các cạnh của nó được tô cùng một màu là tam

giác cùng màu, loại còn lại được gọi là tam giác khác màu.

Gọi m là số tam giác cùng màu (0m1140), suy ra số tam giác khác

màu bằng 1140 m

1

Ta đặt tên các điểm đã cho là A A1, 2, ,A20 Với mỗi góc A A A j i k

, ta

gọi nó là góc cùng màu nếu hai cạnh A A A A i j, i k

cùng màu và ngược lại ta

gọi là góc khác màu.

Lúc đó một tam giác cùng màu có ba góc cùng màu, một tam giác khác

màu có một góc cùng màu và hai góc khác màu

1

Do đó tổng số góc cùng màu bằng 3m(1140 m) 2 m1140

Mặt khác, tại một điểm A i bất kỳ, số cạnh xuất phát từ A i là 19 Giả sử

trong số này có x cạnh xanh và 19 x  cạnh đỏ

1

Khi đó, số góc cùng màu đỉnh A i bằng

2

19

C C  x  x x   

Do đó ta có 2 m  1140 20.81  , suy ra m  240.

Vậy có ít nhất 240 tam giác cùng màu trong số các tam giác đã cho

1

Giáo viên soạn đề: Nguyễn Thanh Quang

SĐT: 0983901825 Email: ntquanglk@gmail.com