Chuyên đề iii đáp án

Elip có tâm sai bằng Ví dụ 3 Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20 m , mặt cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét nh

CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ tìm hiểu những nội dung sau: xác định được các yếu tố đặc trưng của ba đường conic (elip, hypebol, parabol) và giải quyết được một số vấn đề thực tiễn gắn với ba đường conic đó

BÀI 1 ELIP

1 TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ELIP

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét elip  E

c a b ) được gọi là tiêu cự của elip ( )E Đoạn A A là trục lớn, 1 2

đoạn B B là trục bé của elip Độ dài của trục lớn là 2a , độ dài của trục bé là 2b Các độ dài 1 2 OA2 a ,

OB b lần lượt được gọi là độ dài bán trục lớn, độ dài bán trục bé.

Elip ( )E nhận hai trục toạ độ làm hai trục đối xứng và gốc toạ độ O làm tâm đối xứng Gốc O còn được gọi

là tâm của elip ( )E

được gọi là các đỉnh của elip Vẽ qua A A hai đường thẳng song song với trục tung; vẽ qua 1, 2 B B hai 1, 2

đường thẳng song song với trục hoành Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật PQRS Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chũ nhật cơ sở của elip (E)

(Hình 4)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip ( )E có phương trình chính tắc là

- Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở;

- Nếu điểm M x y( ; ) thuộc ( )E thì a x a b  ,  y b Do đó, mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh thì đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở

b) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của elip

Giải

a) Ta có: a2 25, suy ra a5;b2 9, suy ra b3.

Vậy elip có các đỉnh là A1( 5;0), A2(5;0), (0; 3),B1  B2(0;3).

b) Toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là P( 5;3), (5;3), (5; 3), ( 5; 3) Q R  S  

Luyện tập 1 Viết phương trình chính tắc của elip, biết A1( 4;0) và B2(0;2) là hai đỉnh của nó.

III TÂM SAI CỦA ELIP

Trong mặt phẳng, cho hai điểm F F với 1, 2 F F1 2 2c Như đã biết, elip là tập hợp những điểm M trong mặt

thường mô tả những yếu tố đặc trưng cho elip chỉ thông qua các hằng số a và c Chẳng hạn, thay vì sử dụng

a đóng vai trò quan trọng trong việc tìm hiểu các tính chất

của elip nói riêng và ba đường conic nói chung

Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e, tức là 

c e

Vậy elip có hai tiêu điểm là F14;0 , F24;0

và có tiêu cự là 8 Tâm sai của elip là 4 0,8

5

c e a

Elip có tâm sai bằng

Ví dụ 3 Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20 m , mặt cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip

và được mô tả trong hệ trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 7 Giả sử tâm sai của đường elip là0,5



a) Tìm chiều cao của đường hầm đó

b) Tìm độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải là 3 m

Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét

Giải

Gọi chiều cao của đường hầm là b m( ) Khi đó elip có

bán trục lớn là a10( )m , bán trục bé là b m( ) Elip có

nửa tiêu cự là c a e  10 0,5 5( )  m

a) Chiều cao của đường hầm là b a2 c2  102 52 8, 7( )m

b) Phương trình chính tắc của elip là

1

100 75 

Một điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải 3 m có

hoành độ x7 Do đó độ cao của đường hầm tại điểm đó là y0 thoả mãn

Vậy độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân hầm bên phải 3 m là khoảng 6, 2 m

IV BÁN KÍNH QUA TIÊU CỦA MỘT ĐIỂM THUỘC ELIP

Với mỗi điểm M thuộc đường elip, các đoạn thẳng MF MF được gọi là bán kính qua tiêu của điểm 1, 2 M

Nhận xét: Ta có thể sử dụng công thức tính độ dài bán kính qua tiêu để lập phương trình chính tắc của elip

Cụ thể, ta chứng minh được rằng: Nếu điểm M x y( ; ) ( ) E thì

thuộc elip ( )E Vậy phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip đã cho

Ví dụ 4 Cho elip có phương trình chính tắc

  c e

a Vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm

a b Giả sử M x y( ; ) là điểm thuộc elip Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của bán kính qua tiêu MF và 1 MF 2

Giải Theo công thức về độ dài bán kính qua tiêu, ta có: 1 

Ví dụ 6 Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một elip (E) mà Trái Đất là một tiêu điểm.

