Tọa độ của một điểm - Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a.. Tọa độ của một vectơ Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM.. Tr
Trang 1TOÁN 10- CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489
A LÝ THUYẾT
I Tọa độ của một điểm
- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a Số a là
hoành độ của điểm M
- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b Số b là tung độ
của điểm M
Cặp số ( ; )a b là toạ độ của điểm M trong mặt phẳng toạ độ Oxy Ta kí hiệu là M a b( ; ).
II Tọa độ của một vectơ
Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM
Nếu OM
có toạ độ ( ; )a b thì ta viết OM ( ; )a b
, trong đó a gọi là hoành độ của vectơ OM
và b gọi là tung độ của vectơ OM
- OM ( ; )a b M a b( ; )
- Vectơ i có điểm gốc là O và có toạ độ (1;0) gọi là vectơ đơn vị trên trục Ox
Vectơ j
có điểm gốc là O và có tọa độ (0;1) gọi là vectơ đơn vị trên trục Oy
Bài 1 TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Trang 2Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Giải
Từ hình trên ta có: M( 4;3), (3;0), (5; 2), (0; 3) N P Q
Do đó:OM ( 4;3),ON (3;0)
(5; 2), (0; 3)
Với mỗi vectơ u trong mặt phẳng toạ độ Oxy , toạ độ của vectơ u là toạ độ của điểm A sao cho OA u
Nếu u có toạ độ ( ; )a b thì ta viết u( ; )a b , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ u và b gọi là tung độ của vectơ u
ở hình
Giải
Trong hình, ta có:
+) a OA
và A(2; 2); toạ độ vectơ OA
chính là toạ độ điểm A nên a (2; 2)
+) b OB
và B (1; 3); toạ độ vectơ OB
chính là toạ độ điểm B nên b (1; 3)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu u( ; )a b thì u ai bj
Ngược lại, nếu u ai bj
thì u( ; )a b
Chú ý: Với ax y1; 1
và bx y2; 2, ta có:
x x
a b
y y
Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết tọa độ của nó
a) Biểu diễn vectơ OA
qua vectơ i và j
b) Biểu diễn vectơ u qua vectơ i và j
Giải
a) Vì điểm A có toạ độ là (1; 2) nên OA (1; 2)
Do đó:
OA i j i j
b) Vì u (3; 4) nên u3i ( 4)j 3i 4j
Trang 3
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- CÁNH DIỀU III Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A x y A; A
và B x y B; B
Ta có: ABx B x y A; B y A
a) Tìm toạ độ của vectơ AB
b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải
a) Ta có: AB (4 1;3 1)
Vậy AB (3; 2)
b) Gọi tọa độ của điểm D là x y D; D
, ta có: DC 1 x D; 2 y D
Tứ giác ABCD là hình bình hành
khi và chỉ khi
(3; 2)
DC AB DC
Vậy D ( 4; 4)
Ví dụ 5 Trong một bài luyện tập của các cầu thủ bóng nước, huấn luyện viên cho các cầu thủ di chuyển theo
ba đoạn liên tiếp Đoạn thứ nhất di chuyển về hướng Đông Bắc với quãng đường là 20 m ; đoạn thứ hai di chuyển về hướng Tây Bắc với quãng đường là 10 m và đoạn thứ ba di chuyển theo hướng Đông Bắc với quãng đường 5 m
a) Vẽ các vectơ biểu diễn sự di chuyển của các cầu thủ trong hệ trục toạ độ Oxy với vị trí bắt đầu như hình,
trong đó ta quy ước độ dài đường chéo của mỗi ô vuông là 5 m
b) Tìm toạ độ của các vectơ trên
Giải
a) Trong hình, ta thấy các vectơ AB BC CD, ,
lần lượt biểu diễn sự di chuyển theo đoạn thứ nhất; đoạn thứ hai; đoạn thứ ba của các cầu thủ
Trang 4Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
b) Do độ dài đường chéo của mỗi ô vuông là 5 m nên độ dài cạnh của mỗi ô vuông là
5 2
2 m Dựa vào số ô vuông, ta có:
;0 ; ;10 2 ;
A B
;15 2 ; 10 2;
C D
Do đó
25 2 5 2
;10 2 0 (10 2;10 2)
15 2 25 2
;15 2 10 2 ( 5 2;5 2)
Tìm hiểu thêm
Chứng minh công thức tính toạ độ của vectơ qua tọa độ của điểm đầu và điểm cuối
Trong Mục III, ta đã phát biểu khẳng định sau:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A x y A; A
và B x y B; B
Ta có
B A; B A
AB x x y y
Khẳng định trên có thể chứng minh như sau:
Vì OAx y A; A
nên OA x i Ay j A
Vì OB x y B; B
nên OB x i By j B
Do đó
AB OB OA x i y j x i y j x i x i y j y j x x i y y j
Vậy ABx B x y A; B y A
B BÀI TẬP TỰ LUẬN
Dạng 1 Tìm toạ độ của vectơ
Câu 1 Tìm toạ độ của các vectơ trong Hình 2.
Giải
Trang 5Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- CÁNH DIỀU
Trong Hình 3 , ta có:
- Vẽ
OA a, ta có: A( 5; 3) nên a ( 5; 3) .
- Vẽ
OB b, ta có: B(3; 4) nên b(3; 4) .
- Vẽ
OC c, ta có: C( 1;3) nên c ( 1;3).
- Vẽ
OD d , ta có: D(2;5) nên d(2;5).
Câu 1. Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a) a2i
b) 3
b j;
c) 4
d)
1
5
2
Giải
a) a ( 2;0);
b) (0;3)
b
c) c ( 4;1);
d)
1
5;
2
d
Câu 2. Tìm toạ độ của các vectơ trong Hình 4
Lời giải (2; 3), ( 3;0), (5;1), (0; 4)
Câu 3. Viết tọa độ của các vectơ sau:
a)
1
3
a i j; b i j; c i; d j.
b)
a i j; b i j; c i j; d j; e i
Lời giải
a) 2;3 ; 1; 5 ; 3;0 ; 0; 2
3
a b c d
b) 1; 3 ; 1;1 ; 1;3 ; 0; 4 ; 3;0
a b c d e
Câu 4. Viết dưới dạng uxi y j
khi biết tọa độ của vectơ u là:
Trang 6Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
a) u2; 3; u 1 4; ; u2 0; ; u 0 1; .
b) u1 3; ; u 4 1; ; u1 0; ; u 0 0;
Lời giải
a) Ta có:
2; 3 2 3 ; 1;4 4 ; 2;0 2 0 ; 0; 1 0
u u i j u u i j u u i j u u i j
b) Ta có:u1;3 u i 3 ; j u4; 1 u 4i j u ; 1;0 u i 0 ; j u0;0 u 0 0i j
Dạng 2 Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau, chứng minh hai vectơ bằng nhau
Câu 5. Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:
a) m(3a1; 2b1) và n ( 4; 2);
b) u(2a1; 3) và v(3;4b1);
c) x(a b ; 2 a3 )b và y(2a 3; 4 )b
Giải
a)
1
3 1 4
1
2 1 2
2
a
m n
b)
u v
c)
x y
Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho bốn điểm A( 2;1), (2;3), (1;0) B C ,
Giải
Ta có: (4; 2), (4; 2)
AB DC Suy ra
AB DC.
Câu 7. Tìm các số thực a và b sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau:
a) m(2a3;b1) và n(1; 2) ;
b) u(3a 2;5) và v(5;2b1);
c) x(2a b b ;2 ) và y(3 2 ; b b 3 )a
Lời giải a) a1,b1
b)
7
3
c)
,
Dạng 3 Tìm toạ độ của một điểm thoả mãn điều kiện cho trước
Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2;3), ( 1;1), (3; 1)B C
a) Tìm toạ độ điểm M sao cho
AM BC. b) Tìm tọa độ trung điểm N của đoạn thẳng AC Chứng minh
BN NM .
Trang 7Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- CÁNH DIỀU Giải
a) Giả sử M x y( ; ) Ta có: ( 2; 3), (4; 2)
AM BC
y y Vậy M(6;1).
b) Giả sử N x y( ; ) Ta có: ( 2; 3), (3 ; 1 )
Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên ta có:
Ta có:
Suy ra
BN NM .
Câu 9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC Các điểm M(1; 2) , N(4; 1) và P(6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB, , Tìm toạ độ của các điểm A B C, ,
Giải
Vì M N P, , lần lượt là trung điểm của BC CA AB, , nên tứ giác ANMP là hình bình hành, suy ra
AN PM
Giả sử A x y A; A
Ta có: 4 ; 1 ; ( 5; 4)
Suy ra:
Vậy A(9;3) Tương tự, từ ,
BP MN CM NP, ta tính được B(3;1), ( 1; 5)C .
Câu 10. Cho ba điểm A1; 2 ,B2;3
,C 1; 2
a) Tìm tọa độ điểm Dđối xứng với A qua C
b) Tìm tọa độ điểm Elà đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A B C, ,
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Lời giải
a) Dđối xứng với A qua C hay C là trung điểm của AD
D3; 2 .
b) ABCE là hình bình hành AEBC
x E 1;y E 2 3; 5
1 3
2 5
E
E
x y
2
7
E
E
x y
E2; 7
.
c) G là trọng tâm tam giác ABC
2
1
A B C G
G
x x x x
y
2 1
;
3 3
C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Toạ độ của vectơ 3 2
u i j là:
A ( 3; 2)
Trang 8Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
B (2; 3)
C ( 3 ; 2 )
i j
D (3; 2)
Lời giải
Chọn A
Câu 2. Tọa độ của vectơ 5
u j là:
A (5;0)
B (5; )
j
C (0;5 )
j
D (0;5)
Lời giải
Chọn D
Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(2; 5) Toạ độ của vecto
OA là:
A (2;5)
B (2; 5)
C ( 2; 5)
D ( 2;5)
Lời giải
Chọn B
Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A( 1;3), (2; 1) B Tọ ̣ độ của vectơ AB là:
A (1; 4)
B ( 3; 4)
C (3; 4)
D (1; 2)
Lời giải
Chọn C
Câu 5. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho u ( 2; 4), v(2x y y ; ) Hai vectơ u và v bằng nhau nếu:
A
1
4
x
y
B
3
4
x
y
C
1
4
x
y
D
3
4
x
y
Lời giải
Chọn B
Câu 6. Cho hình bình hành ABCD có A( 1; 2) , B(3; 2), (4; 1)C Toạ độ của đỉnh D là:
Trang 9Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- CÁNH DIỀU
A (8;3)
B (3;8)
C ( 5;0)
D (0; 5)
Lời giải
Chọn D
Câu 7. Trên trục x Ox' cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3;5; 7;9 Mệnh đề nào sau đây sai?
Lời giải Đáp án C
Ta có:CD x D x C 9 7 16
Câu 8. Trên trục x Ox' cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b Khi đó tọa độ điểm A' đối xứng với A qua B là:
a b
C 2a b D 2b a
Lời giải Đáp án D
'
A đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AA' x A'x A 2x B x A'2b a
Câu 9. Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục O i;
thỏa mãn
CB DB Khi sso mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A
AC ABAD B
AB ACDA C
AB AC AD D
AD ABAC
Lời giải
Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C, D Ta có:
+ CA DA AC DA c b b d b c a d
CB DB CB DB
Đáp án C
Câu 10. Trên trục x Ox' cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là 2;1; 2 Khi đó tọa độ điểm M nguyên
dương thỏa mãn
MAMB MC là:
Lời giải Đáp án B
Trang 10Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Gọi tọa độ điểm M là x
2
Câu 11. Trong hệ trục tọa độ O i j; ,
, tọa độ của véc tơ 2i3j
là:
A 2;3
B 0;1
C 1;0
D 3; 2
Lời giải Chọn A
Tọa độ của véc tơ 2i3j
là: 2;3
Câu 12. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho vectơ u 3 4i j Tọa độ của vectơ u là
A u 3; 4
B u 3;4
C u 3; 4
D u 3; 4
Lời giải Chọn A
u i j u
Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxy cho
1
5 2
u i j
Tọa độ của vecto u là
A
1
;5 2
u
B
1
; 5 2
u
C u 1;10
D u 1; 10
Lời giải Chọn B
Có
u i j u
Câu 14. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm M1;1
, N4; 1
Tính độ dài véctơ MN
uuur
A MN uuur 13
B MN uuur 5
C MN uuur 29
D MN uuur 3
Lời giải Chọn A
3; 2
MN
uuur
2
2
MN
uuur
Câu 15. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A2; 1 , B4;3
Tọa độ của véctơ AB
bằng
A AB 8; 3
B AB 2; 4
C AB 2; 4 D AB 6; 2
Lời giải Chọn C
B A; B A 2; 4
AB x x y y AB
Câu 16. Trong hệ trục toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ a8j 3i
bằng
A a 3;8
B a 3; 8
C a 8;3
D a 8; 3
Lời giải Chọn A
Trang 11Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- CÁNH DIỀU
Ta có a8j 3i3i8j a 3;8
Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm B 1;3 và C3;1 Độ dài vectơ BC bằng
Lời giải Chọn B
Tính độ dài vectơ BC
4; 2 42 22 20 2 5
BC BC BC
Vậy BC 2 5
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm A1;3 và B0;6 Khẳng định nào sau đây
đúng?
A AB 5; 3
B AB 1; 3
C AB 3; 5
D AB 1;3
Lời giải Chọn D
Ta có: ABx B x y A; B y A 1;3
Câu 19. Vectơ a 5;0 biểu diễn dạng a x i y j được kết quả nào sau đây?
A a 5 i j B a5i C a i 5 j
D a i 5j
Lời giải Đáp án B
Câu 20. Cho điểm A 2;3 và vectơ AM 3 2i j
.Vectơ nào trong hình là vectơ AM
?
A V 1
B V 2
C V3 D V4
Lời giải Đáp án D
Ta có: V 4 3 i 2 j
Câu 21. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
A a2;3 ; b 10; 15 B u0;5 ; v0;8
C m 2;1 ; n 6;3
D c 3; 4 ; d 6;9
Lời giải
Trang 12Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/
Ta có:
3 4
6 9 c
và d
không cùng phương
Đáp án D
Câu 22. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?
A a2;3 , b6;9 B u0;5 , v0; 1
C m 2;1 ,b1;2
D c 3; 4 , d 6; 8
Lời giải Đáp án C
Câu 23. Cho um23;2m v,5m 3;m2
Vectơ u v khi và chỉ khi m thuộc tập hợp:
A 2 B 0;2 C 0; 2;3 D 3
Lời giải Đáp án A
Theo bài ra u v
2
2
3 5 3
2 2
m
m m
Câu 24. Cho 2 vectơ u2m1i3 m j và v 2i 3j Tìm m để hai vectơ cùng phương.
A
5 11
m
B
11 5
m
C
9 8
m
D
8 9
m
Lời giải
Để 2 vectơ cùng phương thì
m
Đáp án C
Câu 25. Trong mặt phẳng Oxy, cho A m 1; 2 ; B2;5 2 m C m; 3;4 Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
Lời giải
A, B, C thẳng hàng
5 2 1
3 m 2m1 3 2 m m 5 m2
Đáp án B
Câu 26. Cho a4;m v,2m6;1 Tập giá trị của m để hai vectơ a và b cùng phương là:
A 1;1
B 1; 2
C 2; 1
D 2;1
Lời giải Đáp án C
a cùng phương b a kb
2
m
m k
Câu 27. Cho 4 điểm A1; 2 , B0;3 , C3; 4 , D 1;8 Ba điểm nào trong bốn điểm dã cho thẳng hàng?
Trang 13Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10- CÁNH DIỀU
Lời giải Đáp án C
Ta có:
1;5 , 2; 10
2
A, B, D thẳng hàng.
Câu 28. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, a (5; 2)
, b(10;6 2 ) x
Tìm x để a b;
cùng phương?
Lời giải Chọn C
Ta có: a b;
cùng phương khi và chỉ khi:
10 6 2
1
x x
Chọn đáp án A.
Câu 29. Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm A3; 2 , B7;1 , C0;1 , D8; 5 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A AB CD,
đối nhau B AB CD, ngược hướng
C AB CD, cùng hướng D A, B, C, D thẳng hàng
Lời giải
4;3 , 8; 6 1
2
AB CD AB CD
nên AB CD, ngược hướng
Đáp án B
Câu 30. Cho 2 vectơ a và b không cùng phương Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
A u2a b và
1 3 2
v a b
B
2 3 3
u a b
và v2a 9b
C
3 3 5
u a b
và
3 2 5
v a b
D
3 2 2
u a b
và
1 1
3 4
v a b
Lời giải Đáp án D
2u4a 3 , 12b v4a 3b u6v
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A m 1;2 , B2;5 2 m và C m 3; 4
Tìm giá trị m
để A, B, C thẳng hàng
A m 2
B m 2
C m 1
D m 3
Lời giải Chọn B
Ta có AB3 m;3 2 m AC , 2; 2
Do A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số thực k sao cho AB k AC 3 2 2
3 2 2
m
m k