( )E có độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là (khoảng) 768800 km và 767619 km

(Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus: Real Mathematics, Real People, Cengage)

Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị ki-lô-mét)

Giải Giả sử ( )E có phương trình chính tắc là

Gọi toạ độ của M là x y; 

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có 2

533

Vậy độ dài F M nhỏ nhất khi M có hoành độ bằng 3 , tức là M trùng với đỉnh (3;0) của elip.2

V ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP

Tương tự như parabol, elip cũng có thể xác định thông qua tiêu điểm và đường thẳng đóng vai trò như đường chuẩn

Cho elip (E) có phương trình chính tắc là

Đường thẳng 2: 

a x

e gọi là đuờng chuẩn ứng với tiêu điểm F c2( ;0).

Chú ý: Tỉ số của khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường elip đến tiêu điểm và khoảng cách từ điểm

đó đến đường chuẩn tương ứng luôn bằng tâm sai của elip:

  c e

Đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1( 3;0) là 1

25:

 x

Luyện tập 4 Viết phương trình chính tắc của elip, biết tiêu điểm F25;0

và đường chuẩn ứng với tiêu điểm

Elip có một tiêu điểm là F2(5;0) nên c5.

Theo đề bài ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(5;0) là x365 Suy ra

VI LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG ELIP

Cho elip ( )E có phương trình chính tắc là

- Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng xa x a y,  , b y b, 

- Xác định bốn đỉnh và một số điểm cụ thể thuộc elip

- Vẽ đường elip ở phía trong hình chữ nhật cơ sở sao cho elip đó tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ

sở tại bốn đỉnh của nó và đi qua những điểm cụ thể đã chọn

BÀI TẬP

1 Viết phương trình chính tắc của elip ( )E trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1( 2;0) ;

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng

- Độ dài trục lớn bằng 6 , suy ra 2a6, suy ra a3, suy ra a2 9.

- Elip có một tiêu điểm là F1( 2;0) , suy ra c2, suy ra b2 a2 c2 32  22 5.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là

- Elip có tiêu cự bằng 12 , suy ra 2c12, suy ra c6, suy ra c2 36.

- Elip có tâm sai bằng suy ra



- Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20

2 Tìm tâm sai của elip ( )E trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự

2

a c

e

b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là ( ;0)(A a a0 ) và một đỉnh trên trục bé là (0; )(B b b0)

Khi đó theo đề bài ta có AB2c2 a2 b2

3 Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm Biết

elip này có bán trục lớn a149598261 km và tâm sai e0, 017 Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị ki-lô-mét)

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F của elip Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua1

tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

Tìm toạ độ điểm M( )E sao cho độ dài F M lớn nhất, biết 2 F là một tiêu 2

điểm có hoành độ dương của ( )E

Vậy độ dài F M Iớn nhất khi M có toạ độ ( 5;0)2 

5 Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó

có dạng một nửa đường elip Chiều rộng của căn phòng là 16 m , chiều cao của mái vòm là 3 m

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục toạ độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip Cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thì sẽ đi qua tiêu điểm còn lại

- Độ dài trục lớn của elip bằng 16 2a16 a8( )m

- Độ dài bán trục bé của elip bằng 3 b3( )m

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là

Ở sách giáo khoa Toán 10 chương VII, chúng ta đã học về ba đường conic, trong đó có đường hypebol Trongbài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm những yếu tố đặc trưng của hypebol

1 TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA HYPEBOL

(99) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, ta xét hypebol ( )H có phương trình chính tắc là

Chú ý: Độ dài F F1 22c được gọi là tiêu cự của hypebol ( )H .

Đoạn thẳng A A gọi là trục thực; độ dài 1 2 A A1 2 2a gọi là độ dài trục thực của hypebol ( )H

Nếu điểm M x y( ; ) nằm trên hypebol ( )H thì các điểm M x y , 1( ; ) M2( ; ),x y M3( ;x y cũng nằm trên  )hypebol ( )H

Hypebol ( )H nhận hai trục toạ độ làm hai trục đối xứng và gốc toạ độ O làm tâm đối xứng Gốc O còn được

gọi là tâm của hypebol ( )H

Trên trụcOy, ta lấy các điểm B1(0;b B), 2(0; )b

Vẽ qua A A hai đường thẳng song song với trục tung; vẽ qua 1, 2 B B hai đường thẳng song song với trục 1, 2

hoành Bốn đường thẳng đó tạo thành hình chữ nhật PQRS Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) (Hình 15)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol ( )H có phương trình chính tắc là

2  2 1

a b với a0,b0 Khi đó, ta có:

- Hình chữ nhật cơ sở có bốn đỉnh là P a b Q a b R a b S a b( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; );

- Mọi điểm của hypebol nếu không phải là đỉnh đều nằm ngoài hình chữ nhật cơ sở của nó;

- Độ dài B B1 2 2b được gọi là độ dài trục ảo của hypebol ( )H ;

- Hai đường thẳng PR và QS lần lượt có phương trình  , 

b) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của hypebol

Giải

a) Ta có: a2 9, suy ra a3;b2 16, suy ra b4.

Hypebol có các đỉnh là A1( 3;0), A2(3;0); độ dài trục thực là 2.3 6 ; độ dài trục ảo là 2.4 8

b) Toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của hypebol là P( 3;4), (3; 4), (3; 4), ( 3; 4) Q R  S  

Ví dụ 2 Cho hypebol ( )H có phương trình chính tắc là

b) Giả sử điểm M x y 0; 0 nằm trên hypebol ( )H với x0 0,y0 0 Tính khoảng cách MK từ điểm

 0; 0

M x y

đến đường thẳng có phương trình là

54



Nhận xét về độ lớn của MK khi điểm M x y 0; 0

di động trên hypebol ( )H càng ngày càng xa gốc tọ ̣ độ, tức là khi x càng ngày càng lớn.0

Giải

a) Phương trình hai đường tiệm cận của hypebol ( )H là

54



là:

Luyện tập 1 Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là A25;0

và một đường tiệm cận là3

III TÂM SAI CỦA HYPEBOL

Cho hypebol có phương trình chính tắc là

Hypebol có hai tiêu điểm là F1( 34;0), ( 34;0)F2 , tiêu cự là 2 34 và tâm sai là e a c 345 .

Luyện tập 2 Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục ảo bằng 6 và tâm sai bằng

+) Hypebol có độ dài trục ảo bằng 6 2b 6 b 3 b2 9.

+) Hypebol có tâm sai bằng

54

IV BÁN KÍNH QUA TIÊU CỦA MỘT ĐIỂM THUỘC HYPEBOL

Với mỗi điểm M thuộc đường hypebol, các đoạn thẳng MF MF được gọi là bán kính qua tiêu của điểm 1, 2 M

Độ dài các bán kính qua tiêu là MF1 |a ex MF|, 2  |a ex |

Nhận xét: Ta có thể sử dụng công thức tính độ dài bán kính qua tiêu để lập phương trình chính tắc của

Ví dụ 4 Cho hypebol có phương trình chính tắc

Giải

Các bán kính qua tiêu của điểm M là:

Giả sử M là điểm thuộc hypebol có tung

độ là 11 Tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm M

V ĐƯỜNG CHUẨN CỦA HYPEBOL

Cho hypebol ( )H có phương trình chính tắc

e gọi là đuờng chuẩn ứng với tiêu điểm F1( ;0)c .

Đường thẳng 2: 

a x

e gọi là đương chuẩn ứng với tiêu điểm F c2( ;0).

Chú ý: Tỉ số của khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến tiêu điểm và khoảng cách từ điểm đó đến

đường chuẩn tương ứng luôn bằng tâm sai của hypebol

Mặt khác, ta có:

1312

 c e

a Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F1( 13;0) là 1

144:

13

 x

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2(13;0) là 2

144:

6

 x

Phương trình đường chuẩn ứng

với tiêu điểm F2(6;0) là 2

11:6

- Vẽ bốn đường thẳng xa x a y,  , b y b,  và xác định hình chữ nhật cơ sở PQRS của hypebol

- Vẽ hai đường tiệm cận PR QS, của hypebol

- Vẽ từng nhánh của hypebol ở phía ngoài hình chữ nhật cơ sở sao cho tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ

sở tại đỉnh của hypebol và đi qua những điểm cụ thể đã và chọn, đồng thời nhận PR QS, làm hai đường tiệm cận

Luyện tập 5 Cho hypebol ( )H có một đỉnh là A1( 4;0) và tiêu cự là 10 Viết phương trình chính tắc và vẽ hypebol ( )H

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là

+) Hypebol có một đường tiệm cận là

b) Xác định phương trình các đường tiệm cận của hypebol và vẽ hypebol trên

Lời giải:

a) Ta có: a2, b1,c a2b2  5

Toạ độ các đỉnh của hypebol là: A1( 2;0), A2(2;0).

Các tiêu điểm của hypebol là: F1( 5;0), ( 5;0)F2 ,

Tiêu cự của hypebol là: 2c2 5

Độ dài trục thực của hypebol là: 2a4.

b) Phương trình các đường tiệm cận của hypebol là:

12

 b 

12

n n Suy ra hai vectơ này vuông góc với nhau, do đó hai đường thẳng d và 1 d cũng 2

vuông góc với nhau

4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hypebol

5 Dọc theo bờ biển, người ta thiết lập hệ thống định vị vô tuyến dẫn đường tầm xa để truyền tín hiệu cho máy

bay hoặc tàu thuỷ hoạt động trên biển Trong hệ thống đó có hai đài vô tuyến đặt lần lượt tại địa điểm A và địa điểm B, khoảng cách AB650 km Giả sử có một con tàu chuyển động trên biển với quỹ đạo nằm trên

một nhánh hypebol nhận A và B là hai tiêu điểm như Hình 18

Khi đang ở vị trí P, máy thu tín hiệu trên con tàu chuyển đổi chênh lệch thời gian nhận các tín hiệu từ A và

B thành hiệu khoảng cách |PA PB | Giả sử thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A là 0,0012 s Vận tốc di chuyển của tín hiệu là 3.10 /8m s

a) Lập phương trình hypebol mô tả quỹ đạo chuyển động của con tàu

b) Chứng tỏ rằng tại mọi thời điểm trên quỹ đạo chuyển động thì thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B

trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB và trục Ox trùng với AB , đơn vị trên

hai trục là km thì hypebol này có dạng

b) Vì con tàu chỉ chuyển động ở nhánh bên phải trục Oy của hypebol nên ta PB PA với mọi vị trí của P 

Do đó tàu luôn nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A

Gọi t là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ A, 1 t là thời gian để tàu nhận được tín hiệu từ B thì2

1 PA, 2 PB

v v với v là vận tốc di chuyển của tín hiệu.

Vậy thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ B trước khi nhận được tín hiệu từ A luôn là 0,0012 s

BÀI 3 PARABOL

Ở sách giáo khoa Toán 10 chương VII, chúng ta đã học về ba đường conic, trong đó có đường parabol Trong bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu thêm những yếu tố đặc trưng của parabol

I TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA PARABOL

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol ( )P có phương trình chính tắc là y2 2 (px p0)

Khi đó, ta có:

- Parabol ( )P nằm về bên phải của trục tung;

- Trục Ox là trục đối xứng của parabol ( )P ;

- Parabol ( )P cắt trục Ox tại điểm O và đó cũng là điểm duy nhất của trục Oy thuộc ( )P Gốc toạ độ O

được gọi là đỉnh của parabol ( )P ;

- Khoảng cách FH p được gọi là tham số tiêu của parabol (P)

II TÂM SAI CỦA PARABOL BÁN KÍNH QUA TIÊU CỦA MỘT ĐIỂM

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol ( )P có phương trình chính tắc là y2 2 (px p0)

Khi đó:

- Với parabol ( )P , ta luôn có e1, ở đó e là tâm sai của parabol (tức là tỉ số của khoảng cách từ điểm M

thuộc parabol ( )P đến tiêu điểm F và khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn );